а я решил алгебраически без сумасшедщих этих построений, достаточно достроить высоту (h), катет прилегающий к углу x например назовем y, и выразим высоту тремя способами: tg45*(a+2a-y) = tg60*(2a-y) = tgx *y .., потом путем несложных вычислений приходим к тому что тангенс икс равен 2+корень из трех, что соответствует углу 75 градусов.., наверное если посидеть можно составить красивую алгебру даже , но от корней не уйти.., тангенс 60 это корень из трех..
Я тоже решила, как и вы - алгебраическим путем, опустив высоту и выразив её из образовавшихся трёх прямоугольных треугольников, но понимала, что это не то. Ответ некрасивый. Помучавшись, так ничего и не придумала, слишком зациклилась на этих треугольниках, стала смотреть решение и увидела то, что и ожидала - красота.
"а я такой молодец, обошёлся без этих СУМАСШЕДШИХ построений, и получил ответ арккотангенс корня четвертой степени из произведения десятичного логарифма от трёх целых восьми десятых умноженного на хрен пойми ещё какую лабуду"
Не надо строить равностороннего треугольника. Строим высоту внутреннего треугольника от угла x. Получается прямоугольный треугольник у которого один из уголов 30 градусов. Страна против етого угла есть половина гипотенузы = a. Потом тоже самое...
Я именно так и решал. И только потом увидел, что кто-то до меня решал так же. Ну а так, опускать высоту конечно проще и понятнее, Это даже не назовешь дополнительным построением. Так что, без сомнения, этот способ предпочтительнее
Задача красивая, но предложенное решение далеко не самое простое. Да, проще опустить перпендикуляр от угла на ту сторону, которая внутри треугольника. Получится треугольник с углом 30 градусов., а дальше очень быстро доказывается, что смежный прямоугольный треугольник имеет углы в 45 градусов. Стало быть, 30+45=75
У меня с другим, гораздо более быстрым решением ответ иной, а чей правильный я не знаю. Может знатоки подскажут? Суть такова: По свойству смежных углов находим угол смежной 60 градусам. То бишь, 120. Суммируя 2 угла (120+45) получаем 3 угол (35 градусов). Если сторона "а" протволежит углу 35 градусов, то угол "2а" равен 70 градусов. Ну и "x" бужет равен 50 градусам
Задача решается универсальным методом: возьмем за точку (0,0) системы координат самую правую точку треугольника. Тогда прямая с углом 45° имеет уравнение y=-x, прямая с углом 60° имеет уравнение y=-sqrt(3)(x+a). Решаем систему из двух линейных уравнений, находит координату пересечения, то есть самой верхней точки (-sqrt(3)*a/(sqrt(3)+1), sqrt(3)*a/(sqrt(3)+1)). Координаты самой левой точки (-3a,0), средней точки (-a,0). Зная все координаты, вычисляем стороны треугольника. Зная все стороны треугольника, вычисляем все его углы массой способов. Можно для упрощения a заменить на 1, углы от этого не изменятся.
Без построений из теоремы синусов для двух треугольников получится выражение вида: sin(60+x)=C*sin(45+x). C - коэффициент известный. Отсюда tg x находится, а значит Х.
А я с помощью теорем косинусов и синусов выразил синус искомого угла, подставил его в маткад и взял arcsin, тоже получил округлённо 75 градусов. Но это решение, конечно, куда элегантней.
Решение с построением перпендикуляра из вершины тр-ка на сторону (2а+а). С помощью теормы синусов находим показанный на чертеже отрезок из вершины тр-ка на сторону (2а+а); из вершины опускаем перпендикуляр на эту сторону; из полученных прямоугольных тр-ков находим катеты и синус угла: Sin x=0,5*(2-(3)^1/2)^(-1/2)=sin30*cos45+cos30*sin45=0,9659... Ответ х=arcsin(0,9659)=sin(30+45)=sin 75
Дополнение: при определении отрезка, указанного на черетеже, из вершины тр-ка на сторону (2а+2), нужно знать sin15, который легко находится из 2-х уравнений; sin30=1/2=2*sin15*cos15 и (sin15)^2+(cos15)^2=1
Достраиваем до 2а, треугольник получается равносторонний. Смотрим на углы, понимаем что тут есть подобные треугольники, а значит х=60+15. Ходы если расписывать почему они подобны, решение вряд ли короче получиться.
Решил иначе. Опустил высоту из вершины. Пусть отрезок от основания высоты до угла 60 будет "у", а длина высоты "н". Рассмотрев 2 треугольника (вершина, основание высоты и угол 60 и вершина, основание высоты и угол 45), получаем 2 линейных уравнения, из которых находим "н" и "у". Рассмотрев треугольник вершина, основание высоты и угол "х", находим tg(х)=2+Корень(3).
Почему же этому не учат в школе? Учат, учат в 7-м классе. Достаточно знать теорему о сумме углов треугольника, теоремы о равнбедренных треугольниках и теорему о длине катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30 градусов. Неудобно, когда точки на чертеже не обозначены буквами, без этого трудно кратко написать решение.
А я блин провёл с верхнего угла высоту и через арктангенсы решал. Но тут калькулятор нужен. Потом я решил собственно вашим методом, но без синего равностороннего треугольника, только прямоугольным.
Красиво, спору нет. Но я «поверил алгеброй гармонию». Обозначим "L" линия от вершины до точки между "2*а" и "а" и включим теорему синусов: L/sin(x)=2*a/sin(180-60-x) и L/sin(45)=a/sin(60-45). Получим x=arctg(1/(2-sqrt(3))) = 75º. Алгебра это геометрия для ленивых.
Без построений. Обозначим отрезок внутри треугольника b. Тогда по теореме синусов: из левого треугольника b/sinx=2a/sin(180°-(x+60°)), из правого треугольника b/sin45°=a/sin15°. Выразим из первого b/2a=sinx/sin(x+60°), из второго b/2a=sin45°/2sin15°. Приравняв правые части, получим уравнение sinx/sin(x+60°)=sin45°/2sin15°. Откуда x=75°. Проверка: sin75°/sin(75°+60°)=sin45°/2sin15°, подставив sin15°=cos75° и sin135°=sin45° (по формулам приведения) в равенство получим 2sin75°cos75°=sin45°sin45°, свернём sin двойного угла и подставим значения sin45°, sin150°=2/4, sin30°=1/2 (верно). Ответ: x=75°
Бедная Муму. Подобные задачи я решал в школе 60 лет назад, изучая на уроках основы тригонометрии! Метод построений в данном случае сработал, а если бы хоть один угол был задан с отличием хотя бы на 1'', как тогда?!! С помощью калькулятора я просчитал быстрее чем Ты рассказал. С таблицами Брадиса времени ушло бы больше, но калорий меньше
Прикольно, но вот я пошел тяжелым путем, через подобные треугольники и тангенс этого угла Сделал доп построения, ну и получил в итоге tg=√3+2, но как прийти к выводу что это 75 градусов ?
Просто нужно помнить, что tg 15 =2-√3, tg 75=2+√3. Примените формулу tg (30+45), и Вы получите этот результат. А теперь смотрите действительно красивое решение. Во всех смыслах. Не обращайте внимания на английский. Все понятно без слов! Это решение и много других появилось задолго до этого ролика.
Не обращайте внимания на название канала. Все, что излагает автор, в школе преподают , причем гораздо лучше, чем это делает он со своими кривыми чертежами! А его идея с построением равностороннего треугольника не выдерживает никакой критики! Здесь это СОВЕРШЕННО НЕ НУЖНО!! Если Вы просмотрели решение по ссылке, то могли в этом убедиться.
Мне понравился пассаж автора, что"... над этой задачей я думал долго"! Подозреваю, что он думал долго над тем, как бы переделать чужое решение так, чтобы оно выглядело самостоятельно полученным и максимально отличалось от источника. Не удалось. Все равно "торчат уши" источника (см. ссылку).
Я нашел тангенс х и обнаружил, что угол равен 75 градусам. И тут я с удивлением увидел решение представленное в видео, гениальное решение будет именно таким)))
Как мне кажется, Вашим подписчикам было бы понятнее, да и у Вас не наступил бы "ступор", если бы Вы начали с естественных и логичных построений : из вершины красного угла проводим перпеникуляр, а из основания перпендикуляра проводим медиану к гипотенузе (это стандартный прием). Более того, в этой задаче медиану можно и не проводить .Маленький равносторонний треугольник в принципе здесь не нужен! А затем основание перпендикуляра соединяем с вершиной угла 45 градусов. И все становится прозрачным и понятным! Остается только вычислять углы! И тогда никто бы не сказал, что это "сумасшедшие построения" (цитирую подписчика). И снова просьба : делайте, пожалуйста, красивые рисунки. Школьникам это важно! Ведь Вы все равно готовите рисунок заранее. ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-i61CJTClAiQ.html&ab_channel=MathWindow. А вот этого человека в школе научили, а Вам не повезло. Сравните рисунки, и Вам должно стать стыдно!
в Вашем построении мне не до конца понятно, почему при построении прямоугольного треугольника, перпендикуляр попадет именно в конец отрезка длиной а. не понимаю, как именно это доказывается. один угол - 60. почему при построении из основания перпендикуляра будут именно 60 и 30 градусов? Вот эту часть решить я не смог(
@@Nyarly_Relyeh Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Есть и обратная теорема: если в треугольнике медиана равна половине стороны (к которой она проведена), то треугольник прямоугольный.
Прочитал заглавие. Мне очень стало стыдно за современный уровень обучения. 2%?!! Это же позор! Примитивная задачка доя школьника 60тых годов прошлого века.
Приведу свое решение без доп. построений По теореме о внешнем угле треугольника находим, что в правом треугольнике угол сверху будет 15*. Далее для правого треугольника применим теорему синусов (a / синус угла сверху = отрезок, делящий больший треугольник / синус угла справа), а для этого надо найти sin(15*). Для этого применим формулу синуса разности (sin(a - b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)), sin(15*) = sin(45* - 30*) = sin(45*)cos(30*) - sin(30*)cos(45*) = (√6 - √2)/4. Перемножив крест-накрест получим, что отрезок, делящий большой треугольник на два маленьких, равен a(sin(45*) / sin(15*)). После несложных преобразований мы получим a(1 + √3). Теперь используем для левого треугольника теорему косинусов для нахождения левой стороны. Применяем и получаем, что левая сторона - a√6. Теперь для левого треугольника применяем теорему синусов ((1 + √3)a/sin(x) - a√6/sin(60*)). Сокращаем на a и после некоторых преобразований получим, что x = arcsin((√6 + √2)/4). Выражение в аргументе арксинуса очень похоже на sin(15*), и действительно, если использовать синус суммы, а не разности, то sin(45* + 30*) = sin(45*)cos(30*) + sin(30*)cos(45*) = (√6 + √2)/4. Таким образом мы получаем, что x = 75* Хотя, геометрия тут заканчивается на теореме о внешнем угле, все остальное - алгебраические выкладки, решение автора красивое, но додуматься до него обычному школьнику довольно непросто
Дизлайк. Перший крок зайвий. Зразу проводимо перпендикуляр до чевіани з вершини зліва і враховуємо, що катет проти кута 30 градусів дорівнює половині гіпотенузи. Усна задача.
Об этом я пишу ему постоянно. Как с гуся вода! Я бы еще добавил, что задача испорчена плохо (бездарно) переделанным решением отсюда: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-i61CJTClAiQ.html. В попытке выдать решение за оригинальное.
@@user-np9bu4oy5f Я имею в виду, что , как правило. китайцы в англоязычных странах разговаривают очень своеобразно. Понять тяжело. Но они думают, что это хороший английский. К их разговору нужно приноровиться.