なぜ、マイナス×マイナスはプラスなのか？　負✕負＝正　虚数（複素数）を使って説明します 

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誤)復素数→正)複素数 すいません。

①a+x=0 なるxを-aと記す。 ②1は普通の積の単位元である。(1と積をとっても変化しない) ③0と普通の積をとると0になり、また 0は和の単位元(0と和をとっても変化しない) 以上を仮定すると -1の意味から 1+(-1)=0 -1を両辺にかけると 1×(-1)+(-1)×(-1)=0×(-1) 1は積の単位元、0と積をとると0であるから、 -1+(-1)×(-1)=0 両辺1足すと 1+(-1)+(-1)×(-1)=0+1 1+(-1)は-1の意味から0とわかる。 また 0は和の単位元より 0+(-1)×(-1)=1 ここでまた0は和の単位元より (-1)×(-1)=1

毎回わかりやすく、通勤時間の楽しみです。ありがとうございます

62歳の人生ほぼ済んだ爺さんです。高校時代にこういう話を聞いていれば数学好きになっていたかもな。今の人は幸せ。

負✕負＝正　の説明でこんなにもシンプルなのは初めて見ました。楽しかったです♬ 複素数って本当によくできてますよね。

水槽の水が一番素直に腑に落ちました。

美しい...こういう話大好きなのでありがたいです！

スゴい！説明に納得できました！41歳で学生時代の謎が解けてスッキリです！

いままでよく分からなかった複素平面の意味がわかりました。ありがとうございました

04:14 都合がe(伝われ)

え、すげえ。感激しました

学生の頃は数学が好きじゃなかったのですが何故か数学の動画がすごく面白いです。

おおおすげえw 水槽で始めて理解出来たww

面白い！30分があっという間でした！今まで複素数がぼんやりしたものでしたが、理解が深まりました！

すごくわかりやすかったです！！！

虚数というのもが理解できずモヤモヤしていましたが、スッキリしました。 ありがとうございます。

本当に感動しました！ 神様です！！！

私も疑問に思っていました。この動画を見て、腑におちました。

整数の計算法則が複素数領域の回転（角度）世界に含まれることが良くわかりました。

2:44　カッコよすぎか… いやぁ、この動画くっそオモロイ。 最後「えっ・・！あーっ！！」てなったｗｗｗ 自信ないけど、中学に聞いてたらきっとそっちの道に行ってたな。。

ガウス平面と加法定理のリンクが鮮やかでした！ 数学は演習が第一だと思っていたのですが、 座学は今までの知識をフル活用した感じで、滅茶苦茶面白いですね～

ガウス平面初めて知った…勉強になりました。

文系だから複素数平面やってなかったですがこんなに面白かったんですね、、、

最後、すごく納得してしまいました。

昔習った複素数 全く本質的なところを理解できていなかったんだなと反省

文系だけど最後の説明で なるほど！となってしまった。

「マイナス」かける「マイナス」は「プラス」　　　　これは「演算の整合性」を保つためにあります。 ＡーＡ　　　　　　　　＝　０　　　　ですが　　両辺に　ーＢ　　を掛けると。　分配法則を使い、式を変形させます。 Ａ＊ーＢ　ーＡ＊ーＢ　＝　０　　　　になり　　両辺に　Ａ＊Ｂ　を足すと　　　第１項が相殺されますので、 ０　　　　ーＡ＊ーＢ　＝　Ａ＊Ｂ　　つまり　　ーＡ＊ーＢ＝Ａ＊Ｂ　　　　　　と変形され、「演算の整合性」が保たれます。　　　　 これは、 Ａ＊Ｂ＝ーＡ＊ーＢ　でも成立します。これは「演算の整合性」を保つための強力な手段です。 すいません、ちょっとわかりにくいかも知れませんが、Ｘ＝ーＡ＊ーＢ　とおいて式を変形させて　Ｘ　を求めても（Ｘを他の式に変形させる）出来ます。 追伸：いつも為になる動画ありがとうございます .

虚数を座標で表現するってわかりやすい。75年前の教科書には座標を使っての説明はなかったように思います。わかりやすい。絶対値を距離で定義するのもわかりやすい。

現役数学学習中ですが、途中使われてる平方完成で解を出す方法には眼から鱗でした😱

感動しました

ゴールに向かって後ろを向いて後ろに歩けばゴールに近づく

정말 재밌는 설명이었습니다! 30분이 훌쩍 지나가버리네요! 本当に面白い説明でした!30分が短いと感じるほどの!

水槽の話は感動しました。中学校の時は毒（−）を持って毒（−）を制す的な考えなんだろうなみたいに思ってましたw

わかりやしーー

以前一度視聴して、久々に見直してみました。 いやぁ、すげっ❗😆

私が習った当時に考えた「マイナス×マイナス＝プラス」の説明。 プラス＝貯金、マイナス＝借金、と考えます。 すると、100円の貯金を三回すると、100×3＝300　財産が300円増えます。 100円の貯金が三回なくなると、100×(－3)＝－300　財産が300円減ります。 100円の借金を三回すると、(－100)×3＝－300　借金が300円増えます。これは自分の財産が300円減ったのと同じ。 100円の借金を三回返すと借金が300減る。これは自分の財産が300円増えたのと同じ。 だから、(－100)×(－3)＝＋300 その当時（中学生の時）は言葉を知らなかったけど、今なら、上の説明の「財産」を「正味資産」と表現できます。

そんな説明受けてるなんてずるい！うらやましいw

証明などをするよりも感覚的に分かった時の方が気持ちがいいですね、ありがとうございました

鈴木貫太郎先生、講義をありがとうございます。

（－１）－（－１）＝０　が成り立ち、　それとは別に絶対値が等しく、符号が逆の２つの数を足すと　０　になるので、（－１）＋（＋１）＝０　も成り立つということから、　（－１）－（－１）＝（－１）＋（＋１）　が成り立つ、というのが主旨です。

なるほど現実に例えると凄く分かりやすい。 学校じゃただ計算された記憶しかない。問題ちゃんと読んでなかったか、なんとか正解しなくちゃで焦ってたかも、今思うと。

最近、eを動画で知りましたけど、僕も記憶が全く無いですw数Ⅲあったハズなんですけどね････

＋－はＸＹ軸だと方向を意味するのか・・・目から鱗だった。

すばらしい。ありがとうございます。

面白いな～！

なんでこんなに好きなんだろう

実数も複素数の一部であり、それは偶々範囲がゼロの複素数なので。角度はみな足す。複素数の計算は大きさは掛けて角度は足す、－×－は＋である。複素平面の説明が好いですね。

最初の水槽の水の増減からの説明も参考になった。まずはそう説明すればいいのか。

中学生の頃これが理解できんで机で泣いとった笑笑 水槽の話聞きたかったー笑笑

鈴木先生痩せてカッコイイ。解説益々斬新です。

50歳です。複素平面をどう実感するか、高校の頃いろいろと考えた記憶があります。長年の課題が解消しました。ありがとうございます。

高校の数学の先生が授業でこのようなことを講義してもらい、負✕負＝正になることを　当たり前と思うようになりました

すみません、10分20秒ぐらいでリタイアしました 面白い動画なのは間違いないです。

とても美しかったです。 ありがとうございました

バビロニアの数学とか、ピタゴラス教団の話とか、ハミルトンの虚数構成とか思い出した。

講義が終わって画面から消えていくところが、漫才が終わってステージから出て行くみたいで面白い

なるほど・・・・だいぶわかってきたぞ・・

勘太郎さんファンです。 (男でゴメンなさい) ちょっと離れた数の世界が美しく調和する一端を見せていただきました。 複素平面に住む住人は掛け算するとグルグル回る事を想像して🤣でした。 知らない数の世界沢山教えてください応援してます。

分かりやすいとしか言いようがないな

友達になんでマイナス一✖️マイナス一は１になるんだろって聞かれたので戻ってきました！ 明日教えます！

貫太郎さんの動画　面白いっす。 このちょっと長い動画も最後まで見せてもらいましたが、この　ー？＊－？＝＋？　が昔から？？？？だったんです。 もちろん都度説明は受けてきましたし、自分でも調べたりしましたが…結局のところ腑に落ちないところが多く残っていました。 でも、この動画で納得しました。 ありがとうございました。

数学って面白いよね学生時代はまったくわかりませんでした。

まったく理解できないが、それでも面白い。

極形式考えれば確かに納得だわ

いい説明が思いつきました。１次元ベクトルを考えます。ただし、座標を入れないとしましょう。そのベクトルを、正の数a倍することを、その方向にa倍してできたベクトルとして定義し、負の数a倍することを、逆向きにa倍してできたベクトルと定義しましょう。さて、座標を入れましょう。最初にそのベクトルと同じ向きを正の方向として座標を入れます。ベクトルは、実数と同一視でます。もし、そのベクトルが3を表すならば、そのベクトルを－2倍したベクトルは、－6です。つまり、3×(－2)=－6です。もし、座標をベクトルと逆向きを正にして入れましょう。ただし、先ほどの座標とは、1当たりの線分の長さを同じにしますね。では、この座標で先ほどの、ベクトルを－2倍することがどう表せるか考えます。今度は、ベクトルは－3と同一視できます。ベクトルを－２倍した結果、6と同一視できます。つまり、－3×(－2)=6です。つまり、正×負=負と負×負=正は同等だと思います。

(正)×(正)＝(正)→わかる (正)×(負)＝(負)→わかる (負)×(正)＝(負)→わかる (負)×(負)＝…負と行きたいところだけどしっくり来ないから正か…

加群において元aに対するa+b=b+a=0となる元bは一意的に定まりb=-aと書きます. このbに対しては一意性より-b=a, 即ち-(- a)=aです. 加群に積構造を加えた可換環では ab+(-a)b={a+(-a)}b=0b=0. ∴(-a)b=-ab. 同様にa(-b)=-ab. ∴(-a)(-b)=-a(-b)=-(-ab)=ab. となり(-)(-)=(+)が証明されるわけです. つまりこれは定義ではなく定理なんです. 定理:可換環において(-)(-)=(+)である. より直観的な説明を求めるならば水槽の場合と同じく「時速-1キロで-1時間歩けば+1キロの地点にいる」即ち「時速1キロで後ろ向きに歩けば1時間前には1キロ前方にいた」ということです.

高校1年の私には全然分かりませんが、これは数学Ⅱとかを勉強した後なら理解できるようになりますか？

めっちゃためになりました

複素平面にいったん拡張してからの負数を再認識すると、負数なんて当たり前だのクラッカーだった。44歳社会人ですが、複素数についてよい復習になりました。いつも楽しく拝見してます。

結局これは循環論法に近いような気がします。 勿論「三角関数」の公式を初等的に独立に証明すれば ロジックとしてはマイナス×マイナス＝プラスを非自明な形で説明出来た 事に（一応？）なるんでしょうけれど、【定義の妥当性の納得】の仕方として、 これではじゃあなぜ「複素数の積が回転に関係しているか」が 結局しっくり来ない、初等的に定義された「三角関数」なるものの公式を 用いて機械的に計算するとなぜだか「複素数の積が回転に関係している」 ようだとしか納得することが出来ない、つまり、妥当性という事に関して、 よく分からないものが更によく分からないものに話が すり替わっただけではないでしょうか。 よく覚えていませんが"数学"的にはまず「回転」の方から 先に定義しそれを用いて「角度」や「三角関数」を数学的に構成すれば、 加法定理やオイラーの公式やピタゴラスの定理その他が自明な系として自然に理解できる流れだったかと思います。要するに高校数学や受験数学の人工的な狭い庭で無理に足踏みする事に意味や意義が感じられません。

3:05からの説明何回聞いてもその通りだなって思うのに覚えられない。。

15分ぐらいまでは聞き行ってて途中この動画ってなんの趣旨だったかを忘れていた。水槽の話は分かり易いけど学校で習ったかな…(笑)

中1の問題を高校の知識で説明するのなんかおもろい

こんなん、思いつくのは困難w流石じゃw

確かに虚数の定義もー✖️ーが＋であることを基に定義されてますよね

水槽の話すごいなぁ 知らなかった、、、

僕は進行方向を正の向き、それと逆の方向を負の向きと置いて、前向きに3m進むと+(+3)=3となる。逆に逆向きに3m進むのは−(+3)=−3となる。では、逆向きに3m戻るのは数式で表すと−(−3)=3。実際に後ろ向きに3m戻るのと前向きに3m進むのは同じこと。これで納得してた。中1の時は。

ベクトル（方向）、三角関数、虚数を関連付ければ良いのかな。

迷い込んだんだが、挨拶が某白マスクユーチューバー似てて笑った

いい動画ですね、中学生や数学が苦手な高校生に見せたいです(^^)

実数は複素数平面上における横軸上にある値で、長さ（大きさ）を掛けて角度を足すと、横軸上にある値の角度は0度と180度しかあり得ないから、マイナス×マイナスは180度＋180度なので、360度＝0度で＋になると。ブルーバックスの本と合わせてやっと分かった。

中学の頃は「後ろを向いて」「後ろ向きに歩く」と前に歩いてるからとかで解釈してたな

数学はなぜと思う定義はあるにはあると思いますが、統計学になるとほとんど全ての定義が何故だらけのような気がしますね。（余談ですが）

数の拡張というのは、特別具体的なものに対応させると自然に出てくるという意味で一種の逆説である様な気がします。数というものは色々な量に使えるから有用であるとよく言われるが、数学上の具体的対象である平面上の合同変換群の部分群としての平行移動群というか幾何ベクトルの自己同型群に関係させれば自然と足りないものとして自然数は当然に複素数体に拡張されると理解されるのだろうと思います。アーベル群の自己同型は合成を掛け算、足し算をアーベル群の演算を使ってpointwiseに定義すれば馬鹿馬鹿しいくらい簡単に環を成すことが示される。小学校で比と分数というものを習うが、比は一直線上の平行移動群の部分群とはならないが部分半群ではある長さの自己同型群と考えられる。比を習う時に比例関係というものも同時に習うと思うが、関数というか変換であるということだろう。比と正の分数を一対一に対応させる時、分数のかけ算は二つの比の連比を取って中間の項を省く事に対応するが、即ち関数というか変換の合成に対応するだろう。連続関数の微分公式も連鎖律と呼ぶのでは無かったろうか？通分による足し算も、対応する比を関数と考えた時にpointwiseな定義であることが了解できるのではないだろうか？長さという半群の自己同型群である比は、平面上の幾何ベクトルの自己同型群に部分群として埋め込まれる。数直線にる直線上の点と実数との一対一の対応、或はガウス平面による平面上の点と複素数との一対一の対応も詳しく見れば点ではなく幾何ベクトルの変換との対応であることが分かるだろう。原点と1である点を、基準となる幾何ベクトルの始点と終点として選ぶ自由度があるから・・・。平面上の幾何ベクトルの一般の自己同型変換と違って、ただ１つの0でない幾何ベクトルの行先さえ決めて仕舞えば、自己同型群としての回転も絶対値比も直積の成分として一意に決定されてしまう訳です。鈴木さんのマイナス*マイナス=プラスがより美しく納得できるというお話も、平面上の平行移動群の自己同型環部分体として、絶対値の長さの比と回転の集合が、複素数体に対応している事を説明されたという事だと推測します。又行列が高校課程から除かれたというならば、複素数の極形式表示を持って加法定理を説明強調すべきである事も賛成です。勿論合同変換群やルービックキューブなどで喩えられる群論的な論法というものが最初から認識されていたわけではなく、半群の自己同型群である比、正の分数、負の分数などの数の拡張と相まって認識されてきたのが歴史であるということだろうと思います。そういう意味で言えば、マイナス*マイナス=プラスの意味は東にマイナス3歩のマイナス2倍は東に6歩であるという説明で充分であると思います。有理数の掛け算の可換性は、変換の合成は必ずしも可換では無いけれども自然数の掛け算の可換性が遺伝したものと解釈して良いものと思います。

確かに美しい。というか、美しすぎる。 数学っていうのは、すべて大きさと角度で表現できるのではと思ってしまうほど、洗練された美しさを感じました。 私は、複素数の概念が、今までなかなか理解、納得できず、 学生時代は特に苦しんだ思い出があります。 正負の概念を、複素数平面上の2点間を結んだ長さと、その線分と実軸とのなす角から考える。 自分の中に、今までにない発想でした。 同時に、「数直線」や「座標軸」という、もやもやとしていて、単なる計算過程の道具程度にしか必要性を感じていなかった概念が、 角度が登場したことで一気に重要性が増し、あらゆる数学的概念が色濃く調和するために必要不可欠な概念なのだという認識に至りました。 学生時代に、その発想に出会えていたら、もっと数学に親しみを感じ、理解しやすかったかもしれないのが悔やみです。

ー100km/ｈで走る車が－１ｈに進む距離は、＋100km

本題の等式は定義であるのか もちろん定義として出発することも可能かも知れない 個人的には、いわゆる''体''の公理(体と呼ばれるものが満たすべき条件であり、その一つに中学数学でも出てくる結合法則が挙げられる）から証明するものがしっくりくる なぜしっくりくるのかと問われれば、抽象的な体において一般的に示すことができ、実数が体であることから本題の等式は自明となるからである 浅学ながら、なぜ実数が体の公理を満たすのかは解さない、そのように実数を定義したのかも知れない、勉強の続くところである とにかく、命題が自明に思える証明が自分にはしっくりくるので、その意味では、実数における等式をより高い次元である複素数から俯瞰し理解するこの動画も、自分にとって価値のあるものである

定義とはそう決めたから証明できないあるいは証明せずに堰堤としてよいものということでしょうが、数学ならまだしも、統計学において定義だからですまされてはなぜなぜばかりで後味悪いのもわからずに定義だからですませる先生が存在します。私はこれでひどい目にあい、試験には一回も合格できなかったくらいでした。

大学の数学の専門科目で、マイナス×マイナス＝プラス　の証明をした記憶があります。確か集合論だったかな？

中学生でもわかるように言うと、（－１）＝（－１）　　右辺の（－１）を左辺へ移行すると（－１）－（－１）＝００　は（－１）＋（＋１）でもあるので（－１）－（－１）＝（－１）＋（＋１）　ガ成り立ちます。この式の両辺から（－１）を引きますとー（－１）＝＋（＋１）これが成り立つので（－１）（－１）＝１　が理解できると思います。

x^3=1のやつすごいですね❗めっちゃ美しいです❗

複素数使うよりも、群論や環論の最初で使う、2項演算の話を高校生や中学生にわかりやすく解説すれば、わざわざ複素数使わなくても十分伝わると思います。

昔、塾で初めて複素数平面を知った時、マイナス×マイナスの証明で、この動画とほぼ同じことを思いついて友人に言ったら、(言葉は忘れたけど)証明になってないって言われたのを思い出した。 でも、あれでよかったんだね。

センセの分かりやすい解法で是非ζ(-1)もやってください！😌

ベクトルを使えば簡単に説明できます。例えば(-2)×(1)=(-2)というのは数直線上の(-2)というベクトルが一回足されるということです。(-2)×(3)=(-6)ならば三回たされます。又(-2)×(-1)=(2)というのは逆方向に一回足されるということですから、(-2)×(-3)=(6)ならば逆方向に三回足されることになります。数直線上に図を描いて説明すれば中一の生徒でも理解できます。

後ろ向きの後ろ向きが前向きみたいな感じだとおもってた

整数だけなら掛け算の定義だけから導き出すこともできます。定義を x×(y+1) = x×y + x , x×0 = 0 に再定義すれば、 x×0 = x×(-1) + x を満たす物、x×(-1) = x×(-2) + x を満たす物、‥という感じで、×負数 の答えが一意に決まり、 x を負数にして適用すれば、負数×負数 の答えも一意に決まります。 例えば、(-3)×0=0,(-3)×0=(-3)×(-1)+(-3)⇒(-3)×(-1)=3,(-3)×(-1)=(-3)×(-2)+(-3)⇒(-3)×(-2)=6 という感じで... 因みに、y+1はsucc(y)と書いた方がいいのですが、ここにsuccを出すと話が無駄に広がるのでy+1と書きました。

私が中学生の時（30年以上前）は、両手の人差し指を『マイナスの符号』と捉えて、『マイナスとマイナスで……ｼｭﾜｯﾁ！』とスペシウム光線のポーズを取って覚えなさい！と言われましたね。それ以来、理系の道に進みました。