球の体積、表面積　中学生にも納得のいく方法で。 積分でも出します 

鈴木先生、こんにちわ。　いつも楽しく拝聴しております。 　私は最新の動画を楽しみつつも、何故か３～４年前くらいの動画もついつい見てしまいます。 ちょっと薄暗い室内、壁に張り付いたホワイトボード、スーツ姿の鈴木先生・・・。 言葉ではうまく説明できませんが、素朴・質素・愚直・・・といったことを最初に見た当時、感じました。 　私は子供といつも見ているのですが、数学の内容よりも｢どうしてこんなに毎日続けられるのだろう？｣、｢こうやって続けていく人間のエネルギーって何だろう？｣、｢どんな動機がそのエネルギーになっているのだろう？｣、｢最初から４年後に１４万人超の登録者数になると想定していたんだろうか？｣、｢本の出版とかオイラーの公式Ｔシャツ姿を想定していたんだろうか？｣、｢(ほとんど)数学の内容だけで続けていけるってどうやって確信できたんだろう？　どんな信念があったんだろう？｣など等、鈴木先生のエネルギーに関する話しで盛りあがることが殆どです。何回もこの頃の動画を見て、何回も同じような問いを親子で話し合っています。 　実は私も子供もあまり数学は得意ではなく、どちらかというと鈴木先生の講義を単に聞くことや姿を見ることが視聴している目的のようなものです。もちろん、そこから面白さや学びになることは沢山あります。ですが、むしろ｢淡々と継続して表現をし続ける人｣への畏怖のようなものを抱き、感じることがより大きな意義のような気がしています。 　鈴木先生はそんなことを教示するために動画を作成されているわけではないのでしょうが、将来に何が待っているのか分らずとも淡々と日々数学だけを続けていく何か勇気のようなものを感じずにはいられません。そうです、生きる勇気としか表現する単語を思いつきません。恐らくそのような不思議な魅力が当時の動画にあるように思えます。 　娘は今、高校２年生ですがお陰様で旧帝国大学の文系数学の半分程度は、なんとか解けるようになりました。国語・英語・社会は得意科目なので、二次試験はそこそこ目処が立ちそうです。私が甲斐性無しな者で、ロクに学習塾にも通わせてやれないままで終わりそうですが、努力を続ける意義のようなものもこちらが勝手に鈴木先生のお姿から学んだような気がして、中学生の頃から視聴し続けて良かったと思っています。 　感謝申し上げます。ありがとうございました。 オイラーの公式　2017/07/07　ＵＰからまもなく４年になろうとしています。 これからも楽しい動画作成を続けていかれることを願って已みません。

数学は壮大な伏線回収である

毎回楽しく見させていただいております。昔、本当に頭のいい人の説明は、バカでも解らすことができると聞いたことがありますが、先生の説明はそれにあたると思いました。

この人の教え方無駄に面白くしようとしてないけど、うまいし深いからめっちゃ面白い。

学ぶことが楽しいと思わせてくれる、ある意味本当の教師

8:11 この動き好き

なるほど分かりやすかった。 自分は表面積→体積の順でかんがえようとして詰まってましたが、 動画のように体積→表面積で考えると納得です。

学問を学ぶことって、歴史の追体験なんですねぇ

鈴木さんとよびのりさんの動画見てると微積に興味がとても湧きます笑 とてもわかりやすいです！早くできるようになりたい...

これは他の人にも広めたい動画ですね。 中学生でもわかる方で球の体積、表面積がでたときは感動物でした。

受験の時にこんな先生に習いたかった

最後の積分の考え方美しすぎて中学生の頃の自分に教えてやりたい

なぜそうなるのかずっと考えていました〜！わかりやすい説明ありがとうございます！

いつも分かりやすい解説感謝です!。

中学生にも分かるのはほんと有難い

楽しかった！！よくわかった！！ありがとうございます

塾経営です。早速生徒たちに伝えてみます！これらの公式を丸暗記したままでいるのと、この解説を遅くとも微積履修前に聞いたのではその後の学びの姿勢が格段に変わってくるでしょう。半球の断面で直角二等辺三角形の２辺の長さhが出てくるあたりが山場になりそうです。

教わる側からみて、分かりやすい先生を選ぶことが、大きな違い、大切なんだな～と、しみじみ感じました。非常にわかりやすい演繹的教授法ですね。

前に学習した事が後にちゃんとついてくるんやなぁって…もっと深く理解した気になれた

まだ微積分習ってない高校生です。 円の表面積、体積の公式ってどうやって求められたものなのかよく分からないまま使っていたけど、前半の説明で納得がいきました。 その上で、積分ってどんなものなのか見当もつかなかったのですが、後半の説明でなんとなくイメージが掴めました。 本当に素晴らしい解説をありがとうございました！

こうゆう問題集にないような本質的な話有難いです。

純粋に感動した。 積分からこの発想に至ることが素晴らしい。 逆に, この考えを先に知っていれば, 積分のイメージがすんなり学生に入りそう。

数学も楽しいですが、アルキメデスの人生も調べてみると楽しいです。そういう切り口の動画をしてみても楽しいですね。数学って無機質に見えちゃうけど、議論してきたのは生身の人間で、歴史があるんだなと思いました。

高校時代にこういう動画を普通に見られたらもう少し授業も楽しく感じられたでしょうね。 数学は本当に面白いと思います。 大人になってから学び直すと特にそれを感じます。 先生どうもありがとうございます😊。

これは分かりやすいですね。 丸暗記ではなく、学校でもこの解説方法で勉強を教えてもらいたいと思いました。 ワクワクする授業で、学びが楽しくなります。 中学生の子どもに教えたいと思います。いつもありがとうございます。

veygood。こんな先生に教われたら最高ですね。

私もただ暗記するのはすきではありません。やはり、理屈が大事ですね。分かりやすい解説ありがとうございました。

面白いですね。 動画楽しみにしてます。

とても面白いです！この前もっちゃんさんと二次方程式の解の公式導かれてましたよね？あれをこんな講義形式で再録希望します(^^♪この動画と合わせて数学好きの小学生に見せたい！

微小な三角形に分割して考えるのは応力解析などのシミュレーションで使う有限要素法にも通じるので応用範囲が広いですね。

大学に入ってやっと体積と面積の定義を習ったから導ける

中学高校のときに習っていれば数学が好きになってたかもしれない

非常にためになります、これからも動画投稿頑張ってください。

今になって、はっきりしました✨

社会人です。教え方もとてもお上手ですが、一生懸命に教えて下さる姿勢にとても胸が打たれます。応援しています。

円柱に内接する球、円錐の体積比が綺麗な比例になることを知り、数学の面白さを感じました。

一部分だけの球を求める積分計算はちょっと前にしたんだけど それまでの積分にたどり着く過程が奥深いね。もう思い出せないけど・・・

中学になって最初の夏休みの数学の課題はこれにします！！ｗ分かりやすい説明でありがとうございました！！！

中３です。 何故こんな式になるのかずっと気になっていましたが、この動画を見てやっとすっきりしました。 とても分かり易かったです

この発想はすげえ。

錐の体積は柱の体積に1/3を掛ける理由を思いついた時、嬉しかったのを思い出す。 球の体積はこういう風に考えた事なかったから勉強になるな

Thanks RU-vid for this recommendation

半球の体積はそれを含む円柱の体積の2/3なんだ。これ今回初めて知りました。

球の体積（表面積）は中1 三平方は中3で習う。 中1で習う時の説明が （表面積） 半径rの円と球を用意して紐を巻きつける。このとき円に比べて球は4倍紐が必要になる。 という実験を元にした説明しかされなかった。 この動画でモヤモヤが消えた。 ありがとう。

錐の集合体は教科書にも載ってますが、この体積の証明は初めて見ました！ おかげでどうしてもできなかった表面積の説明が生徒達にできそうです

「錐の体積はなぜ３分の一か」の動画を見たあとに、この動画を見ました。 錐の時は見てもよく分からなかったのですが、こちらの動画を見てやっと理解できました。 錐と球（半球）で同じことをしてたんですね。 二回見てようやく分かったという感じです。 でもとても分かりやすく、私は高校のころは数ⅡBまでしかしてなかったのですが、そこまでの知識で理解できるので、すごいと思いました。 これからも頑張ってください。

諦め悪いマンだから 本当にありがたいです

とてもわかりやすかった。 算数・数学をほんとにわかりやすく教えることができるのは 理系の天才ではなく、文系のめっちゃ頭いい人なんじゃないかと思う、 今日この頃でした。。。

ありがとうございます！

「心配あるある」と「身の上に心配あーるの3乗」で覚えさせられたなぁ

青春時代をおもいだしてます・・わかかったな～懐かしい講義ですな～しかし昔よりよくわかりますな～講義をきくのが７０年おそかった～ありがとうございます！

これは素晴らしい！微積分を使わずして説明がつくとは。3歳の娘が約10年後に数学を勉強する時にこれを用いて教えます。

数学学ばせて頂きます！

正方形に納めるんでしょうね。それであとは比率の問題ですもんね。解を化学とか物理に求めずに数学だけで出すってところに、知ってしまったのだった！！っていうね。

いやー、目から鱗が落ちまくりです。 楽しいし美しい！ でも、私はまだ修業中の身で、実は後半がよく分かりませんでした。 今、訳あって高校の数学を独学で勉強しているところで、積分のことはまだ分からないのです。 もう少し修行を積んだらまたこの動画を見に来ます。 でも、前半だけで４回くらい「お～っ!!」と感嘆の声を上げたくらい感動しました。 ありがとうございます。

初見だけどアンパンマンみたいでかわいい先生だなと思いました。

立体は断面の集合体で、2立体の各同レベル断面が常に同面積なら２体積も一緒 このイメージはまさに定積分のそれですよね

積分が使えるなら速攻で答えが出ますよねｗ　暗記で勉強してきた人は社会に出て教えていない仕事を振ると習っていないからできませんで終わっちゃう。そうでない人は間違っていたりするけど面白い結果を持ってくる。ちなみに設計職です

こんばんは(^-^)/ RU-vidでこちらの動画のお知らせを拝見し、受講しました。 教科書が基本なのは、理解してますが、僕はその教科書が読みづらいです。自分が分からないことを、理解できるように説明して下さる先生の動画を、繰り返し受講できるのは、幸せなことだと思います。 👍️いたしました。

球の体積の公式を微分すると球の表面積の公式になるのが不思議でした。 これで疑問が氷解しました。 先生ありがとうございました。

中一の時先生に理由教えて貰ってまじ納得したの思い出した その理由うろ覚えやけど

2000年前にこういうことを考えてる人間がいたってのがすごい

すげえ 鮮やかすぎて笑った

もともと数学と云うのは、暗記の学問では無いです。いかに深く考えるか、と云う分野なのですが、暗記ですと全く未知の次元の問題に遭遇した場合には、手の施しようがなくなる。ニッチもサッチも行かなくなります。本来、考えると云う営為が数学なので、意味の分からない公式を暗記することほど、苦痛な事は有りません。例えば、初等関数である三角函数、指数函数、対数函数、などでも、公式が、嫌と云うほどあります。いちいち、そんな公式を覚えて居られないです。函数の関係が分って居れば、一つの公式から応用する為の大多数の三角函数の式は導き出せる。 ですが、テスト試験の場合が困るのですね。或る決められた時間内に、出された問題を解かなければならない。本来の数学は、決められた時間内に解かなければならない何て無いのですが。それで、意味の解らない公式を覚えて、出された問題に適用する、それが試験でありテストなので、これで入学試験に合格したり不合格になったりする。これが数学の嫌いな子を作っている原因の一つなのだと思います。鈴木先生の、この様なプレゼンが、数学の嫌いな子を無くすことが出来る唯一の方法なのだと思います。 鈴木先生が、このプレゼンを小学生、中学生を対象に講義されているのだとしたら、これはかなり内容のレベルの高い講義です。小学生や中学生という頭の柔らかい時代に、高級な頭の使い方を育てると云うことは、物凄く大事な事です。どうぞご活躍をなさってください。

すげーー　めちゃめちゃ面白い！！

この人好き。

素晴らしい。数学は、暗記ではなく考え方を身につける学問です。三平方の定理(これも勿論説明可能です)も中学生で、教えるので、球の体積までは、この説明で納得してもらえそうです。 (わたしは、高校の時積分から公式を導き出しはやりました。でも中学とは。) 先生は球の公式の暗記の仕方についても言及されてます。しかし多分先生が暗記の仕方をインターネット等で見つけた時、苦虫を潰したような顔したことは、想像に難くありません。笑 後、受験生でない人も楽しめるように、公式の説明は非常に面白いのでやってほしい。 例えば、微分の公式を接線の概念からlimを使わず重根から導き出すとか。 後は、和算への考察とか。円理とか面白いです。とにかく、公式を使わず全て説明しようと言う男らしさ(男女差別 笑)がカッコいいです。

詰将棋も見ています。役に立ちました。広告多いのが残念

球の表面積の公式の証明は面積分でできますよね！

とても参考になりました。　中三数学を教えていますが、理由もわからない公式を使わせる、というのは確かにやりたくないですね。「柱の体積ーー＞錐の体積ーー＞球の体積＝錐の集合」をいつか使わせていただきます。　因みにアルキメデスの、面積の方はわかりませんが、体積の方（円柱＊２／３＝球）は実験（排水法）に依ったのではないでしょうか。ありがとうございました。

ああ　積木遊びはこのためにあるのか　ｲﾔｲﾔ

ずっとモヤモヤしてたのが晴れました

全く数学興味なくたまたま入ってきたがこの先生めっちゃわかかりやすいわー

5世紀の中国の数学家祖沖之およびその息子祖暅による球体積の計算方法ですね。西洋では17世紀になってカヴァリエリの原理として知られていますね。

うちの大学に来てほしい

円の体積はカヴァリエリの原理から導き出されたってあって感動したなぁ

球の表面積についても積分で示されることを解説してほしいです。

コメント失礼します、円錐台の公式の導出で相似比を用いたものは理解したのですが、積分を用いたものはあるのでしょうか？教えていただけますと幸いです。

私がこれ習った頃、積分という言葉は出なかったにせよ、こういう話は教科書にちゃんと載っていたと記憶してますが…

「認めて下さい、お願いします」誰に言ってるんだろう？ たくみさんかなぁ、古賀さんかなぁ🤔 少なくとも私は、おこがましいですが、認めさせていただきます。 貫太郎さんの講義の魅力は、取り上げるテーマの面白さと独特の説得力だと思います。

錐の体積根拠分からんかったが冒頭の図見た瞬間理解した

だんだん0に近づけたくなるの好き

数学は公式ではなく、公式を導き出す考え方なんですよね。 高校の時、線は点の総和、面は線の総和、体積は面の総和と教わりましたか、次元を一つ上げた総和を考えろ！と教わりました。 わかる人はわかるけど、沈んでいく人は数学が嫌いになってましたね。(笑) このように教われば、ほとんどの人は数学が嫌いにならなかったでしょう。

球の体積は積分習った時にストンと納得出来た．

あっ！やり方たぶんあってない 当時中学生で円の体積を微積分のない昔の人ならどうやったかな？ と考えまして 真球ならたぶん接点かなって なんでこんなことを考えたのかというと最密充填を考えるときに立方体の中に球体を押し込む必要がありまして 半径ではなくXYZで微積分できたら楽かなって

鈴木先生、こんにちは。 以前、娘と父で先生のチャンネルを視聴している、と長々とコメントした者でございます。 本日合格が決まりました。私学を受けなかったのでハラハラしました。 これからも、末永く楽しい授業をお続けください。 御礼申し上げます、ありがとうございました。

全体の流れは分かったんですが、 14:22辺りから、円柱の面積は、半球＋円錐になるというところが理解できません。わかる人教えて下さい。

高校くらいまでだとこういうのもですっていう覚え方するのが公式とか方程式ですよね。たまに学校のテキストでも公式を証明しなさいみたいな問題が出てきますよね。けっこう受験数学って条件書かれてないから自由度高いですよね。赤本ってあくまでも見解ですもんね。代ゼミのセンター試験答え合わせみたいなとこありますよね。本来なら正解は４択。途中経過は点数にならないという。あとアルキメデスってダ・ヴィンチに近いとこもありますよね。

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ガヴァリエリを使っての球の体積、表面積の出しかたは99％同じ内容のことを考えておりました。今度、数学Ⅰでこの内容を話そうと考えておりました。自信につながりましたが、高校一年生の理解力のある生徒には通じると思っております。ガヴァリエリは長岡亮介先生の参考書本質の研究を参考にしました。どうもありがとうございます。

ミヨちゃんパイ3つあーる って覚えました()

文系の学科じゃ理系の教員免許とれないんだぜ。鈴木先生を見て考え直してほしいですね。

中高のときは、わりとロジックで覚えてたな。平面だから二乗とか立体だから三乗とか よく考えたら丸暗記したことないわ。

中学の時に教えられたけどすぐ忘れたわw

中学校の数学の授業で、「面積心配ある事情」「体積は身の上に心配あるので参上！」と語呂合わせで何度も言われて覚えました。理屈抜きの語呂合わせで覚える勉強が嫌いな私は、全然楽しくなかった。数学は、このように理屈をきちんと習う学問なんだと改めて実感しました。

とても分かりやすい説明ありがとうございました！中学生に教える際に参考にさせていただきます！ 1つお伺いしたいのですが、14:10の所で半円の切り口の面積と円錐の切り口の面積を足す理由を教えていただければ幸いです。

Wonderful!!!

カヴァリエリの定理がこんな形で球の体積の導出に繋がるとは。

2の3乗根は1.25992104989487316476721・・・ 立方体の一辺の長さを求めるのにターミナルのbcコマンドでr3=2;b=1/3;e(b*l(r3));と何故か両辺対数をとってeで記述。

円錐の体積を使って球の体積求めたってことは円錐も積分使わなくても体積出せるってことですか？