本当に正しい数学の怖い話 (級数の順序変更) 

見に行ったらすごく面白かったです 留数定理が出てきたあたりで白旗でしたが🤔

あのサイトどの記事も教養とネタと知識が凄い

コメント見ただけでちゃんと検索までするの、知的態度が身についててすごいと思った（小並感） 俺も調べよ

直角三角形のパーツの並べ替えのやつ、仕組み知ってイラっとした

たしかにと思いました。そういう余っちゃうはずの項が無限遠に追いやられて"消える"イメージなんですかね

なるほどわかりやすい

それな　特に違和感無い

でもそれだと絶対収束する場合については直感が外れちゃうよ

臨機応変という言葉ご存知ない？

@@user-zr7ud3uc2s 私が主張したいのは、「その直感で級数の収束値を判定するのは不可能である」ということなので、臨機応変も糞も無いと思いますが...

K Adch 収束値がいくらか？って言う話じゃなくて、結果が変わる、と言うことに関しての話だから、同じじゃないことに関してそんなに不思議でもないよ、って感想としてなら、普通じゃない？

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + … も条件収束です。やはり収束が遅いので上記の等式はあまり使いません。

誰に話しかけてるのこの人…笑

なんかめっちゃドヤ顔で送ってそう…

大学1.2年の数学を高校で学んでたころの結構昔の京大の入試でそんな問題があったよね、log2だったかな？それの少数第3位まで求めるやつ

2より大きな数字のlogを求める公式ですね 自分も感動した記憶

6:00 の補題の話ですね。 無限級数 A, B について、AとBの和とは、Cn = An + Bn としたときの無限和 Σ(Cn) と考えることができます。 ある項までの有限和が Σ(Cn) = Σ(An) + Σ(Bn) となることは理解し易いと思います。無限和は有限和の極限と考えられるので、有限和の場合と同様に無限和 Σ(Cn) の値は「右辺の足し算」として求められます。 もとの無限級数の各項を足し合わせる順序さえ変えなければ、無限級数同士の和を無限級数 C として考えることができるということです。 なお、無限級数 A, B がともに収束（絶対収束でなくてもよい）すれば、無限級数 C も収束します。

条件収束する級数は混ぜ方を変えることで任意の値に収束させられるって動画最後で言ってるので、同じ値にはならんね

混ぜ方を変えれば結果は変わるよ。お菓子作りと一緒だね。1-1+1-1.......と続く級数があれば、奇数番目は1だし偶数番目は0になる。よって極限は存在しない。

正、負、正、負、 を繰り返すと確率 1/2 で正です。 正、正、負、正、正、負 を繰り返すと確率 2/3 で正です。 同じ個数で比較すればたしかに確率が増えてるのでプラスの登場回数が多く見えるというのは正しいです。 しかし実際には無限個同士の比較なので単純に比べることはできません。

+1/7 だいぶ早く出てますしね

直感的にわかるんですね ・・・

こんなボケを言う者には灸を据えたほうがいいな

私は好き

なんでもっと伸びないんだ、、、 こういうの好きでしょヨビノリ視聴者！

どっちもメガネかけてそう

めっっっっさ面白そう

ある収束値から並び替えて別の収束値にする時、｢並び替える数｣をある種の距離と考えることも出来そう

並び替えをσとして(1,σ(1)),(2,σ(2)),...を平面にプロットして、例えばそれらを適当にむすんで、y=xとの差を見るのは1つの手段かなー

@@ari_harapeco ケンドールの順位相関係数に似てるね

無理数を無限パターン生み出す手法があるとデータ圧縮に役立つと思う

​@@RokuroRokutaroo さん、有難うございます。参考になりました。 ゼータ関数(ζ)の解析接続(前提条件無視の延長)に依る「1＋2＋…＋∞＝－1/12」の導出法ですね。 この摩訶不思議な式の導出には様々な方法が有って、もっと簡単な方法として例えば無限級数の項を 入れ替えた演算もあり、収束しない無限級数の項入れ替え演算が出て来る事を言いたかったのです。 以下はその一例です。オイラー師匠に逆らうつもりは無いのですが、何とも… 光子の質量(0)＝振動エネルギー(2)＋最低エネルギー{(D－1)×(1＋2＋…＋∞)×3}　(→①) 上式の無限級数部を　S＝1＋2＋…＋∞　(→②)　として、4倍したものを項をズラして辺々を引くと S ＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋… －) 4S ＝ 4 ＋ 8 + 12 ＋… ----------------------------------------------------------------- －3S ＝ 1－2＋3－4＋5－6＋7… これを更に、項をズラして辺々足すと －3S ＝ 1－2＋3－4＋5－6＋7… ＋) －3S ＝ 1－2＋3－4＋5－6＋7… ----------------------------------------------------------------- －6S ＝ 1－1＋1－1＋1－1＋1…　(→③) 一方、以下の級数和式が知られている Σ(x^n)＝1 ＋ x ＋ x^2 ＋ x^3 ＋ … ＋ x^(n-1)＝(1-x^n)/(1-x)　※x≠1, n=0,1,2,…,n-1 これに (－1 < x < 1) という条件を付け、n→∞　に飛ばすと、x^n→0　より Σ(x^n)＝1/(1-x)　※－1 < x < 1,　n=0,1,2,…,∞ これに解析接続(前提条件無視の延長)して、x＝－1　を代入すると Σ(x^n)＝1－1＋1－1＋…＝1/2　(→④) ③＝④より、 －6S＝1－1＋1－1＋…＝1/2 S＝－1/12 この結果を②に戻して、 S＝1＋2＋…＋∞＝－1/12　(→⑤)　※ここで登場！ 更に⑤を①に戻して 0＝2＋{(D－1)×(－1/12)×3} ∴D(空間の次元数)＝9

ゼータ関数は名前位しか知らず超弦理論に至っては何も知りませんが、ここで投稿されている方々のお話に触れるだけで何だかワクワクします。

項の比と言っても最初の 100 個とか 1000 個とか有限個の範囲でそう見えるだけです。 プラスの項もマイナスの項も無限個あるのだから全体では比べようがありません。 > 何をしてもいいものなのでしょうか？ 等式の同値性を保つという意味で絶対収束する級数ならOKです。条件収束する級数ではダメです。 次の例を考えてみてください。 ( i ) a = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + 1/64 - ( ii ) b = 1 + 1/4 - 1/2 + 1/16 + 1/64 - 1/8 + 1/256 + 1/1024 - 1/32 + … a と b をそれぞれ計算して一致することを確かめてみてください。

項の比は変わっていません。正の数も負の数も無限個あります

項を追加する→既存の項は後ろに押しやられる→最後の項が溢れそうだがそんな項はないので溢れない 以下無限ループ 結論：項の数は増えてない？？？

「足し算の順序を変えると結果が変わる」のは、ある無限級数Aに対して、その数列Aの初項から第n項までの部分和の表現が変わってしまう場合です。 もとの無限級数Aの各項の手前に一つの +0 を付け加えた形の無限級数は、第n項目が Bn = 0 + An である数列Bの無限和と考えることができます。 このように新しい数列を考えて、その数列の無限和を計算することで、無限級数に「ある操作」を施した別の無限級数を考えることができます。 新しい数列Bの第n項を Bn = 0 + 0 + An とすれば、もとの数列Aの各項の手前に +0 を2個ずつ追加した形の新しい無限級数を考えることができますし、この形であれば当然ながらその収束値はもとの無限級数Aの値と一致します。 値が変わってしまう駄目な例としては、新しい数列Bとして、もとの数列Aの初項の手前に無限個の +0 を付け加えた形とするものです。 これは②の数列の全ての +0 の位置を左に寄せた形の数列ですが、その数列Bの第n項までの部分和を数列Aと同様に表すことができません。つまり、いつまでも部分和が 0 となるため、この形の無限級数Bの値は 0 になってしまいます。 新しい数列の第n項を、あるいは第n項までの部分和をどのように記述できるかによって、その数列の無限和（無限級数）の値が決まります。

@@coeurl256 補足解説ありがとうございます！！ 今何回か読み直しながら理解をすすめています、、 （もしこの後の記載に誤解がありましたらすみません、、） 「新しい数列の第n項を、あるいは第n項までの部分和をどのように記述できるかによって、その数列の無限和（無限級数）の値が決まります。」 （この一文をよんで現状理解した気になっているのですが、） という事は、あえてかみ砕いた言い方をさせていただきますと、 無限に計算をする時は、 「このパターンでここまで（第ｎ項まで）計算してこの値だったら、∞にやっても同じだろうな」みたいな感覚という事でよろしいでしょうか？ また、そのために足し算の順番を入れ替えると、計算の仕方のパターンが変わるために答えとしてでてくる結果も変わるという事ですかね？？

@@g5161431 パターンというよりも、有限和をどのように計算できるかによるということです。 無限和の値は、有限和の計算の極限を取ることで求められます。 足し算の順序を変えることで収束値が変わってしまうことについては、任意の値に収束させる方法を調べてみてください。これは「リーマン級数定理」または「リーマンの再配列定理」と呼ばれます。 条件収束する無限級数は、絶対収束しないという性質によって任意の値に収束させたり発散させるような「項の順序変更（数列の再配列）」が可能であるということが示されます。

log2勉強しないからこうなるんだ！

ファボ1のボケすんな 笑

2:08w

と、先生は　いかりまくろーりん展開

止めないから何も溢れないけど収束先は変わる

@検索中 答え知ってからなるほどねってなるのが悔しいってこと　大体わかるくね

@検索中 自分の返信が煽ってることに気付いて修正してて草 ↓↓↓ そとみがわりゅうく だから答え言われなくてもだいたい分かるって書いてるよね？ 的外れだしお前に聞いてないし話しかけてくんなよ。

こんなギャグが伝わるか伝わらないかというかわいらしい議論が出来るのは平和だからなのかもしれない

@@thereisgoodname 間違いない アホっぽくて可愛い

@検索中 なんでカリカリしてんの

アーベルの定理で検索検索ゥ！！

そんな名前だったんだ

@@somethingyoulike9253 終盤に言ってる任意の実数に収束させられるってやつですね

大学では自然数の集合から自然数の集合への全単射写像を使って議論します。 全単射なので逆写像が定義できて、全ての番号は並び替えた後もどこかには必ずいます。 よって、全体として見れば変わっていません。

∞はペアノの公理より自然数に含まれないので納得できなくて正解かと

@@i_love_sex 無限という数字が使われてるんじゃなくてずーっと書き続けてる、という意味の無限かと。 数字が見えている範囲では変わっていても、きちんと「同じ内容を、入れ替えただけの状態で書く」前提があるので、この場合は変わらないと思います。

​@@user-zs4bj2dl5u 「log2に近づいたね」と人間が評価するとき必ず有限で切って観測してるのであなたが「無限に続くその全体量」は変わらないよ、と主張するとき、その全体量という単語もやはり有限で切ってしまってるのです。が、有限で切ると全体量は変わってしまっている（増えてしまっている）のが自明です

@@i_love_sex うーん…言いたいこと伝わってなさそうなのですが伝える能力が私にはないのでもう大丈夫です。 多分そういうことじゃないよって上手く言えないけど言いたかった…

厳密には極限を計算しています。特定の級数だけ計算できて何でも計算できるわけではありません。 log 2 はそれを近似する級数が有名なのでわかります。

@@user-dl8nk5bf8v 返信ありがとうございます！つまりこの場合では実際はlog2に近いというだけであってlog2ではないのでしょうか？理解力が乏しくて申し訳ありません。

@@user-hp3oo1lj8q さん ざっくりその解釈であってます。途中まで和を計算すると log 2 に近い値が出て、 さらに計算する量を増やすといくらでも log 2 に近い値が求められる、といった具合です。 どこまで計算してもぴったりの値にはなりません。

@@user-dl8nk5bf8v 理解出来ました！分かりやすいご説明ありがとうございました！

@@user-uj1qt7zh1w え、足さないんですか？