100次元球の体積の求め方を解説します【ゆっくり解説】 

n次元超球... 人の認知の及ばない世界をあれこれ語れるのが数学の最大の魅力だと思ってます

n次元球の体積の公式は、数学よりも物理（統計力学）で先にガッツリ使いました。孤立系のエネルギーEを与えたとき、状態空間（粒子数に応じた高次元空間！）のミクロ状態数が、ちょうどEで決まる半径の球の体積から決まるとかなんとか。 ところで、「正の実数で定義され、f(x+1)=xf(x)とf(1)=1を満たす関数」（この2つだけから自然数ｎに対しf(n+1)=n!が言える）は、ガンマ関数に限らず無数にあります！ しかし「log f(x)のグラフが凸になる」という条件を追加すると、ガンマ関数だけに絞られます（E.アルティン『ガンマ関数入門』より）。そんな抽象的な性質でガンマ関数を同定できるってすごくない？

3年の数学のテストで最後に4次元球の体積を求める問題出されたの思い出した。正解できたのは数学お化けの1人だけという結果だった。

最近、霊夢の言う「ド文系の私」が「看板に偽りあり」や「羊頭狗肉」と同義じゃないかって感じるようになった。

一次元の球の表面積が2なのは、一次元の球の"表面"が線分の両端の2つの点になることと、一次元で見た点一つの"面積"が0次元でいう点の"体積"に相当すること、あとは0次元でみた点の"体積"が1(0次元には点しかないので、逆に言えば点を0次元球とみなして公式が使える)と定義できることを考えるとわかります。

これガンマ関数の導入としてこれ以上ないほど良い教材だと思ふ

４次元の球は時間を１次元と考えると 突如空間に小さい球が現れ時間とともに大きくなり一定の大きさに達したら今度はどんどん小さくなって消滅する そんなイメージかな

ガンマ関数がわかりやすいようにマンガにしてほしいわね。ガンマ関数だけにねﾎﾟｸﾎﾟｸﾎﾟｸﾁｰﾝ

体積と表面積を積分で表し、漸化式を作ればガンマ関数不要でいけます 結局使うのはガンマ関数の.5の値だけだからね

高校レベルの積分プラスアルファくらいでなんとかn次元級の体積の証明できないかな。理系じゃないと厳しそうだけど、、 あるいは正方形、立方体でも…

n次極座標のヤコビアンを積分すればn次元の球の体積が求められる 具体的には Vn=Π(i=0→n-2)∫r^(n-1)dr∫dθisin^i(θi)

半径rのn次元球の体積をf(r)としたらn+1次元球の体積は-rからrまでf(√(r²-x²))をxで積分したら求められることは思いついたことあるけどそれだと一般項がわからなかった。

ｎ次元球の体積をどう計算するのかという説明省いて、いきなり公式を出してくるところがド文系ですな。 でも楽しい。

ガンマ関数のあたりでついていけんかった 難しいねえ

この雰囲気の流れで物質の原子番号での周期表を表してしまうエネルギー関数がありそうな気が…て、もうあるかも？電子数の結果（整数）だけでないバージョンの。😵何かヤバげ。

「体積の微分が表面積」ってのは微分と積分を理解してない人が陥りがちな誤謬です。これは円、球、正多面体、超球など（言わばたまたま)あてはまるだけなので気をつけてください

ここで円周率をτ=2πと定義し直すと・・・

1次元球君、どう見ても円じゃないのに球を名乗り、πも使わないとか言う謎っぷり

１次元には面積の概念がない、二次元には体積の概念がない、では三次元に無い概念はなにか？ 線は円の一元写像だった、円は球の二次元写像だった、では球は何の三次元写像なのか？

動画に関係ないのですが y=x^3をy=lx^3lと絶対値をつけると奇関数から偶関数になるのですが、y=x^偶数乗で0>yの部分をx軸に対して線対称の奇関数の形に表す式はありますか？

4次元の球って3次元の円って言ってんのと同じじゃね

1次元だと単位はmの「長さ」 2次元だと単位はm^2の「面積」 3次元だと単位はm^3の「体積」 じゃあ4次元以上はなんて言うんだろ

ゴボボボ！🧟😱🌀(分からん過ぎて、死亡)

階乗にπが出てくるんか…

これって r を固定して n を増やしていくと、V はどこかで上限を打って、あとは減ってきます？ 何でそんな挙動をするんだろ。ド文系の私に教えて欲しいわ。

無理数の階乗はどう求めるの？

yQGYEVfCrq0 これの後半と同じ？

体積って使うなよ