시리즈 시청: ru-vid.com/group/PLkoaXOTFHiqjfsanyvicarnZv-YLC8QN-&si=Gw4aEabDydvlU74v 미적분학의 본질의 첫 영상을 시청하시고 오신 분들이라면, 미적분학과 기하학이 아주 밀접한 관계를 갖고 있음을 아실 겁니다. 결국 우리가 "미분법"으로 외우는 많은 법칙들 또한 기하학적인 관점에서 유도가 가능합니다! 이번 영상에서는 아주 기본적인 미분법들 중 거듭제곱 법칙(Power Rule)과 사인함수의 도함수를 기하학적으로 다루어보겠습니다. * 영상에서 언급하였듯 "거듭제곱 법칙"은 "Power Rule"의 정식 번역명이 아닙니다. 위키피디아에 "멱의 법칙"이라는 명칭이 존재하나 이 역시 한국 위키피디아의 독자적 번역임을 확인하였으며, 이를 그대로 쓰기에는 Power law "멱법칙"과 혼동할 염려가 있었기에 새로 번역하였습니다. 사실 우리나라 사람들은 이를 "다항함수의 미분법"으로 뭉뚱그려 배우고 있습니다. 그렇기에 대한수학회가 이런 세세한 명칭을 번역할 필요를 느끼지 못 하는 것 같은데, 이렇다보니 많은 영어권의 수학 용어들이 한국어로 들여오기에 좀 불편한 면이 있네요.
1/x,root(x)의 도함수를 구하기엔 어려운 분들께 제가 대신 하겠습니다: i) 1/x 영상에도 나오듯이 넓이가 1인 직사각형이 있습니다. 이때, dx만큼 변한 직사각형이나 이전의 직사각형이나 넓이가 1로 같기에, 서로 겹치지 않은 두 납작한 직사각형: 넓이가 각각 |df|· x 인 것랑 dx · 1/(x+dx)의 넓이가 같아야 합니다. 즉 |df|· x = dx / (x+dx) 이를 df/dx꼴로 정리하면 |df|/dx = 1/x(x+dx), df가 음수이니 절댓값은 마이너스를 붙고 dx->0를 생각하면 식은 -df/ dx = 1/x^2, 즉 df/dx= -1/x^2임을 알수 있습니다. ii)root(x) 영상에서의 직사각형에서 넓이가 x이므로 dx는 곧 넓이의 증분을 뜻합니다. 이때 정사각형에서의 변은 그에 따라 길어지는데, 그 변의 길이증분이 곧 root(x)의 증분인 df겠죠. 아무튼 넓이의 증분(dx)은 x^2일때 처럼 모서리니까 이를 식으로 쓰면: dx= 2 · df · root(x) + df^2 이고 df^2->0이니 df^2은 생각하지 않습니다. 즉 dx= 2· df · root(x) 아무튼 위식을 df/dx꼴로 정리하면 df/dx = 1 / 2 · root(x)임을 알수 있습니다.
@@DemonophobiA 근본적으로 df/dx라는게 변수x가 dx만큼 변함에 따라 함숫값이 df만큼 변한다는 원리이기 때문이예요, 고교수준에서 일종의 비율?이라고 이해하면 될듯 합니다. (물론 이는 엄밀히 틀린내용입니다만, 그건 대학에서만 고려하는 걸로 정신에 좋습니다) dx/df로 안 쓰는 이유는 도함수란 본래 기울기에서 탄생한 이야기이기 때문이고요. (기울기는 y의 증가량/x의 증가량인 건 아실거라 믿습니다(*¯︶¯*) 참고로 넓이,부피가 꼭 분모자리에 있겠다란 편견은 버리는 것이 좋을것 같아요, x^2같은 경우 단지 함숫값이 넓이니 분자에 우연히 있었다는 것 참고 (root x가 대표적인 예외죠, 3b1b님도 이때문에 rootx를 내셨을 거라 생각합니다. )
학교,학원에서 배우는 것보다 여기서 배우는 게 훨신 낫다 ,,, 학교선생들은 그냥 교과서 그대로 읊는 수준,,, 의욕없는게 눈에 보인다. 문제는 그 교과서도 그 이유,원리,현실에 대한 적절한 예시가 안실려있고 대충 개념,공식만 넣어두는 수준;; 솔직히 국가경쟁력에 쓸모도없는 역사교과서를 국가적으로 통합할게 아니라 제대로된 수학교과서를 국가적으로 만들어서 통합시켜야한다,, 수의 진리를 서술하는 수학책이 학교마다 천차만별인게 말이 되나;; 사기업 교과서는 교육과 선생들 대충 모아서 설렁설럿 돈벌려고 만든게 보인다. 괜히 사람들이 사교육받고 문제집위주의 암기교육 하려는 게 아니다. 차라리 교사들 없애고 수업시간에 이 영상같은 유튜브 영상이나 틀어주는 게 훨신 교육적이다.
1개월이 지난거지만... 어차피 df/dx를 구하는거니깐 dx로 양변을 나누게 될 거고, 그랬을 때 dx는 한없이 0으로 다가간다고 생각하기 때문에 우변에서 dx가 남아있는 항들은 모두 무시할 수 있습니다. 그래서 처음부터 (dx)^2 가 있으면 다 무시해도 된다고 하는거에요
그냥 직관적 이해를 하시면 될 것 같습니다. 엄밀하게 따지렫,ㄹ면 애초에 저 논리자체가 그닥 좋은 설명은 아닙니다. 이 설명에서 잘못된 점을 한가지만 말씀드리자면, dx라는 것은 태초에 만들어질때 의미는 아주 작은 x증분이엇지만, 이후에 실수체계에서는 dx가 존재할 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 즉, dx가 '수'라고 생각하면 안됨니다. 그래서 'df를 dx로 나눈것이 2x이다' 라는 설명은 잘못된 것입니다. dx는 수가 아니기 때문에 df/dx는 분수도 아닙니다. df/dx는 그냥 그 표현이 하나의 기호로서 f를 x로 미분한다는 뜻입니다. 그래서 엄밀하게 따지기 보다는 그냥 그려려니 이해하는게 좋을 듯 합니다.
힌트를 드리자면, f(x) = sqrt(x)의 도함수를 유도해내기 위해선 먼저 넓이가 x인 정사각형(즉, 한 변의 길이가 sqrt(x)인 정사각형)을 그려내신 뒤 넓이의 변화를 dx로, 변의 길이 변화를 df로 놓고 보는 것이 좋을 것입니다. 한 번 유도해보시고, 성공하신다면 댓글 부탁드려요 ^^
네, 그럼 정답을 알려드리겠습니다. dx를 구하는 식은 다음과 같아집니다. dx = 2sqrt(x)df + df² 그러므로 여기서 df²는 아주아주 작아질테니, 무시가 가능합니다. 즉 식이 dx = 2sqrt(x)df 로 정리되는데요, 여기서 우리가 원하는 df/dx를 위해 양변에 1/2sqrt(x)dx를 곱해주면 df/dx = 1/2sqrt(x) 라는 결과가 나오겠네요. 거듭제곱 법칙을 적용한 것과 비교해보자면, sqrt(x) = x^(1/2)와 같으므로 d(sqrt(x))/dx = 1/2 × x^(1/2-1) = 1/2x^(1/2) = 1/2sqrt(x) 즉 저희가 유도한 결괏값이 나오게 됩니다.
1/x 아무리 시도해봐도 잘 되지 않네요 ㅠㅠ 처음 시작 식이 dx*{1/x-d(1/x)} = x*d(1/x) 로 나오는데 식 전개가 잘 안되네요.. 근데 dx*d(1/x) 는 이 상태가 정리된 꼴인가요? dx가 엄청 작아질 때 그래프상 d(1/x)도 엄청 작아져야 할 것 같은데 이럴 경우 어떡하죠..
와아! 대다나다! 나 중1때 수학 과정중 한가지가 응용이였다. 그때 나? 모눈종이 a4 16절지 전부 사용해서 그냥 내 생각대로 그래프 그렸다. 존나게 쳐맞았다. 숙제에 낙서 해왔다고. 한장으론 표현못해서 여러장 전체적으로 나는 준비했었다. 병신찐따 취급외에 별다른것 없었다. 그냥 묻혔다. 대한민국 현실.