맞습니다. 60도분법은 현대적인 미분법(16세기)이 사용되기 이전부터 사용하던 방식이고, 호도법은 미분법이 나온 후에 미분법을 간략하게 만들기 위해 도입된 방법입니다. 자연 로그도 마찬가지구요. 원래는 log10이 먼저 나왔지만 미적분법이 도입되면서 계산을 간략하게 하기 위해 자연로그와 상수 e가 새롭게 도입된 것입니다.
아... 각도법을 사용하면 삼각함수 도함수에 Pi/180라는 상수가 계속 따라 다니겠군요. 0.01745... 실제로 엑셀로 lim sinx/x 돌려보면 0.01745...로 수렴하네요. 일반적인 삼각함수 도함수에 사용되는 각도는 Radian값으로 한다는 것도 이제 알았습니다. 다른것도 생각해 보니 원의 호 넓이나 호의 길이 구하는 것도 Radian쓰면 Pi가 제거되서 값이 깔끔해 지네요. 제가 학교 다닐때 유튜브가 있었다면 좋았을텐데요. 하나마나한 소리... 죄송하고요. 오늘 당신은 한사람을 살렸습니다. ㅋㅋ 감사합니다.
좋은 강의 감사합니다.이런 이야기 저 고등학생떄 접할 수 있었다면 좋았을텐데 ㅜㅜㅜ..이게 왜 있지. 뭐 때문에 이거 배우는거지. 이런 질문을 해소해야 그것에 기반해서 지식을 쌓아올리는 습관이 들어있어 암기식 수업엔 잘 적응 못했어요.허수에 대한 이야기 구글 검색하다 방문했어요. 우연히 좋은 채널 알게 되어 좋습니다.구독하고 갈게요.영상은 전부 다 찬찬히 보겠습니다.
제가 배운바로는 호도법의 정의는 대수체계에서의 계산을 원할하게 위해서라고 알고 있습니다. 각도는 수의 체계에 들어가지 않기 때문에 수식의 계산 (미, 적분 포함)을 하기 위해서 각도를 수의체계인 호도법으로 바꾸어 계산 하는거라고 배웠습니다. 원의 관점에서 볼때 각도와 호는 정비례 (2π=360, 즉, 2X호도=각도) 관계이기 때문에 향후 미적분으로까지 넘어가 수의 계산을 원할하게 하기 위한것..,이라고 은사님께 배운 적이 있습니다. ^^ 물론 공돌교수님의 정의도 훌륭합니다!! ^^
유익한 영상이었습니다. 왜 배우냐??라고 묻는다면 나중에 배울 내용의 계산을 쉽게 할려고가 정답이긴 한데... 각도를 처음 배우는 초등학생들에게 미적분, 극한등을 쉽게 계산하기 위해 필요한 라디안을 도입하긴 어려우니 원을 360등분한 360°를 가르친다고 알고 있습니다. 360은 3,4,5,6,8,9,10,12 등으로 나우어 지므로 정다각형의 도입에도 유용하죠. 나중에 대학교에서 주로 다룰 삼각함수, 쌍곡함수, 의 미분 적분 그리고 라플라스변환등등을 위해서 어느 순간 즉, 대입 전에 라디안을 도입할 필요가 있으므로 고등학교에서 라디안을 언급하고 삼각함수를 사용하며 중학교에서는 삼각함수를 다루지 않고 90°이내의 삼각비 정도를 다루는 걸로 알고있습니다.
저도 미분이 큰 이유라고 영상을 만들었었는데 댓글로 자기가 아는 중학 수준에 지식만 나열하면서 제 영상 폄하하는거 보고 영상 멈췄었는데 이 영상보니까 너무 반갑고 고맙기까지 하네요..응원합니다.. 어줍지않은 댓글에 상처받지 마시고 좋은 영상 많이 만들어주세요~ 응원합니다^^
저는 호도법이 쓰인 이유가 각도를 하나의 실수와 일대일대응시키기 위해 생겼다고 봅니다 1°는 1이라는 실수와 동일하지 않지만 1 rad 은 l = r•각도(rad) 이므로 1•1(rad)이 되므로 각도가 1rad이고 반지름이 1인 원의 호의 길이인 1과 대응이 됩니다. 따라서 1 rad =1 이라는 대응이 됩니다. 이것의 유용성은 삼각함수와 일반실수가 동시에 존재하는 상황에 매우 유용합니다 예를들어 y=x sinx를 봅시다. 여기서 x는 실숫값이고 sinx에 있는 x는 각도값이므로 동시에 표현하기 어려워 보입니다 하지만 우리는 rad을 통해 x라는 변수에 rad을 단위를 붙여 두 상황을 표현할 수 있습니다 X의 경우 Xrad은 1•Xrad or X•1rad 이고 둘다 실수 X와 대응이 됩니다 또한 sin[x(rad)]은 1•sin[x(rad)]이므로 특정 각도xrad에해당하는 실수sin값이 나오게 됩니다. 만약 °를 단위로한다면 어떨까요? X의 경우 X°는 특정 실수와의 관계식이 없기 때문에 X라는 실수값에 대응이 되지 않습니다. 만약 호도법이 존재하지 않는다 가정하고 180/pi °를 반지름에 대한 호의 길이가 같은 각도라고 정의를 하게된다면 l= r•각도[°]•pi/180이므로 실수 x= 각도 x•pi/180 [°]가 됩니다. 그렇다면 실수x와 각도x°를 동시에표현하고 싶은y=x sinx함수를 각도°를 동시에 붙여서 표현하면 매우 복잡한 식이 됩니다. Sinx[°]는 특정 실수값이 대응되므로 상관 없지만 x는 특정 각도를 통해 특정 실수 x값에 대응시켜야 하므로 y= x[°]•pi/180 • sin[x °]가 됩니다. 이렇게 보면 sinx°함수를 그리기 위해선 주기가 360인 함수를 졸라길게 그려야되므로 엄청난 시간 낭비가 되며 라디안때보다 식이 더럽게 됩니다. 여담으로 1 rad = 180/pi°이므로 sinx[rad] = sin x•180/pi[°]이므로 미분시 180/pi가 나온다는 발상은 좀 애매한게 rad을 기준으로 한 sin함수가 그런거지 실제로 X변수에 °를 단위로한 sin함수는 그냥 sinx[°]입니다. Sinx(rad)은 °를 기준으로 한 함수 관점에선 그냥 standard한 sinx가 아니라 주기가 2pi로 되게 기존 sinx[°]를 180/pi만큼 줄여서 만든 sin[x°]•180/pi일 뿐이므로 한마디로 °를 기준으로 한 sinx(rad)함수 미분이 어렵게 된다는 건 순전히 rad을 기준으로 한 사람들에게만 해당한 것입니다. 둘다 각각의 단위에선 미분이 매우 쉅습니다 d sinx/dx = cosx로. 하지만 °를 단위로 갖는 함수는 주기가 매우길어불편하며 삼각함수를 제외한 각도를 통한 실수표현이 어렵기 때문에 쓰지 않습니다
만약 특정물체가 3m/s로 이동하고 주기가 3초인 삼각함수가 속도에 곱해져있다고 봅시다. 그러면 그 물체의 이동거리에 대한 함수는 y= 3t•sin(2pi/3•t) 이며 변수t의 차원은 s•(rad)이겠죠 또한 y의 차원m이겠죠 이 식에서 물체의 순간속도[m/s]를 구하기 위해선 두 방정식에 속도변수t만큼 미분하면 되므로 속도= d[3t•sin(2pi/3•t)]/dt를 하면 됩니다. 따라서 각도를 표현하는 2•pi•t/3과 이동거리인 실수값 3t를 각도단위 rad을 가진 공통변수 t를 갖고 간단히 표현해버린 거죠
m•rad/s 아니냐고 하실 수 있지만 이미 라디안값을 실수로 변환하여 3[m/s] • t[s•rad]= 3[m/s]•t[s] =3t[m] 로한 것이고 y값은 이동거리를 나타내는 실수라는걸 명시했기 때문에 함수값의 차원은 m/s입니다. rad은 차원이 없는 단위이며 단지 각도라는 추상적인 것을 통해 크기를가진 실수를 매우쉽게 표현하기 위한 것입니다.
하.. 라디안... 왜 단위를 생략하는지, 고딩때 학교쌤한테 물어봐도 이해할만하게 안알려줫어요.. 서울대 수학교육과 나온 여선생이었는데... l=r*각도(rad)이란 건 아는데, 머 교과서나 그 쌤이 칠판에 증명하는 거 보니까 도끼리 분자분모가 약분되면서 사라져서 그런가 했는데... 근데 아무리 그래도 단위를 안쓰면 이게 각도인지 선분인지 모르잖아요. cm도 다 적는데... 왜 이건 각도라고 따로 표시 안해주는지... 진짜 이해 안갓거든요. ㅠㅠ 진짜 아무리 좋은 학교 좋은 교사라고 해도 학생이 어느 포인트를 궁금해하는지, 이에 대한 답변을 해줄 대비를 안하면 진짜 별론것같아요.
멍청이라 너무 어렵습니다... 각도법으로 했을 때pi / (180도) 이게 뭔가 이질감이 들어서 불편한것같습니다. 각도법으로 했을 때 sin세타를 길이 아니면 그냥 숫자로 생각했어서 sin세타도 / 세타도 이면 그 값의 단위는 (길이/각도)로 표시해줘야 되니까 마지막에 pi (숫자 혹은 길이)/ 180(각도) 가 곱해진다고 봤습니다. 호도법으로 했을 때 세타를 호의 길이로 생각해서 1 X sin세타(길이) / 1 X 세타(길이) 의 극한값이 1이라고 일단 이해했습니다. 구체적으로 보여야 이해가 가고 추상적인 숫자로 잘 와닿지가 않긴 하는데 sin 1, sin2, sin0.0000000000000000023 이런식으로 생각해보니까 뭔가 꼭 길이로 생각할 필요가 없을 것 같기도 하고 뭐...그렇습니다. 제대로 이해하고 있는건지 모르겠네요 ㅠㅠ
각도법의 기원은 고대문명입니다. 당시에 과학이 미발달시에는 달을 기준으로 시간을 정했고 1개월을 30일로 하여, 1년을 12개월 360일로 계산하였습니다. 수학과 천문학이 발전하면서 1년이 365로 확정되기 전까지, 10진법, 12진법, 360진법은 당연한 수 체계입니다.물론 그것이 정삼각형의 각도를 다루는데 십진법의 정수로 나타내지만, 고대 이집트인은 벌써 분수의 개념을 알고 있었으니까 별로 안중요합니다. 하루를 12시간으로 근대에와서는 24로 나눈것도 12진법의 유산이내요.
좋은 댓글 감사합니다 :) 이집트까지 기원이 거슬러가리라고는 생각하지 못했네요 ㅎㅎ 찾아보니 이외에도 여러가지 기원설이 있네요 ㅎ 제가 영상에서 언급했던 부분과 과장 유사한 주장은 바빌로니아 사람들이 정삼각형을 원의 기본단위로 삼고 그 당시 사용되던 60분법을 적용한 것이라고 말하는 학설도 있는 것 같습니다 ㅎ 잘 몰랐던 정보인데 혹시 다음번에 영상 재촬영하게 된다면 여러가지 학설을 조사해서 언급할 수 있도록 하겠습니다. 감사합니다 ^^
호도법은 따지고보면 단위가 없는건가요? 반지름길이를 호의길이로 나눈다는 의미는 같은 단위로 나누기 때문에 단위 자체가 없어져서 이렇게 하면 실수 체계인 숫자 1인지 각을 표현 하는 숫자 1인지 구별하기위해서 rad 용어를 사용하는건가요? 그럼 라디안은 단위 개념이 맞나요?
1. 호도법이 원을 표현하는데 유리하고 더 나가서 삼각함수 그것도 삼각함수를 미분하는데 유용하구나. 미분결과가 깔끔하게 나오는구나. 호도법이 도가 없고 파이=180도 라서 그렇구나. 13:50 2. 사인x를 미분해주면 코사인x가 나오는게 호도법을 사용했기 때문에 그렇게 된거구나 21:25 3. 그러고보니 각도법 호도법 모두 결국 비율이구나. 혼자 독립해서 존재하는값이 아니구나. 각도법은 원안에서의 둘사이간의 각도의 비율. 호도법은 반지름에 대한 원둘레의 비율. 즉 관계를 이어주는데 즉 변환해주는데 쓰인다. 4. 값이 계속 반복되는게 그 증거다. 둘간의 관계를 나타내주니까 값이 반복된다. 값이 증가해도 결국 같은자리에서 맴돈다.
@@AngeloYeo 20:37 π/180도 가 뭘 뜻할까요? 나아가 π+180도는 무엇을 뜻할까요? 물론 측량하여 수치로 표현한 것이고 그 수치 자체는 실수이지만 단위차원이 엄연히 존재하여 실수와는 연산이 안되요 수는 그 자체로 추상적인 개념인데 다른 개념과 매핑이 되니까(180도, 사과10박스 10시간 등) 문제가 발생합니다 보통 라디안을 무차원이라서 단위를 제거하여 실수 취급할수있다고 얘기합니다 (20:59 여기서 처럼요) 60분법은 한바퀴를 360에 대응시키면서 시작된 방식이죠. 그리고 호와 중심각의 비례관계를 이용하는것이고 호도법은 1라디안을 먼저 잘정의한 뒤 호와 중심각의 비례관계를 이용하여 라디안끼리의 비(real number)로 표현이 가능합니다 즉 호도법은 원주를 감안하여 1라디안을 먼저 이론적으로 잘 정의하여 시작된 방법이고 60분법은 원주와 무관하게 360을 대응시키면서 시작된 방식입니다. 미분이나 합성함수등에 있어 호도법이 유용한 이유의 핵심은 여기에 있다고 봅니다 단위원에서 호의길이가 π가 되는 부채꼴의 중심각은 1라디안의 π배(실수)입니다 또한 θ×r=l 을 만족합니다. 호의길이 l은 반지름 r의 θ배(실수)가 되죠 그래서 라디안을 l/r로 정의하기도 합니다. 물론 다른 정의와는 동치관계죠
고등학교 수학에서 호도법을 도입하는 이유는 삼각비를 삼각함수로 확장하기 위함입니다. 함수에서 정의역은 실수전체인데, 60분법을 사용하면 실수가 아니라 연속적인 함수 그래프를 그릴수 없습니다. 호도법은 호의길이(반지름이 1인)를 각으로 사용하는 방법이라 길이는 실수가 되어서 정의역으로 사용할 수 있게 되는거죠. 그래서 호도법을 배우고 함수의 그래프를 배우게 되는 겁니다.
그렇다고해도 60분법으로 실수체계를 나타내지 못할 이유는 없을 것 같습니다 ㅎㅎ 또... 그럼 1.5시간은 1시간 30분 아닌가요? 0.5시간이란 말은 어떻게 나오는걸까요? 10진법과 60진법이 정말로 상호호환이 불가능하진 않을 것 같습니다 ㅎㅎ 말씀하신 것과 같은 이유를 드시는 분들이 많으신데 저는 그 말은 사실이 아니라고 생각합니다
@@AngeloYeo 네 길이의 비율로 호도법을 정의하면 이런것은 어떻게 설명이 되는지 궁금합니다. 길이의 비율로 정의를 한다면 라디안은 무차원이지 않습니까?? 그러면 라디안과 육십분법 사이의 호환이 어떻게 가능한지 설명부탁합니다. 예를들어 파이라디안=180도 인데 길이의 비율로 라디안을 정의한다면 좌변은 무차원이고 우변은 각도라는 차원이라 식이 성립하지 않는다고 생각합니다. 따라서 길이의 비율로 라디안을 정의한다는게 납득이 가지않습니다
길이 단위를 꼭 입력으로 사용해야하는 이유가 어떤것이죠? 각도를 입력으로 넣으면 삼각함수가 정의될 수 없나요? x축이 60분법 각도로 되어있는 삼각함수 그래프는 보신적 없으신건가요? 정말 많은 분들이 tiramon님 처럼 60분법을 이용하는 것은 각도가 실수가 아니기 때문이라고 주장하시는데 터무니 없는 주장입니다. 그런 경우 모두 라디안 각도가 dimensionless number라는 점과 단위가 어떤 것인지 그 개념을 헷갈려 하시는 경우에 불과합니다. 솔직히 말씀드리면 이런 주장에 매번 반박해 드리는 게 지칠정도입니다. 그리고 심지어 말씀하신 길이 단위를 입력으로 넣는 다는 것도 잘못된 말입니다. 라디안은 무차원 수입니다. 길이 단위가 포함된 단위가 아닙니다.
수학교육에서 가장 선행되어야 할 것이 용어에 대한 설명이라고 봅니다. 각도법, 호도법...이렇게 말하면 대부분 뭔 소린지 이해 못합니다. 각도법: 말 그대로 각도가 중심이 되어 모든것을 표현하는 방식.... 호도법: 반대로 호의 길이를 중심으로 하여 각도를 역으로 찾는 방식 즉 호도법은 호의 길이에 대한 각도의 비율임..
아니 ㅋㅋㅋㅋㅋ 여기 사람들 왜 단위랑 수의 체계를 헛갈리는거지..... 각도,시간,길이 모두 실수로 표기하잖아 호의 길이,삼각형 변의 길이 모두 1cm,0.1m 얘네도 실수임 근데 호도법에서는 각도에서의 도와 같은 단위가 없어지니까 계산이 편한거라고 ㅋㅋㅋㅋ 호도법 1 (rad,단위는 없으나 호도법인 걸 표시)이나 60분법 1도나 둘 다 실수라고 .. 게시자님이 쉽게 알려주는데 지들 어줍잖게 배운걸로 아는 체하고 싶다가 밑천 드러나니까 열폭이나하고 말이야 ㅉㅉ
60분법이라는 이름처럼 가장 작도하기 쉬운 정삼각형의 내각의 크기를 기준으로 각을 표시할 때 정삼각형의 내각의 크기를 1도로 잡으면 대부분의 각을 소수나 분수로 표현하는 불편이 생겨서 적당한 크기로 잡은 건데 제 추측에는 두 자리 정수 중에서 약수의 개수가 가장 많은 60과 72중에서 사용하기 편리한 60으로 잡은거 같구요 호도법은 미분의 편리성을 위해서도 필요한 각의 표시방법이지만 만약에 호도법이 아닌 다른 방법으로 각을 표시한다면 삼각함수의 그래프와 다른 함수의 그래프를 동일좌표평면에 아예 나타낼 수가 없다는 문제를 해결하는 역할도 하는 거 같아요
