誰も反論できない0.999…=1の証明【ゆっくり解説】 

わかる。 非アルキメデス順序体の実例などを以て「実数は唯一つの完備アルキメデス順序体である」ということに納得しない限り、完全に理解したとは言えないと思ってる。

0.999...の後ろの方が「見えなくなる（0になる）まで続ける」なのか、文字通り「無限に続ける」なのかで意味が違うんだけど、「実数体の中に存在しない」ってどちらを指してるの？ どちらも間違いなく「実数体の中に存在しない」んだけど、無限という「状態」について考えるか、0という「数」について考えるのかどちらかにしないといけない。 0.999...の話で、無限と0は共存できないから。

​@@175ch 元コメに書かれてる「無限小」というのは、順序群や順序体などと呼ばれる数学的対象の理論で定義される概念で、「0.999...と無限に続ける」とかの文脈とは全く関係が無いのだ… 「実数体は無限小を持たない順序体である 逆に言えば無限小を持つような順序体も存在する と言うことを理解しよう」 という話なのだ… 細かく説明できなくて申し訳ないのだ…

@@175ch 貴方様の仰る「見えなくなる(0になる)まで続ける」というのがどのような数学的概念のことを意図されているのか理解できません。

​@@匿名希望-w8f無限小を持つ順序体で考えられる0.999...という何かしらは、無限小を持たない実数体で考えれば1との差は0なので、「差が0」を根拠に0.999...=1と言える、という理屈であってる？

デデキント切断ってやつですね

動画よりもこれが1番わかりやすいんだけど すごい納得した

めちゃくちゃわかりやすい

人間はどんなにこの世の理(ことわり)を発見しようともそれはこの世の理の全体の一部でしかない。 つまりはまだ発見できていない理にそれを否定するものが隠れている可能性がある。 例えばニュートン力学に対する相対性理論のように。 そうすると人間にできるのはその時点で知り得た理を使って不都合が生じない＝真理ということにしておきましょうとするしかない。 数学においては特に無限というのは人類が到達できないであろう隠れた理があるかも知れない。 何故なら人間は無限の世界を体感することは出来ないので想像するしかない。 Xを試行回数、Yを失敗した頻度、aを失敗した回数とすれば、 Y=a/Xなるが 何回失敗してもその後試行回数を無限回まで増やせばY=０となり失敗しなかった事になる。 これが死だとすれば生き返ることになる。 しかしこの無限回数というのは人間が到達できる領域ではなくその領域がどんな世界であるかは体感できない だけど数学的には不都合が無いように想像でまとめる事が出来るから真理でええやんってやってるだけの話。

無限...？ なんだろう、それってあなたの有限ですよね？

そこマジで気持ち悪かったわ

辛いことでもあったんか？ なんか心配やで。

0.9999……=1は数学的に成立するんだからコメ主さんは一人前なんだよ 飲みすぎて身体を壊さないようにね

人生楽しいこともあるんやから頑張ろうぜ

屁理屈や詭弁じゃないんやで、この世の真理なんや 0.5の人生だった者より

良いじゃねぇか 1って決まるどころか無限に歩んでる最中、人生なにがあるかわからん お前の数式が現在の数値代入したら0.999...と近似する式だとしても少し先の未来で1以上になる式かもしれん 有限の幅で見たら収束してるように見えて無限を考えたら発散する式かもしれんだろ？

＞「約束」なんだ 私もそう解釈しています。 物理の世界もそうだけど不都合なく論理的に説明できたら「真理」としましょうという「約束」 だけど創薬の世界はそうはいかない。 論理的に不都合なく説明できてもその時点で絶対に「正しい」とはしない。 必ずそれが正しいかの現実的な検証をする。 何故なら人間は必ず絶対に正しいという理は宇宙の理の部分でしかなくまだ発見されていない理の中にそれを否定するものが隠れている可能性があるからです。 そう、ニュートン力学に対する相対性理論のように。 そしての現実的な検証が創薬の世界では治験になります。 しかし数学は現実世界での検証が出来ないモノがあり約束事にするしかない。 例えば Xを試行回数、Yを失敗した頻度、aを失敗した回数とすれば Y=a/Xが成り立つ。 失敗回数がゼロの間は試行回数に関係なく失敗した頻度もゼロである。 しかし何回失敗しようがその後に無限回数試行すればY=0となり失敗は無かった事になる。 これが死だったなら生き返ることになる。 だけど治験のように無限回数試行してみるという検証は人類にはできずもはや神の領域である。 なので無限を扱う数学はモロ約束事だと思う。 例えば無限を使えば長さ５の線分と長さ10の線分が等しい事は証明することができる。 (この場合の等しいは長さではなく濃度の比較ですね。)

僕も動画を見ている中で、「nは自然数であるから1/nは0になれないのでは？」と思いましたね〜

おいらも そこで突然「よって」と言われても、どのへんがよってなのかさっぱり ちなみに大学数学もε-δで挫折した

他のチャンネルの動画で勉強したんですが、「任意のεに対して、十分大きなnならば、|1/n|

おそらくはさみうちの原理を使ったんじゃないかと思うんだけどどうなんだろ？ 「1/nは０になれる」⇔lim1/n=0って意味だと感じた

14:50 からの証明は全体的におかしい気がする

たしかに

たぶんこの証明に納得できない人って中学数学で脱落した人たちだろうから難しいこと言っても通じないんだよな

それな

1/3づつにカットしてくっつけるやつ？

ちゃんとイコールで結ばれるんで違うわけじゃないけどね

一応違うも1って決めた数字自体にも意味がなくなるだろって話になるので... そもそも1とか他の有理数も無限の精度で求めた数みたいなもんだしな 数学上で違うと証明することが無理なので同値として扱ってるだけ

切り上げ最強！

簡単だ

そもそも数直線上に0.9999999 …を表す1点は存在しないのでは？存在しちゃったら9999がどこかで終わってるってことだし

小数点以下に無限に数続くってのがよくわからん、無限は少なくとも実数じゃないだろうし無限は何か特別な概念がないと理解できないというか定義できないような…

@@arrosoirbouton実数は直線に存在するんだから無限に続こうが存在するよ

​@@arrosoirboutonそれだったらπもeも√2も数直線上に存在しなくなっちゃう

慣例的にδは（十分小さい）正の実数、Nは（十分大きい）自然数を表すのに使いますね ε-δ論法は連続的なものの極限の定式化、ε-N論法は離散的なものの極限の定式化です

まさにその通り！ a×(1/a)の解は「必ず」「1」です。 そうなっていないのだから、 0.333…はそもそも1/3ではないのです。 早いハナシ、「3の1/3は、0.9999……なんですか？」てこと。

​@@user-om7io9tz9y1/3=0.333...は、「この世界での認識」としては合ってると思う 最後の0.000...1の部分は、「この世界で認識できない小ささ＝0」になってしまったただけで、数としては存在してる。 だから×3すると元の0.000...1としてこの世界で認識できるようになる 無限小数の最後の桁が書けないのは、「認識外の数」だから書きようがない。 「認識世界の最小値」を定義すれば、「最小値/3」って書ける数

結局のところ、その説明も動画のLv1、Lv2と同様の問題が生じているということでしょう。 無限小数に対する掛け算が怪しいのと同様に、0.3333...+0.3333...+0.3333... = 0.9999...っていう式が本当に正しいの？というのが本質だと思う。 足し算にしたって一番下の位から計算を初めて、繰り上がりを考慮しながら上の位に向かって計算していくはず。その一番下の位がはっきりしてない状態で、雰囲気で上の位の部分だけ足し算をしても厳密ではない、っていうことでしょう。

@@html5sg-esk514 なるほど、0.3333…を疑ってるって意味なら分かる どこまで突き詰めるかって問題になるのかな？

その考えと全く同じ 1/3で表される0.333...の正体は「0.333...3+実数の最小値/3」の数だよね。 実数の最小値を決めていない現代数学だと「実数の最小値/3」と記述できないから0.333...って誤魔化してるけど、実際にはそこに数があって、「0.333...3+実数の最小値/3」に×3したらキレイに1になるだけの話だよね 逆に、0.333...と表記し続ける限り、最後の部分が「+最小値/5」や「+最小値/9」みたいな他の数とは区別できない

ね。無限は特定の数に向かうものではない それはつまり、数と数の間に無限は存在できないことにもなる

7進数の1/6で考えれば1/6=0.111...

​@@175chもっと正確に言えば収束か発散するってだけよね

最後があると仮定すると 仮定が間違っているので全て間違いです。

いら、実数だとそうなるだけ

それはあなたの理解不足ですよ

0.9を２乗すると、 0.81となるから あなたの言ってることは全くおかしいよ。0.9の3乗は 0.729になっちゃうよ。

lim[n→∞]0.1^n=0だから、無限桁のこの小数を1に足しても1から引いても1のまま。 大丈夫、伝わってます

普段の=は双方向に行き来できるのに、収束の定義の=は無限から有限への一方通行な感じがしますよね

数学では＝の記号は「右辺と左辺が等しい、同じである事を表す」ものではなかったでしょうか？場合によってどのような意味を持たせようとしているのかを考える必要があるというのは、数学でない日常の言葉で、＝を英語のbe動詞のように使う場合がありますね。例えば（例えが良くないですが、とっさに思いつかないのでとりあえずの例を書きます）、「○○先生は高校の数学教師である。」を「○○先生＝高校の数学教師」という記載も見ることがありますが、その反対の「高校の数学教師＝○○先生」は正しくありません。つまり数学ではどのような場合でも＝という記号を使う以上、反対にしようが必ず一致する時にしか使えません。私も素人なので、別の意味でのコメントであればご容赦ください。

むしろ同等と数学の厳密性を勘違いしてるのかと 右辺の誤差を認めなかった場合、左辺の誤差も考えなければいけない 数学は厳密だからこそ無限も0に収束するか任意の方向の無限に発散し、ある数はその数であると定められる そして右辺と左辺が無限の精度によって必ず等しくなるものがある 実際はどこかしらで有限になるから違和感が出る それは計算方法の違いであり収束速度の差によるもの、または定義ミスだな

ククククク 古弓六黒苦 私の古い弓のようなプレイスキルでダイスはブラックホールになるという意味

本当の意味の無限は数と数の間には存在せず、「上にも下にも数が無限に続く様子」を表す こういう話で登場する無限は、「人間が認識できる範囲を超えた何からの数」で、本当の意味での無限ではない 今回の「差が0だよね」というのは、人間が認識できないから0なのであって、実際には「認識できない数の差」が存在している。 確かに認識できる世界では差が0だから0.999...=1なんだけど、本質的には差があって、そこに違和感が生まれる

は？（威圧）

リミットは近似値じゃなくてどの値に近づくかを求めているのと、まず...自体が極限を表しているからその定義に納得できないなら多分どんな説明でも納得できないと思う。

@@oyN-mz6od 近付いてるだけでその値にはならないならその値とはイコールでは無いのでは？ テスト自体は覚えれば解けるのでどうとでもなりましたが、納得は出来なかった部分多いです。

​@@arrosoirboutonその値になる必要はなく、どの値に近づくか分かれば良いのです。

気持ち分かります。 ε-Nによる収束の定義を見てみると、リミットよりも納得しやすいと思います。 数列(an) がある値(αとします)に収束するというのは、任意のεに対して、nを十分大きくすると、anとαの距離(|an-α|の値)をε未満にできる、ということです。 気持ちを伝えると、どんなεに対してもnを大きくしたらいつでもεで抑えられます！ →勝負に絶対勝てる！みたいな感じです。 いかがでしょうか、、

@@arrosoirbouton 1/∞=0にはならないけど、limがつくと何に近づくかを表すから=0になる。一応、何に近づくかの部分がlimの定義に入り込んでるから、≒とかにする必要はない。

これすごいな、いつか人に教えそう

ロンエヌは数列で、デルタは関数じゃなかったっけ？

直後に同じことを魔理沙が言ってたわ

数学的には「0.999...と1との差は0だから0.999...=1だ」って論調だけど、実際は数としての差が認識の範囲を超えて0にしか見えなくなっただけで、そこある数としての差はなくならない（認識論抜きでの真の0にはならない）という意味で、0.999...と1の「認識上の差は0」だけど、0.999...≠1が正解だと思ってる

@@175ch その感覚は非常に鋭く素晴らしいと思います。 0.999…=1が成り立つのは実数体という「アルキメデス性と完備性を備えた順序体」での演算のルールをほぼそのまま適用した結果に過ぎません。 0.999…≠1が成り立つような演算体系や極限操作の定義を採用すれば、当たり前(同語反復)ではありますが、0.999…≠1は確かに成り立つのです。 結局のところ、採用する公理や定義の問題であり、あまりに実数体の定義(公理)に慣れ親しみすぎて他の可能性が想起しづらくなっているだけではあると思います。

muzukasiidesune

それって、「本当に存在しない時の0」と「0としか認識できないだけでそこに存在している数」をしっかり分けましょう、って発想と似ていたりする？

@@175ch そういうイメージを数学的に定式化できるという話ですね。

密着位相を入れたら1=2になることについて、これによれば任意の実数α、βに対しα＝βを言えるように感じるのですが、これだと位相の入れ方によって写像の全単射性が変わってしまうのでは？（全単射性は位相の入れ方とは関係ない）

0.999...という数はその場合、x軸に相当しますよ。 0.999...は、「1に限りなく近づけた数」ではなく、「1に限りなく近づけた時の極限」を表してますから。

1であってますよ。Aという事象が起こりうることと、Aが起こる確率が0になることは無限が絡めば両立します。

@@user-oj7hq3fb8r でも当たりましたよ！

使える桁数は限定とかなるだけで変わってしまうし、限定桁数ごとにも変わった差異になるらへんも実際使える誤差かも。誤差がリアルデータてのもありそうだけどないないわけでもないことがあるかも知れないのかもしれない。

1に収束するを0.999…と表記するって事なんだろうな。 ただし、レベル1～2の時にそれだとおかしなことになるだけで。

「数列が収束する」なら分かりますが「値が収束する」とはどういう意味でしょう？ 何らかの数列を考えて、その数列が収束する値を0.999...と表記する、と定義するならば0.999…=1はおかしくないですね。

@@malo2793 仰る通りです。 「値が収束する」という表現が不適切なのは承知の上で、ただ「限りなく特定の値に近づいていく」ことを表す簡潔な表現が他に思いつかなかったので、そのニュアンスさえ伝わればいいかなと思い「収束」という言葉を使いました。 納得するか否かという話なので個人的な感覚の話になってしまうのですが、 0.999...という値は1に限りなく近い値、つまり「この値より大きく1より小さい値が存在しない（かつ1ではない）値」だと思うのですが、 それは例えば y=1-1/x という関数のxを無限大にとばしたときに「その関数が実際にとりうる値」ということではないのでしょうか。一方、収束値である1は「関数が実際にはとりえない値」であるため、この二つの値を等号で結ぶことに違和感を感じてしまうという意味です。

@@user-lc9hz3id3q結局は定義の問題になるのですが、 0.999...という記号が意味するものを極限を用いて定義するのであれば、極限値というのが関数が実際にとる値ではなくどの値に近づくかを意味している以上その値は1と等しいです。 もし1ではない値として定義したいのであれば通常の極限とは異なる方法を用いて定義する必要があります。 そしておそらくそのためには実数とは別の数体系を用いる必要があると思います。

@@user-lc9hz3id3q結局はどう定義するかの問題なのですが、0.999…という記号が表す値を極限を用いて定義するのであれば、極限値というのが関数が実際にとる値ではなく近づく値を意味する以上それは1と等しくなります。 もし1とは異なる値として定義したいのであれば通常の極限とは異なる方法で定義する必要があります。 そしておそらくそのためには実数とは別の数体系が必要です。

は？

その延長で、「数が小さくなるといずれ0になる（認識できなくなる）が、数としては存在しており、小さくなり続けている」が正解だと思ってる。 認識上は「差が0なので0.999...=1」だけど、認識できない差が本当の意味での0（差がない）になることはないから、0.999...=1は厳密には間違い。 固定数や動的数と表現した違和感もこれに近い？