✓ Как возводить в иррациональную степень | Ботай со мной  

вы меня как будто заново учите математике . это просто суперинтерсно

Я как-то ночью проснулся, весь день решал математику и тут пришла мысль возвести число в нецелую степень. Начал возводить с помощью инженерного калькулятора, сначала думал, что выкинет ошибку, а появлялись страшные числа. Пришла идея как учёному вывести закономерность. Естественно ничего не получилось. Показал маме, одноклассникам никто не мог объяснить. Хотел уже спросить у учителя но побоялся. Через почти 2 месяца увидел это видео. Теперь всё стало понятно. Спасибо вам за такие видео!

С таким учителем я, гуманитарий в квадрате, стала любить математику!!! Спасибо, Борис!

У вас хороший канал, вы рассказываете понятным и доступным языком, продолжайте это делать, ведь это действительно надо людям.

Спасибо вам огромное, все разложили по полочкам!

Спасибо, вы очень понятно объясняете. Это очень ценно, так как довольно редко встречается )))

Это видео - эттто просто песня какая то! Песня математике! Спасибо, просто Браво!!! 👍👍👍👏👏👏

Блестящая лекция. Вносит понимание в те вопросы. которые раньше подносились как данность.

Спасибо Вам огромное!!!!

Ваши ролики просто супер. Большое спасибо.

Вы слишком интересно объясняте, спасибо)

Спасибо, было интересно.

Спасибо, очень полезно!

огромное спасибо!

Спасибо, что про математику✌️

Душевно! Для полноты картины надо ещё возведение в комплексную степень добавить))

Сегодня я нашла ваш канал! Божечки, как это интересно. Хочу стать автотестером, нужно знать алгоритмы, чтобы знать алгоритмы нужно вспомнить всю математику, наверстываю благодаря вам!

На Трушина имеет смысл подписаться уже потому, что рассказывает прикольно. По идее, я всё это знал. Но забыл :)))

боже,я вас обожаю

Очень интересно)

О Боже,так просто..Но все же мощно сказано..Мы ошибаемся..Спасибо что вы есть..Очень мощно и логично

Спасибо!

Я ближе к иформатике, но хочеться понять это+

Чел, ты классик. Спасибо.

Очень интересно

спасибо!

Мне 40 лет. Я работаю программистом и с математикой у меня более чем ОК. Я как маленький ребенок прыгаю и хлопаю в ладошки от этого (да, именно этого, я посмотрел не одно ваше видео) видео. Вот теперь точно - лайк, подписка и колокольчик. Спасибо!!!

Решение последней задачи просто убило, очень круто, спасибо

Финал впечатлил, про х^х👍

Спасибо. Из всех на кого я подписана только вы объясняете всё доступным языком и такие моменты которые все просто опускают. Сразу стало понятнее как находить ОДЗ, почему, например, х>0, хотя на первый взгляд кажется ну может же быть и отрицательным.

Борис Трушин- - голова!

6:40 Мне нравится, как буква К похожа на японскую と(внезапно)

Как же Борис все понятно объясняет, просто супер

Круто

Если уравнение x^x=-1 имеет корень в целых числах, но не имеет в действительных, то получается, что целые числа не принадлежат множеству действительных. Однако если рассматривать действительные числа, как предел, то и целые числа нужно рассматривать, как предел, иначе появятся разрывы. Но числа с одинаковыми свойствами должны принадлежать одному множеству, что противоречит вышесказанному. Значит x^x=-1 не имеет решения, и вообще возведение отрицательных чисел в степень это другая операция, нежели возведение положительных. это если обойтись без комплексных чисел

Если мы возьмём отрицательное основание и целую степень. То для действительного числа у нас не будет того самого предела. В самой точке есть значение, а в её окрестности нет. А для целой степени нам не нужны пределы. Мы просто умножаем.

Осталось объяснить, как возвести число в комплексную степень

ласт задача топ

Как хорошо когда умеешь делать комплексный анализ и не забываешь про модуль

спс лайк

Помню интересную задачку: что больше: e^π или π^e?)

Забавно, буквально пару недель назад спрашивал, почему нельзя отрицательное число возводить в нецелую степень... Ответа не получил. А тут вот. :)

хорошо

💣🔥

прояснил

Спасибо за хорошее видео! У меня как раз возник вопрос о том, как вообще числа возводятся в иррациональную степень (по моей памяти, в школе, как-будто бы, не учили этому)

Бомба,сам с детства с математикой занимался..Но вы меня размбобили простой логикой..Простите,ну и блин так ясно и просто

Да.Изложение отличается тем,что не на пальчиках,а на основе мат.законов,чего не хватает многим учителям,особенно не старших классов(зачастую доминирует принцип Марьванны,ввиду того ,что и сама Марьванна "плавает" в этом вопросе,особенно в вопросе независимости подходящих последовательностей.Да и не мудрено.Тут без Вейерштрасса не обойтись,а это уже ВУЗ).

ура

👍

Это нормально, что число лайков - e(2.7) тысяч? Математика везде😱

Борис, благодарю за видео! Можно добавить "отсебятину" ? Кроме арифметического корня (не только квадратного) вместе с ним вводится "арифметическое возведение в степень" (для всех промежуточных между натуральными). Обе функции ("операции", если хотите) мирно живут вместе в тёплом и уютном мирке ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ действительных чисел. Да, Вы не ослышались: a^b определена только для положительных (про ноль отдельный разговор, но точно без отрицательных). По той же причине, по которой убрали левую ветвь параболы, нужно отпилить лево-нижнюю ветвь и у x^3 (и всех остальных). И говоря про эту вещественную парочку, напрочь забыть о существовании отрицательных чисел. Тогда всё будет хорошо: оставшаяся ветка от степенной функции будет четко соответствовать (см "обратная", точнее "взаимно-биективно-обратная") оставшейся ветки у "арифметического" ("подпиленного") корня. Если ВДРУГ кто-то вспомнит про отрицательные, то нужно пожертвовать своим мировоззрением и чуть порушить тёплый и уютный мирок, раздвигая его рамки. Но тут появятся неоднозначности. Во-первых, надо принять "особый вид" чисел: "положительно-отрицательные", а также "особые" функции, которые их возвращают. Теперь Корень( x, 2 ) - это уже не тот знакомый "арифметический" ("подпиленный") квадратный корень, который раньше по одному вещественному выдавал одно вещественное. Это нечто другое, что возвращает сразу два значения как одно (кортеж/множество из двух чисел). Теперь Корень(1, 2) = (-1, 1) или "плюс-минус 1". В начальной школе, чтобы не разорвало мозг ("стены мирка"), говорят "что у уравнения есть два решения". Это эвфемизм для "у уравнения есть одно решение, составленное из двух частей". Поэтому при введении отрицательных чисел в "арифметическое возведение в степень" (например, у x^2) у его друга-корня тоже отрастёт ветвь! Надо смириться, что новый "обычный" "неарифметический" корень (как пара к "обычному" "неарифметическому возведению в степень" на всей действительной оси) - многозначная функция. Более того, этих значений ровно столько, какова и степень корня. Да, такая вот плата за то, чтобы можно было сказать, что КОРЕНЬ( -8, 3) = -2, вернее: {-2, a, b} (мы же помним, что ответ сложный и из нескольких компонент; случай может быть вырожденный, когда компоненты вдруг оказываются одинаковые, а также могут не являться действительными, т.е. "как бы мы их не можем увидеть, но они есть" - всё надо учитывать правильно). Да и с ветками тоже неоднозначно! Кто так уверен в том, что расширением "арифметического возведения в степень" на область неположительных будет именно x^n, а не |x|^n ? (mind the abs!) Графически говоря, почему это у графика "неарифметического возведения в степень" обе ветви не будут ВСЕГДА направлены вверх? Как для чётных, так и для нечётных n ? Вообще говоря, о какой вообще чётности может идти речь, если n - тоже действительное число? ( 2/1 - чётно? а 2/10 ?? а 75/25 ?? :) ) Мы же арифметическую пару определяли именно для вещественных! (Что x, что n, оба вещественные: как x меняется плавно, так и n меняется плавно, а ветви на графике плавно вытягиваются вверх при росте n.) Тогда, получается, что вместо "привычных" школьных примеров y=x^3, того самого, у которого (-2)^3 = -8, и корня rt(x, 3), того самого, у которого rt(-8, 3)=-2, которые "красиво" выглядят, надо брать другую пару, которая вписывается в новую схему (для x^2 и sqrt(x)): |x|^3 и "плюс-минус" rt(|x|, 3). Теперь "корень" "упал": либо надо его ограничивать на положительные, ведь обратная |x|^3 не может быть отрицательной, либо, принимая за определение R3(x) = "плюс-минус" rt(|x|, 3), "доделывать" "возведения в степень": P3(x) = "плюс-минус" |x|^3. Тогда будёт всё хорошо в царстве действительных чисел, будут два взаимнообратных друга Змей Горыныча с 4-мя головами (ветвями). В частных случаях, дабы не пугать гостей, две головы будем отпиливать, исходя из разных "логик". 1) считаем, что n - сугубо натуральное и учитываем его чётность. Тогда остаются красивые "двухветвенные" варианты y=x^3 и y=КОРЕНЬ(x, 3). Зовём гостей по только нечётным числам, если они не готовы видеть двузначные функции. 2) над первым змеем проводим операцию по обрезанию нижних ветвей: y=|x|^3, а второму, кроме удаления левых ветвей, делаем "располовинивание". И говорим: вот первому змию соответствует два других полу-змия: один "+", другой "-". 3) выбираем компромисс между 1) и 2). По нечётным "щадящий режим" (у первого удаляем левоверхнюю и правонижнюю, а второго делаем симметричным отражением относительно y=x), а по чётным - "жёсткий" ( В x^2 убираем всё нижнее, а root "располовиниваем" на "+" и "-"). 4*) вообще отказываемся от идеи расширения и возвращаемся обратно в мир двух недо-змиев. Предлагаю совместно написать статью или выпустить в современном виде (совместный видеоролик) про эту тему. Буду рад Вашему ответу по эл. почте AndreyBaluevsky@gmail.com .

топ

0:50 Рыбников бы не согласился

Так если мы хотим работать с показателями как с числами, то, по идее, должны быть вернуы следующие рассуждения: (-1/2)^2 = (-1/2)^(-0.5+2.5) =(-1/2)^(-0.5) * (-1/2)^(2.5) Но это не определено 😁

Вы так и нтересно рассказывайте про математику, побольше бы таких учитилей😅Есть еще такая просьба, не могли бы вы разобрать неопределенность в пределах, 1 в степени бесконечность?Я просто не могу понять , почему это неопределенность)

Очень мощная логика.. но там и менее закрадывпще

Известный анекдот из теорфизики про «Ландавшица»: если доказательство занимает больше одной страницы, то написано «очевидно, что».

Такое ощущение что я сдал егэ на 3 и попал в университет к человеку который просто родился в математике! Это очень интересно! Интересно, сколько лет вы посвятили математики?

Супер ролик. Не все понятно, но очень интересно. И самое главное весь ролик ждал ответа на вопрос как не пользуясь инженерным калькулятором решить неравенство что больше e^π или π^e. Задачка хоть и олимпиадная, но хотелось бы знать подход к её решению. Разберите её на своём канале.

Борис, в вашем рассуждении про уравнение в самом конце ощущаю противоречие. Решить уравнение на множества А - значит найти все х из А, при которых оно превращается в верное равенство, либо доказать, что их нет. Но невозможно доказать, что среди действительных чисел нет такого, которое обращает в равенство, потому что оно есть: это число -1, оно действительное. То есть правильнее говорить, что когда мы решаем это уравнение и считаем х действительным, то необходимо раздельно рассматривать два случая: а) х целые (в тч и отрицательные), б) х рациональные и иррациональные, тогда х>0. Как думаете?

А как возводить в комплексную степень или просто в мнимую единицу

19:49 подождите, если х=х^√-1 и х=-1, то х=-1^√-1? вроде если возвести это число в степень -1, то получим подкоренное выражение, но в интернете мнения разнятся, а в учебниках ничего не говорят об отрицательной степени корня, существует ли тогда такой ответ и в принципе корни отрицательной степени?

Обожаю вопросы школьного уровня... Вынесло мозг в тот момент, когда понял, что иррациональное число на то и иррационально, что не имеет рационального приближения хД Парадокс в том, что если множество целых чисел полностью входит в множество вещественных чисел, то логично было бы предположить, что и решение на множестве целых чисел будет входить в множество решений на множестве действительных чисел, а опа, и нема))

Все числа можно представить, как результат работы алгоритма в основе которого лежат вычисления рядов...

А если у меня пример : корень шестой степени из (-8)^2 . Могу ли я делать какие либо действия в этом случае или это правило 9:30 ограничивается только степенями ?

так а как насчет lim n^n при n->0? вроде 1 все-таки :) ну и 0/0 тудаже :)

"у вас не может возникнуть ситуация, когда нужно ноль возводить в нулевую степень", отмотаем лет на 500 назад - "не может возникнуть ситуация, когда надо брать корень и -1", но те не менее возникли, аж целый ТФКП разработали

14:00 Не понял, а где в правом верхнем углу экрана выезжающая табличка с видео из матана?

Ответьте пожалуйста на вопрос. Если число в рациональной степени должно быть строго положительным то значит основание корня из нечётной степени так же должен быть строго положительным но почему тогда например мы можем извлечь кубический корень из -8 ?

Интересно, на что похож результат возведения числа в степень, где показатель степени будет комплексным числом?

Но ноль в нулевой можно представить как предел икс в исковой степени, когда икс стремится к нулю. Такой предел существует и равен единице.

Такая задача: решить в целых числах уравнение x^(x+5) = 0. Невозможность возведения нуля в отрицательную степень помешает ли вам считать 0 корнем этого уравнения? Очень надеюсь получить ответ.

тезис о большем количестве действительных чем целых чисел весьма спорен,; 0⁰=0/0=слон/слон=&/&=1 мне кажется. Да и предел k в степени k, когда k->0 будет 1.

А существует ли степени где показатель комплексное число? И не решит ли это проблему невозможности отрицательного основания при действительных числах. И, пожалуйста, не бейте меня сразу тапком, я в математике профан, но восхищаюсь этой наукой, потому как считаю, что она описывает существующий мир и математика это и есть мир. И ошибся, не показатель комплексное, а основание.

Zamecu, cto funkcija 0^x opredelena dlia VSEX polozitel'nyx vescestvennyx x .

Что-то я не поняла. Если задание решить последнее уравнение, то что -1 не корень?

прекрасное, исчерпывающее объяснение, один только комментарий: про 0^0 можно гораздо нагляднее сказать то же, что Вы говорили про любое ненулевое число в степени 0. Если хочется оставить все свойства действий со степенями, то 0^0 = 0^(k-k) = (0^k)/(0^k) = 0/0, где k, например, любое натуральное число. Т.е. 0^0 сводится к неопределённому в математике понятию и, следовательно, сам не может быть определён.

Получается что при целых и рациональных возведение в степень это сокращение умножения, а при иррациональных это предел?

Ммм, хочу добавки)

А могли бы Вы рассказать, почему минус на минус = плюс?)

Поступашки сказал бы, что школьник 8 класса должен был исследовать функцию x в степени x, в точке 0. И тогда бы не возникало никаких вопросов

А есть видео про возведение в комплексную степень...?

Вы философ математический без ошибок..Но убойная ваша информация...Главное умение в простоте изьяснить..Эх,разорачевалс, в своих суждений..Ошибся ..Спасибо что вы есть...А так еще раз про анализирую вашу мощную информацию..Очень задело...Ошибаюсь

А можно ли возводить в комплексную степень? Подумать надо

Когда а в квадрате- уделяется много внимания, когда более уровневая тема- то и так сойдёт!!! Уж любой ученик понимает, что такое А умноженное на себя

чему будет равен в пределе икс в степени икс при икс стремщимся к нулю? :)

0 в положительной это 0, в отрицательной это +-бесконечность, а в нулевой это неопределённость, Что-то среднее между 0 и +-бесконечностью.

Блеск

В нулевую степень нельзя возводить числа меньше либо равные нуля - оговорка или я слушал невнимательно?

Что-то я не поняла, множество действительных включает в себя мн.целых, так почему решения нет? Решения нет в множестве "действительные без целых", а такому мн. просто имени отдельного не дали.

Ноль нельзя делать на ноль просто потому, что ноль не обратим)))

Посмотрел видео, но так и не понял, как возвести в иррациональную степень и как решить пример sqrt2^sqrt2^sqrt2

Последовательность с корями из 2 стремится к 1, так?)

15:00 Согласен, что в школе делают очевидным то, что далеко не очевидно. А потом такой на первом курсе видишь задачу: Доказать, что 1>0. И такой "Опа! Это же очевидно!" Кстати, думаю, мало кто вот так навскидку сможет это доказать :) А я тоже забыл :) P. S. доказывать, что 1>0 нужно исходя из аксиоматики. А в аксиоматике НЕТУ такого, что 1>0. Поэтому нужно доказывать :-) Интересно, есть такое на Ютубе? На первом курсе вуза точно есть :)

А можно попросить разжевать возведение в иррациональную степень например (1,000136986)^1.825

20:52 почему основание в действительных числах обязано быть больше нуля?

Что делать с пределом икс в степени икс при положительном икс, стремящемся к нулю?

Вы говорите, что нигде не встречается 0^0. Но разве мы не хотим считать, что для всех a и b выполнено равенство: (a + b)^5 = \sum_{k=0}^5{5\choose k}a^{5-k}b^k Ведь если подставить a = b = 0, там будет 0^0.

На каком факультете надо учиться ,чтобы такое рассказывали ?)