안녕하세요 저는 수학교사를 준비하고 있는 대학생입니다~ 어제 처음으로 공돌이님의 이 영상을 처음 보게되었는데 정말 제가 수업을 들으면서는 알 수 없었던 것들을 새롭게 알아가는 기분이라 더 수학이 재밌어지고 공부하고 싶어지는 것 같네요ㅎㅎ 나중에 제가 수학 교사가 되었을 때 아이들한테 이런 정보들을 알려주면 아이들도 수학이 조금 더 친근하고 재밌어지겠죠😂? 제 바램이예요 ㅎㅎ 앞으로 좋은 영상 항상 감사히 시청할께요~ 깔끔한 설명 정말 감사합니다😊
^^ 자연상수 e에 관한 영상은 이 영상 외에도 e^x의 미분이 왜 e^x인지에 관한 영상이 하나 더 있습니다 ㅎ 그영상을 보면 미적분에서 자연상수 e가 왜 자주 쓰이는지 알 수 있을 거에요! 고3이시면 굉장히 빨리 접하신 편이라고 보셔도 좋을 것 같습니다 ㅎㅎ 저는 20대 훌쩍 넘어서 이 개념에 대해서 알게 되었는데요 뭘... ㅎㅎ
e 는 돈을 빌려 줄 때 기간을 무한히 쪼개 복리로 빌려 준다면 어떤 효과가 나타나는 것일까?에서 처음 나온 것입니다. Jacob Bernoulle 가 그 값을 계산할 수 있는 걸 보여 주어 나온 것이므로 돈을 이용해 설명해 주는 것이 더 나을 것 같다는 생각이 듭니다.경제학 중 finance 분야에 e를 성장율에 적용한 시기는 20c 초로 보아야 하는데 e는 미분이 보급되던 초기에도 각광을 받던 놈이었기 때문입니다.강의에 대한 감상문을 올리는게 예의 일지는 모르겠습니다만...
얼마전 내적을 효율성으로 설명하신 분 강의를 들었는데, 자연상수를 경제학 분야로 설명하니 자연상수가 만들어진 계기 혹은 존재가치 알수 있네요. 요즈음 딥러닝을 공부하며 고등수학 이론들을 활용하여 실생활에서 체감할수 있는 성과를 내고 있다고 느끼고 있습니다. 수학교육도 내 주변의 관심분야를 통해서 설명할수 있는 방법론이 더욱 더 많이 개발됐으면 하는 바램입니다.
오 네... 미분을 연산으로 생각하면 항등원 함수가 e^x라고도 볼 수 있겠네요. 미분과 관련해서는 제가 글로 정리한 블로그에서 좀 더 자세한 내용 찾아보실 수 있을 것 같습니다. 좋은 글 감사합니다 ^^ angeloyeo.github.io/2019/09/04/natural_number_e.html
복소평면에서 e^j*pi*t를 하면 시간 t까지 계속 도는 등속원운동하는 그래프가 그려지네요 그 뭔가 되게 심오하네요 다른 차원에서 거울처럼 잡아당기는 힘같은것? 중력 같이 보이네요 또 앞에다 e의 승에 음의 실수를 더하면 감쇄상수 역할을 하게 되네요 일상 속에서 탱탱볼이나 댐퍼 같은 것
동영상 잘 보았습니다. e를 처음 발견한 사람은 네이피어이고 베르누이가 limit 개념으로 정의를 했지만 공개적으로 발표하지는 않았습니다. e는 Euler가 처음으로 발표했고, Euler's number라는 공식 명칭을 얻었습니다. 오일러 공식 e (i thetha) = cos (theta) + i sin (theta)을 도입함으로써, 실수 체계와 복소수 체계 사이의 다리(bridge)를 만들게 된 것이죠. 오일러 공식으로 인해 Fourier series가 엄청 간편해 졌구요. 오일러 공식으로 인해 복소수의 응용이 폭발하게 되었죠. 그외에도 미분을 처음 생각해 낸 사람은 뉴튼과 라이프니찌 이지만, 우리가 알고 있는 미분 공식들 중 주요 핵심부분은 Euler가 증명하고 유도했습니다. y = e(x)는 미분의 단위 연산자처럼 사용됩니다. 미분하면 다시 자신이 되죠. 즉, y = e(x)의 기울기는 그 점에서 e(x)의 값 - 함수 값과 기울기가 같은 유일한 함수.
수학공부를 하다보면 수학은 그저 수체계라는 어떤 가상세계 속의 일인것 같이 느껴지는데 수학개념을 이용해서 자연, 과학, 경제 등 여러 현상을 설명하고 이해할 수 있다는게 정말 놀라운것 같습니다..! 그리고 갑자기 웬 e..? 라고 생각한걸 굉장히 부자연스러워 보이지만~ 이라고 표현하신 부분에서 정말 감탄했습니다 저는 문관데 국어실력도 유감스럽네요;ㅁ; 오늘도 잘보고갑니당~~
안녕하세요 ㅎ 그게 모델링의 재미라고 할 수 있을 것 같습니다 ㅎㅎ 여러가지 머릿속에서 일어나는 일들, 자연세계에서 일어나는 일들을 수학적 모델로 구현해보고 시뮬레이션 해보고 예측해보고 하다보면 실생활에 쓰일 수 있는 많은 것들이 발견되죠... ㅎㅎ 개인적으로는 최근 유행하는 딥러닝 그런것들도 좋지만 이렇게 클래식한 방법으로 모델링 하는것이 더 의미있고 재밌는 것 같습니다 ㅎㅎ
안녕하세요. 제가 알기로는 발견이 먼저인 것으로 알고 있습니다. 수학사 교양 서적들을 보면 존네이피어라는 사람이 로그표를 만들 때 자연 상수 e에 가까운 숫자를 사용했다고 되어 있던걸로 기억합니다. 위키피디아에서도 유사한 내용이 나오니 참고해보시면 좋을 것 같습니다 ^^
e를 매일 쓰지만 존재하는 의미는 이해를 못했는데 덕분에 알고갑니다. 근데, 하시는 말씀을 들을 땐 이해가 되는데 막상 정리를 해보려니 이해가 안가는 점이 있어서요. 저금통 첫번 째에서 "100퍼센트 성장했지만 12개월이라는 주기를 가지고 불연속 성장" 이라고 하셨는데 12개월이 마지막인 지점이라 했을 때 1회밖에 성장하지 않아서 불연속 성장이라고 하신걸까요? 당연히 논외 겠지만 24, 36개월을 봤을 땐 연속 성장 아닌가?? 라는 생각이 계속 들면서 왠지모르게 잘 이해가 안되네요...(답답 ㅠㅁㅠ) 오래전 영상이라 답변을 주실진 모르겠지만 궁금해서 질문 남겨봅니다. @푸리에 찾아보다 뜻밖에 지식을 알게되서 너무 감사합니다. 항상 행복하세요!
질문있습니다! 자연상수 è를 정의하는 식(1+1/x)^x 에서 x의 값이 늘어날 수록 e에 가까워 지잖아요? 제가 발견한 것이 있는데 x가 1,2, 3..을 대입하고 e와 비교해보면 자릿수가 1자리, 2자리, 3자리 ...n자리가 같다는 것입니다. 정밀 계산기로 계산결과 소수n번째 숫자가 0또는 9일때 이 명제는 거짓이 됩니다. 그러나 0,9가 나오지 않으면 이명제가 참임을 발견했습니다. 이 명제의 의미와 활용정도를 묻고 싶습니다.
혼자 로그를 생각하다 자연상수를 이해하게 되었는데 학교에선 자연상수의 원리를 설명 해주지 않더군요 심지어 교사도 자연상수가 어떤 개념인지 정확하게 이해 못하고 계셨습니다 그럼 여기서 문제 이자 쪼개기 (복리이자) 은행에가니 일년에 이자를 100프로 해준다고 합니다 근데 돈이 필요해서 6개월 후 돈을 찾으니 100프로가 아니라 50프로로 해주어서 150만원을 찾았습니다 근데 중도 수수료가 없어서 너무 좋은거 같아 150만원을 바로 입금 했습니다 6개월뒤 150원의 이자 50프로잍 75만원을 더해 225만원을 해주었습니다 응? 근데 이상 합니다 100만원을 그냥 은행에 나두면 200만원인데 6개월에 한번씩 찾으니 225만원이 되었습니다 25만원이나 이득 보았고 친구 녀석에게 자랑 했습니다 욕심 많은 친구는 이번엔 3개월마다 한번씩 찾았습니다 100만원이 3개월뒤 125만원 6개월뒤156만원 9개월뒤 195만원 1년뒤 244만 되었습니다 친구녀석은 저에게 자랑했고 저는 질세라 이번엔 한달마다 돈을 찾았고 다음엔 하루마다 돈을 찾았습니다 만약 은행애선 1초마다 이자를 지급 해주는것까지 가능 하다면 100만원은 1년뒤 얼마가 될까요? 이자 쪼개기 문제 입니다
안녕하세요. 저도 예전에 그것에 대해서 고민해봤는데, 제 생각에는 연속적으로 성장하는 지수함수의 변화율도 연속적으로 성장하기 때문이라고 생각할 수 있지 않을까라고 ... 그래서 e^x의 미분계수도 e^x가 아닐까 라고 제 나름대로 결론 내렸습니다 ... 솔직히 말해서 명쾌한 답변은 못내렸습니다 ㅠㅠ
조금 엉뚱한 질문인 것 같긴 한데요.. ;ㅡ; 1년 100%로 성장하는 세팅을 6개월 50% 두번 성장으로 바꿨잖아요..? 이런식으로 쪼개면 확률이나 나중에 나오는 값이 바뀌게 되는 데도 저렇게 값을 함부로 변경할 수 있는 건가요? 변경 해도 '100%의 성장률로 성장' 라고 할 수 있는 이유가 뭔가요? + 연속 성장이 되려면 무한에 가깝게 간격을 줄여야 하잖아요. 그럼 앞에서 예시를 든 1년 100%, 6개월 50% 등등은 '연속' 성장은 아닌건가요? 연속이 되려고 무한대로 보낸거??죠?? 중구난방해서 죄송합니다...ㅎㅎㅎㅎ 생각나는대로 적다보니까 😭
왜 모든성장이 익스포텐셜함수의 모양을 따라갈 수 밖에 없다고 하신건지 이해가 안되요. 100%의 성장률을 쪼개서 연속성장을 시킨다는 개념이 e라는 건 이해되는데 (인구증가 등) 자연현상과 관련된 성장과 e가 가지는 성장의 의미가 어느 부분에서 관련이 있는 건지 전혀모르겠습니다.ㅜㅜ
정확히 말하자면 e 라기 보다는 e^{x} 모양이라고 할 수 있겠네요.(여기서 x는 실수로 다양한 값들이 올 수 있습니다.) 나아가 e^{z} 모양이 오면 더 다양한 자연 현상을 설명 할 수 있습니다. (여기서 z 는 복소수로 z=x+iy 형태입니다. x,y는 실수) 자연의 여러 변화는 어떤 힘이 원인으로 주어졌을 때의 결과로 보는 것이 보통인데 그 힘은 크게 1.방향 2.크기 를 가지고 있습니다. 그리고 평면상에서 e^{x+iy}에서 변화하는 x는 변화하는 힘을 나타내고 변화하는 y는 변화하는 방향을 너무 자연스럽게 표현가능합니다. (공간 상에 들어가면 쪼오오오금 더 복잡해 지지만 공간상에서도 비슷한 원리를 확장시켜 설명 가능합니다.) 상당히 재미있는 것이 y=e^{x} 라는 함수는 미분을 해도 y'=e^{x} 이고 적분을 해고 int e^{x} dx = e^{x} 라는 점입니다. (x,y는 실수) 미분 한다라는 것은 힘의 변화율을 나타내고 적분한다는 것은 힘의 결과가 쌓여간다고 보시면 되는데 복잡한 식을 미분,적분 하더라도 계산하기가 편하죠. 수학을 한다라는 것은 자연현상을 인간이 이해하는 과정이라고 보시면 됩니다. 자연 현상을 바로 피부로 느낀다면 좋겠지만 그렇기가 힘들더라도 자연을 수식으로 표현이 만약 가능하다면 수식을 계산하는 것은 가능하니까요.
간단하게 설명하자면 콩나물 하나가 자랄때 모든 세포가 같은 속도로 성장하는건 이해되시죠? 그런데 이 콩나물의 키를 가만히 보니까 직선이 아니고 e^x 그래프로 자라더란 말입니다. 저 e라는 상수가 뭔지 궁금해서 사람들이 구하기 시작했고 아 요놈을 구하고 보니 여기저기서 쓸모가 참 많더랍니다. 일정한 비율로 성장하는(증가하는)것들은 주변에 많으니까요
[대략문돌이] 예전에 극한을 처음 배울 때, h가 무한으로 가면 1/h는 0이라 생각하고 풀어라고 배웠거든요. 그래서 저는 항상 자연 상수 개념에서 이해가 안갔던 부분이 (1+1/n) 이란 1과 같고 1^n 은 결국 1이라 생각했는데 2.718~ 이라니 머릿속이 복잡합니다 흑
메클로린 급수를 이용하여 인간이 4칙연산 가능한 계산기로 1분 정도면 소숫점 4째 자리 정도까지는 유사하게 구할 수 있습니다. 인문계 고등학교 이과 기준으로 설명하면 최대최초정리-> 롤의정리 -> 평균값정리 -> 테일러급수-> 메클로린급수 를 보신다면 이해가 빠르실 겁니다. (물론 테일러 정리 부터는 대학교부터 배운다고 보시면 됩니다만은...) 간단히 설명하면 y=e^{x} 라는 함수는 x=0 근처에서 y=1+x 와 오차 범위가 매우 적습니다. ( 고등학교 수준의 설명에서는 그래프의 접선이라고 생각하시면 됩니다.) 이를 확장하면 y=e^{x} 는 대략 1+x+{1/2}x^{2}+ ... +{1/n!}x^{n}+... 과 거의 유사합니다. 컴퓨터를 이용해서 소수점 수십 수백 자리까지 구하는 것이 가능하구요. 현실상황에서 볼 때 4자리 정도면 충분합니다. ( 소숫점 4자리정도는 집 건축할 때 1cm 오차나는 수준 ) 위 식에 x=1을 대입하면 e=1+1+1/2 +1/6 +1/24+... 정도 되겠네요.(감히 등호를 사용했지만 엄밀히 말하면 같은 것은 아닙니다. 무한히 계산하는 것이 가능하다면 같겠죠) 비슷한 원리로 Pi=3.14... 원주율은 y=4arctan{x} 함수를 ( y=e^{x}를 메클로린급수 표현에x=0 넣은 것 처럼 ) 메클로린 급수 표현에 x=1 을 넣으면 ( 이번에는 0이 아니라 1입니다) 원주율의 근사값을 넣을 수 있습니다. pi=4(1-1/3+1/5-1/7+...+{-1}^{2n-1}{1}over{2n-1}+...)=3.14... 이렇게 되겠네요
파이나 자연상수같은 것들은 마지막을 모릅니다. 다만 자연상수의 경우는 계속해서 n이 커지면서 그 수가 작은 수에서 점점 터지는 경우입니다(2부터 2.71828로..) 그래서 n이 커질수록 점차 소수 점 첫째자리부터 변하지 않기 시작합니다. 그렇기 때문에 그 수로 확정할 수 있게 되죠.
