Я лично не пойму, зачем всё делать через производную? Можно же более легко решить уравнение. е^x=ex е=ех^1/х Делим обе части уравнения на е, избавляясь тем самым от иррациональности. х^1/х=1 Возводим обе части в степень х: х=1^х По свойству степени мы знаем, что 1 в любой степени 1, следовательно х=1. Вот и всё)))
@@lego4452 у вас ошибка во втором действии, потому что скобки не расставлены. После первого получится е=(е*х)^(1/х), или же е=е^(1/х)*х^(1/х). Такое уже нет смысла на е делить
e^x... Уже прошло 40 лет, как я закончил институт и вспомнил шуточный диалог: -Я тебя продифференцирую, я тебя проинтегрирую -А мне пофиг -А кто-же ты? -e^x
На самом деле, нам не важно, является ли эта точка точкой минимума или максимума: достаточно того, что это экстремум. То, что это точка экстремума, и при этом он единственный, это означает, что больше таких значений быть не может.
Мне удобнее пользоваться аналогией из физики: вторая производная - ускорение изменения функции. Знак второй производной определяется также как знак проекции ускорения в случае например тела брошенного под углом к горизонту. Формулировку " правило зонтика" впервые слышу
Условие накладывает ограничение на то, что x > 0, тогда берем натуральный логарифм обоих частей и получаем x = x + e * ln(x) -> e * ln(x) = 0 -> ln(x) = 0 -> x = 1. Мне кажется так проще и короче.
Итак господа и дамы , я школьник , который перешёл в 11 класс , и зная функцию Ламберта , решил данное уравнение вот так : e^x=ex;( делим обе части уравнения на (е*е^х)); 1/e=x/e^x; 1/e =x*e^(-x); -1/e=-x*e^(-x);( берём функцию Ламберта с обеих частей уравнения ); W(-1/е)=W(-x*e^(-x)); W(-1*e^(-1))= -x;(воспользовался свойством W(t*e^t)=t); -1=-x; x=1; Вот доказательство того что решение только одно ))) не благодарите)))
Эпиграфом к этому видео может служить фраза: "Из пушки по воробьям" Уравнение имеет смысл только при х>0. Прологарифмируем обе части уравнения, получим: х=1+LN(x). x > 1+LN(x) при всех х, кроме х=1. В точке х=1 графики функций у=х и у=1+LN(x) касаются. т.к. в этой точке производные функций равны 1.
@@AlexDavidchik мне кажется имелось ввиду, что сразу понятно, что при x⩽0 левая часть положительная, правая неположительная, так что равенства не может быть.
Ограничение по x есть. E^x всегда положительное, а если использовать принцип равносильного перехода, значит и справа всегда +.е всегда положительная, значит x тоже всегда положителен
вот так и надо решать задачи!!! А то все иностранные примеры на тему - найти решение... - по уровню на два порядка ниже!!! Спасибо - это как раз доказательство того, как математика приводит ум в порядок!!!!
А главное , что все такие задачи, грубо говоря ,устные и решаются методом пристального взгляда или подбора, но сам прикол решения таких задач с доказательством очень интересные
@@МаксимМаксимов-ы8л Вы еще не видели оригинальный метод поиска решения в номерах задач или страниц ;) Хотя, если вы год смотрите канал, то уже видели подобные методы))
Взглянув на это уравнение за одну секунду, даже не решая, увидел что при Х=1 в обеих частях получается "е". Далее, представив чисто графически (ну или прикинув на картинке) экспоненциальную функцию и прямую проходящую через точки 0 и "е" , понимаешь, что они могут пересекаться только в одной точке "е" при х=1
Я такие задачи люблю геометрически решать. Слева экспонента, график известный, справа прямая, проходящая через 0 с коэффициентом наклона e. Легко определяется точка 1, в которой графики касаются (а если они касаются, то производные в точки совпадают, что тоже дает 1). Ну а дальше только формально единственность проверить, что делается легко в силу монотонности двух функций и то что e^x и слева от 1, и справа от 1 всегда больше чем ex.
Отличное решение! Если никто не против, оставлю свое: e^x = ex e^x = e(e^lnx) e^x = e^(1+lnx) x - lnx = 1 рассмотрим f(x) = x - lnx f`(x) = 1 - 1/x f`(x) = 0 при x = 1. найдём f(1) = 1 - ln(1) = 1 - 0 = 1. => x = 1 - корень уравнения, так как он совпадает с единственным экстремумом. Возможно не совсем корректно, поправьте, если что(
Трушин доказывал, что на самом деле е в степени икс это не е в степени икс, а exp(x), просто в записи на бумаге е в степени икс выглядит короче, чем exp(x). Тогда е это просто exp(1), т.е. экспонента от 1
Нам удобно договориться, что число в степени 0 равно 1, но а вдруг это не верно, может там разрыв? В любом случае при х равным бесконечности все становится равным.
Логарифмируем левую и правую части уравнения. ln(e^x) = ln(e*x) x*ln(e) = ln(e) + ln(x) x = 1 + ln(x) x - ln(x) = 1 Берём производную левой и правой частей уравнения: [x - ln(x)]' = [1]' 1 - 1/x = 0 x - 1 = 0 x = 1
@@aleksandrborodin593 ...геометрический смысл производной в точке касания к функции, есть тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс (угловой коэффициент). Поскольку функция равная константе представляет собой прямую горизонтальную линию паралледьную оси абсцисс, то касательная к ней будет параллельна также и оси абсцисс, а угол наклона будет равен нулю. Следовательно и tg(0)=0. Т.е. производная от любой константы равна нулю.
Можно и без производных зная поведение функции e^x. Один корень находим подбором сразу. x=1. Нужно доказать, что других корней нет. e^x - монотонно возрастающая а значит с прямой ex может иметь только две точки пересечения. e^x > 0 значит x 1, e^x возрастает быстрее прямой, а значит и корней больше 1 быть не может. Значит есть только один корень.
Что такое большая пьянка? Это такая пьянка у которой вторая производная не равна нулю. А производная пьянки, это пьянка на деньги вырученные от сданной посуды.
только вот логарифмировать по основанию x можно только с оговоркой на x != 1 и x > 0, поэтому ответ получится как раз таки не мог таким приемом) но именно предварительной проверкой на x=1 можно выделить это решение (и при этом еще нужно проверить отсутствие решений при x
1/2^(1/2) это корень квадратный из 1/2 и явно не 1/4. e - это число Эйлера, примерно равное 2,718 (ну и до бесконечности, иррациональное число), а не переменная. Поэтому ответ только один. Число Эйлера можно представить следующим образом: если у вас есть 1 доллар, и вам начисляют на него 100% раз в год, то через год будет 2 доллара. Если же проценты начислять пропорционально 2 раза (раз в полгода), то получится 2 раза по 50% или 1*1,5*1,5=2,25 доллара, уже больше. Если дробить так до бесконечности, то максимум вы получите в итоге е долларов.
Единицу видно мгновенно. Всё остальное нужно, чтобы проверить, что корень единственный. Но для этого достаточно было просто увидеть, что экстремум всего один, а на возрастание/убывание исследовать уже не обязательно.
Можно решить геометрический , ех это ленейная функция а е^х это показательная , и их касательная может быть только одна , и методом подбора это еденица
все очень правильно сделано но можно было проще доказать функция справа есть уравнение касательной для функции слева в точке х=1, а поскольку е^х - функция выпукла вниз, то больше корней быть не может (свойство функции е^х)
Не зная функцию Ламберта я бы потратил минут 15 на обдумывание решения))) Доказать, что функция имеет минимум в нуле, где лежит наш корень это красиво)
Здесь все было очевидно. Ход решения отличный и работает, но этот случай можно назвать частным. n в степени x будет равен n умноженный на x, если x равен 1.
а можно сразу нарисовать графики обоих частей из которыхо видно, что только одна точка пересечения. функции непрерывные, всё окей, так что можно угадать корень)
При условии, что Е и Х равны, то ДВОЙКА тоже идеально подходит. А это значит, что автор привёл не единственно верное решение. Диапазон решений конечно маловат, но это ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА от -2 до 2.
Через 33-и забора ногу задерищенко. Это самое длинное и запутанное решение самой очевидной задачи. К концу решения у меня уже нервы сдали и глаз задергался. Такими решениями пытать можно. Автор маньяк.
Вот есть в таких задачах очень важный момент, который не объясняют нормально даже студентам мех-мата. И я считаю, что его надо объяснять, потому что математика очень коварна. С помощью производной мы находим минимум, НО мы находим минимум ЛОКАЛЬНЫЙ. В окрестности найденной точки х = 0 функция ведет себя, как было исследовано в решении. Но ЛОКАЛЬНЫЙ минимум не означает, что это минимум функции вообще (в данном случае на множестве R). Поэтому когда мы показали, что в точке х = 1 (f(1) = 0) функция имеет локальный минимум, мы не можем утверждать, что f = 0 минимальное значение функции (min f). В данной задаче повезло, что найденный локальный минимум является минимумом фукции. Но очень часто случается так, что локальный минимум далеко не минимальное значение функции. Порой даже бывает, что есть локальный максимум, значение функции в котором меньше значения функции в каком-то локальном минимуме. Хотя казалось бы, как это так может быть? Минимум больше максимума? Может!! Речь про локальный. Поэтому на 5:40, когда автор написал, что min f = f(1) нужно объяснить подробнее. Да, было озвучено, что у функции единственный локальный экстремум, что можно притянуть за уши к опеделению минимума (максимума). Но я бы лично снизил оценку ученику за довольно невнятное объяснение. Самый простой способ показать, какие значения функция принимает на границе R (то есть на +/- бесконечности). Нужно найти два предела функции f при х, стремящемся к +/- бесконечности.Очевидно, что оба предела равны + бесконечности. Тогда в совокупности с локальным минимум в точке х = 0 мы можем смело писать min f = f(1), то есть локальный минимум оказался абсолютным. УРА! :)
Eugene Kuznietsov.Из того что экстремум единственный разве не следует что он обсолютный?Автор не просто озвучил единственность экстремума,он это доказал!Разве не так?
@@aleksaleks4947 как я сказал. Данный факт был озвучен, но рука писала совсем другое. Я считаю, что нужно подробней объяснить, почему локальный минимум стал минимумом функции на всей области определения. Дети потом просто так и ищут минимум и максимум функции в точках экстремума, забывая о том, что надо смотреть на значения на границе области определения
@@aleksaleks4947 еще раз повторю, что не так. Из единственности экстремума никак не следует, что min f = f(1). Из единственности экстремума следует, что у функции есть конечный минимум и что в данной точке х = 1 функция достигает этого минимума на всей области определения (здесь еще бы сослаться на конкретную теорему или утверждение из учебника), и только потом мы можем написать min f = f(1), то есть грубо говоря посчитать минимальное значение функции. Я же сказал ранее, что важный шаг пропущен, и я бы лично снизил балл за невнятное объяснение.
@@vsevolod2563 в точке перегиба функции производная равна 0 , а экстремума нет Нули функции и нули производной этой функции не связаны друг с другом. Поэтому поиск нуля не связан с поиском экстремума
@@vsevolod2563 Точка перегиба - точка, где вторая производная меняет знак. Графически - место, где точка перестаёт быть выпуклой и становится вогнутой, или наоборот. В частности, точка перегиба может совпадать с точкой, в котором производная равна нулю (x=0 в функции y=x^3), но в таких случаях это не будет точкой экстремума (в точке минимума вторая производная положительная, в точке максимума вторая производная отрицательная, в точке перегиба вторая производная нулевая)
@@sergeigrv441 Смысл в нахождении производной был тот, чтобы определить количество точек, являющихся решениями. Для этого исследуется функция на экстремум, чтобы определить интервалы убывания и возрастания. То, что точка минимума совпала с решением, это чистое совпадение (конечно же нет), но даже если бы точка минимума была выше или ниже нуля, то это бы уже нам сказало о количестве корней уравнения, подобно тому, как знак дискриминанта нам говорит о количестве (вещественных) корней квадратного уравнения.
Почти все примеры на ваших видео решаются одним взглядом за 2 секунды. Я сразу понял что единица. Но подумал может есть ещё другой ответ. Так нет оказалась, только единица.
Скорее всего - это онлайн доска. Но так красиво писать на ней... наверно подключен граф планшет. И записывается видео с экрана. У самой такой же вопрос возник ))
Не люблю такие задачи. Бесцельно ковыряешь во всех направлениях, пока случайно не находишь решение. Давайте зачем-то найдём экстремум, подставим его и ОЙ, это же решение!
Ты знаешь, пересматриваю твои видео и переосмысливаю. Может ты и прав. Но я не согласен - дураков учить, только мучаться. Я в 5 лет понимал таблицу умножения, но не зубрил ее в 9 лет. В первом классе меня учили палочки рисовать. А я, вместо палочек, написал, что я думаю об учительнице и получил двойку - первую на весь класс. Как давно это было. Но весело!
Я написал: _Имя Отчество - ты дура!_ , без ошибок, и очередной раз убедился, что мир не справедлив. Но наши раздолбали канадцев - и это было выше всего. Клюшка, тряпичный мяч - и вперед. У меня шайба в гараже валяется, та еще бомба, какая шайба в 6-7 лет? И никто нас в школу не провожал и не встречал. Сами ходили, да и пожрать сами готовили, а за малыми кто ответственен? Тоже мы, старшие.
Да были шайбы и для детей. Но её пол-часа погоняешь - сынка мамочка позвала и шайбу он унес с собой. Ох, каким я раздолбаем был 😁 Шайба ушла - шапку, не свою - соперника, скинул - и клюшкой загнал в ворота - шайба! Гол забил, по-нашему.
Бл решил это уравнение ещё когда кликал по ссылке чтобы перейти на его просмотр.. Единственный шанс обломать меня доказать, что у этого уравнения два решения. Но не тут то было. И опять же никаких производных решать не надо было. Простая интуитивная и примитивная подстановка.
Ну, если мы в точке минимума значение оказалось больше нуля, то решений вообще не было бы. А если бы оказалось меньше нуля, то корней было бы два. Никакого оптимизма, стандартный рассчет.
@@alexanderkluchnikov2473 вы как тот студент на экзамене, которому задали вопрос "где находится Вьетнам?". Он сразу же ответил "там!". На уточнение "где именно?" он возразил "это уже другой вопрос!"
Подставили и нашли. т.е. : у нас была одна особая точка - x=1, функция слева и справа возрастает, т.е. x=1 - минимум функции, очевидно, что можно подставить эту точку в функцию...и ОПА, мы угадали решение :D Многие задачи учебные решаются так - применяем стандартный алгоритм...profit!
