x^(x-1)=2, то есть, (x^x)/x=2, то есть, x^x=2x. Теперь наличие двух решений у уравнения становится понятным (особенно, если есть примерное представление о графике y=x^x). Далее можно проводить, как "описательный" анализ, так и схематическое построение, так и подробно анализировать, с помощью производной.
@@user-rb8ux1no6j если переписать ln(z) = ln2/(z-1), то за счёт многолистности логарифма, там будет, я так вижу, дохрена корней. Offtop: Я, по правде говоря, работаю в строительстве, но вечерами запираюсь в кабинете, читаю учебник ТФКП и плачу.
@@nick8370 Вы не поняли, всё наоборот, я всё просрал. Был аспирантом у Гинзбурга, занимался квантовыми чёрными дырами, но пришлось работать, и понеслось... Но это всё оправдания, ибо меня звали валить "туда" и продолжать науку "там". А про рыдания над учебником ТФКП это метафора. Но кое-что ещё помню.
Чудовищно сложно. Доказать наличие второго решения можно намного проще, если прологарифмировать уравнение по основанию х, а затем построить графики правой и левой частей. Слева возрастающая прямая, а справа единица, деленная на логарифм по основанию 2 от х, который элементарно строится и имеет два монотонно убывающих куска, разделенных асимптотой х=1. Первый кусок идет из точки (0,0) в минус бесконечность, второй из плюс бесконечности при х=1 падает к нулю и пересекается с прямой при х=2. Отсюда сразу видно еще одно решение от 0 до 1. При желании его можно аппроксимировать рядами. Такой способ существенно проще. Тем более на школьном уровне.
Да, это стандартный подвох для школьников - если нужно выпрыгнуть из школьной математики ничего толком не делая, то достоточно дать задачу на W-функцию.
Алексей, а сделайте сюжет про неуставные отношения в армии с точки зрения теории игр?)(когда небольшая группа людей держит в страхе кучу новобранцев) По-моему похоже на ситуацию с турникетами. Попутно есть ещё вопросы: Бывали ли вы на семинарах Гельфанда? Не хотели бы попробовать что-то в этом же роде, онлайн например? Можно ли сшить футбольный мяч из 1го шестиугольника и 6и квадратов? А 4х треугольников и одного шестиугольника? Надеюсь получить ответы, спасибо)
Решением будет уравнение X^X=2X. Это два пересечения функций в точке Х=2 и Х=0,3463 примерно. Но как решить его, ума не приложу... Будем ждать разъяснения по этому поводу!!!)))
Вроде бы есть некая функция Ламберта, с помощью которой решают такие уравнения. Однако она не является элементарной. На канале blackpenred китаец решал похожее уравнение. Но там он через эту функцию решал. А как решить через радикалы, пока не пойму.
Как я доказал, что решение существует: 1. Функция f(x) = x^(x-1) непрерывна на x > 0 2. При x=0.25 имеем f(0.25) = (1/4) ^ (-3/4) = 4 ^ 3/4 = 2 ^ 3/2 > 2 3. При x=0.5 имеем f(0.5) = (1/2) ^ (-1/2) = 2 ^ 1/2 < 2 4. Т.к. функция непрерывна, на участке от 0 до 1, и f(0.25) > 2, а f(0.5) < 2, то существует такое t на участке между 0.25 и 0.5, что f(t) = 2
А в ряд тейлора разложить в окрестности точки 1/3 и 1/2 и приближенно найти решение методом Эйлера или Трапеций? А ещё лучше построить две касательные прямые в точках 1/3 и 1/2 и посмотреть в какой точке они пересекутся.
Мне в последнее время уравнения подобного вида в фиде RU-vid попадаются часто. По типу 10^(x-x^2)=x^x (но это сравнительно очевидное, там графический способ решения). Теперь и вот это разбираю.
Алексей, а расскажите плиз про суммирование методом Рамануджана. В результате которого получается что 1+2+3+4+... = -1/12, что, в общем, противоречит и интуиции, и классическому анализу (методами классического анализа, на языке эпсилон-дельта, вполне можно показать что это не так). Что там не так, и что (возможно) на самом деле правильно, но интуитивно непонятно.
@@heliy_25 так я же и написал, что противоречит классическому анализу. Однако в википедии на полном серьезе это описано, и при использовании *особенных* методов суммирования - типа так и есть. Интересно где именно неправильно и есть ли такая точка зрения, при которой этот результат верен в каком-нибудь смысле.
Я покопался, нашел такую интересную вещь (возожно поможет нам решить уравнение) как W - функцию Ламберта. Суть в том, что если xe^x = t, то x = W(t). Такая штука позволяет решать уравнения такого типа: 5^x = 6x. 1 = 6x * e^(-xln5) => -1/6 = -x * e^(-xln5) => -ln5/6 = -xln5 * e^(-xln5). Теперь конструкция справа позволяет воспользоваться функцией ламберта(так как число е умножается на то же самое, во что и возводится в степень). -xln5 = W(-ln5/6) => x = -W(-ln5/6)/ln5. Это равняется приблизительно 0.248706497324477. Там есть и второе решение, одно обозначается как x = -W(-1)(-ln5/6)/ln5 где (-1) это индекс снизу. К сожалению я пока не знаю как решить именно нашу задачу при помощи этой функции, но возможно вас она подтолкнет к решению.
это стекло. человек находится по другую сторону стекла, пишет лицом к камере, а сам видос отзеркален, чтобы восстановить читаемость. да, принт на футболке тоже изначально отзеркален, чтобы он на видео выглядел нормально. понять это можно по тому что Алексей пишет левой рукой.
Алексей Владимирович, могли бы Вы рассказать о лотереях? О стратегиях, вероятностях. Интересно было бы послушать. Или если есть уже такое, ткните носом, пожалуйста
Уважаемый Алексей Савватеев,извините что не по теме видеоролика,но тут недавно появилась новость о том,что в роскосмосе собираются создать ,,Ядерный буксир для космических кораблей,,(проект Нуклон), и у меня появился вопрос-будете ли вы разбирать этот проект с математической/физической точки зрения? Было бы как по мне,очень интересно.
Сорри, за возможно глупый вопрос, но куда делась e^(y*ln(y+1)) в самом последней строчке слева (после взятия производной)? Вроде-ж d(e^f(x))/dx = e^f(x)*df(x)/dx, или я что-то путаю?
@@Vsegdalew Любые реальные числа имеют комплекснозначное представление. Решение описанного в видео примера в преобразовании ln t= (x-1) ln (x-1) + ln (x-1), где можно ввести ln z = ln t - ln(x-1) = (x-1) ln(x-1). В таком случае к z можно применить W-функцию, произведя замену x-1=y. По крайней мере я вижу решение задачи в этом ключе.
Бляяя. Тоже не могу точно решить это уравнение. Самое близкое приближение получил 1:е P. S. Спустя почти сутки. Подтянул тяжёлую артиллерию W-функцию Ламберта для точного решения трансцендентных алгебраических уравнений. Всё равно в явном виде ничего не получается 😢
@@user-uc3sh5zm7t Блин! А слона то я и не заметил)) Думал, какие же биологические особенности позволят мне узнать ответ. Даже подумал о сердце слева и печени справа. А вот сравнить левшу-правшу с предыдущими видео не догадался. Вопрос считаю на 99,99% закрытым (Бывают амбидекстры и гении)
Неужели вы не понимаете, что Саватеев - это древняя нейросеть, которая уже давно обучилась всем тонкостям преподавания, включая зеркальное письмо левой рукой?
приближенные методы не в 21 веке появились. А чем тебе вывод, что x \in (1/3, 1/2) не приблеженное решение? Ну, а если серьезно, то математики решают такое не потому что они спать не могут хотят число узнать, а ради красивого решения и рассуждения. Смысл в процессе, а не в ответе
x1=2 - это первый ответ; второй ответ x2=2±z, где z≤0,0000000000020954349366775200(9), где (9) в периоде, идёт бесконечно большая область верных ответов. Не уверен, что это ошибка чувствительности калькулятора, так как другие числа в процессе подбора всё-таки не подходят, хотя и были чуточку больше, но в них тоже десятичная дробь получается с вереницей нулей (11 штук) между целой и записью дробной части. На калькуляторе поисковика Яндекс: z≤0,000000000002089(9) Также x3=1/2,88743622203
Точную формулировку поиска вторичных решений возможно сформулировать таким образом: в фазе 1 записываются: p=2, np*hard=x^(x-1), np*complete=(1/3;1/2). В фазе 2 у нас уже есть C4, но нам необходимо найти C1, а в качестве C0=[1/3,0…(0…1);1/1,99…(99)] - более строгая запись np*complete. Собственно С1=∬(x^(x-1)-2)d2d(x^(x-1)) NCn=∬(x^(x-1)-2)d^2(x^(x-1)) MCm=∬(y-2)d^2(y) при y=x^(x-1) Интегрируем сначала дважды по dy в интервалах от 1/3 до 1/2 и получаем -19/432 Интегрируем последовательно по dy в интервале от -x^(x-1) до x^(x-1), а затем получившийся интеграл -4∫((x^2)/x)dx интегрируем в интервалах от 1/3 до 1/2 и получаем 1/8-1/18=5/72 Подставляем эти значения в уравнение и начинаем калибровать калькуляторы вычислительной машины. И получаем x=2±z, где z≤0,000000000002089(9) или меньше на более мощных суперкомпьютерах. Для третьего решения на основе выработанного алгоритма калибровки и камертона C0 в лоб подбираем 1/2,88743622203. Важно заметить, что десятичная форма записи 0,34632799587=1/2,88743622203 не является корнем уравнения, так как лежит за пределами точности калькулятора.
Выполнив Plot[x^(x - 1) - 2, {x, 0, 3}], видим, что искомый корень лежит в интервале (0.3, 0.5) Команда FindRoot[x^(x - 1) - 2, {x, 0.5}] даёт 0.3463233622785809 Ну, или как на видео...
Как именно не снимать? Подготовка, очевидно, была. Но почему же она обязательна, не очень понятно. Задача-то достаточно простая и Савватееву под силу и без всякой предварительной работы. Утверждение про первокурсников, конечно, верное, но совершенно не ясно, к чему оно здесь