제6장: 음함수의 미분, 그 기묘한 과정 | 미적분학의 본질 

음함수의 적분에 대해서도 알려주시면 좋을거 같습니다 12년전에 대학입시 수리논술에도 나왔었는데 재수생때 이중적분에 대해 듣고 충격먹엇던기억이..

@@jhl2458 스튜어트에서도 그렇게 설명하던데 어느 상황에서나 y=f(x)로 놓고 풀어도 되나요?

ds=0인 조건이 접선 위라는게 아니라, "그 아래에 있는 식이 ds=0인 조건을 만족하는 원 위의 아주작은 한걸음의 기울기를 말한다" 라는 뜻입니다.

일단 구하는건 접선이 아니라 접선의 기울기입니다. 이차이는 아실거라 생각하고 생략할게요. 원은 x랑 y두 변수로 정의된 식입니다. 엄밀하게 말하면 함수가 아니에요 방정식이지. 원도 함수라 안하고 방정식이라고 하잖아요? 방정식으로 보기전에 이 식을 다변수 함수 s(x,y)=x²+y²로 정의 할 시에 s의 변화인 ds값이 존재 할거에요 여기서 y는 x로정의된 함수가 아니라서 dy가 그냥 기존의 dx처럼 아주작은 움직임으로 볼 뿐이에요 다만 x와는 관련이 없는 별개의 개념입니다.여기선 dy가 어디로 가던 x와 상관이 없습니다.그러나 방정식처럼 x²+y²=5²로 정의되면 y는 x값에 종속되는데요 x와 y를 식 대입했을때 5²이 나오는 모든 순서쌍을 평면에 나타내면 나오는 그림이 원인거에요 그러니 5²이라는 특정 상수를 등식에 유지한채로 미분을 하면 당연히 다변수함수였던 s의 변화율인 ds는 0인거고 여기서 ds=0의 의미가 dy와 dx 각각이 원 위점으로의 움직임으로 제한이 되는거에요. 그리고 미적분에서 소문자 d의 의미는 유한하게0에 가까운수로 극한을 보내는게 함축된 표현이에요 그리하여 xy평면으로 표현된 원의 접선기울기를 dy/dx로써 알수 있게되는겁니다 사실 이렇게 보면 일반적으로 x로 정의된 함수의 미분과는 많이 느낌이 다르죠? ㅋㅋ 그래도 저는 이렇게 함으로써 방정식의 접선기울기도 알수 있다는게 놀라울뿐입니다 ㅋㅋ

영어번역하면 음함수를 implicit curve라고 표현해요 반대개념은 양함수라고 하는데요 말그대로 내포된 함수인거에요 겉으론 안드러나는.. 이게 웃긴게 원이 함수가 아닌이유가 하나의 입력값에 두개의 출력이 존재해서 그래요ㅋㅋ 그래서 방정식이라고 하는데요 그런데 y범위를 y>0 으로 제한하면 함수로써 표현가능해져요 이렇게 적절하게 식이나 범위조작을 통해서 양함수 꼴로 나타낼수있는 식을 음함수라고 해요 중국에서는 은(숨은)함수,현(드러낸)함수라고 표현하니 이게 더 직관적으로 와닿지 않나요?

왜 그런걸까요..

순간속도라 그런건가..

​@@user-be7nh7vu1l사다리 비유가 조금 잘못된거 같습니다 사다리 문제에서 주어졌던 사다리의 낙하속도는 1m/s이며 가속, 감속한다는 전제조건이 없으니 등속운동으로 가정했을때 순간속도와 관계없이 x축의 사다리길이는 3m에서 출발하여 4초뒤 5m가 되어야하므로 등속도 상으로 0.5m/s 맞는거 같습니다. 제가 생각했을때 사다리 비유가 잘못됐다고 판단된 것은 영상의 원제작자(3blue 1brown)께서 사다리 문제의 해법으로 원의 직교좌표 방정식(x제곱 + y제곱 = 상수제곱)을 이용한 것입니다 사다리 문제가 나오기 전에 원의 직교좌표 방정식의 음함수 풀이를 하셨죠, 그리고 풀이의 결과로 원의 접선 공식이 나왔었습니다. 사다리 문제를 원의 방정식을 이용하여 음함수 풀이로 했을때도 나온 것은 사다리의 윗부분에 접한 접선의 방정식이 나왔을 것이며 이때 문제가 발생하는 것이 dy/dt = -1이라는 값을 대입한 것입니다. 이 값을 대입하지 않고 우변에 순수하게 숫자만 그리고 좌변엔 dy/dx로만 놓는다면 사다리의 윗부분에 접한 접선의 방정식만이 존재할테고 이 값은 -4/3입니다 dy/dt= -1 이라는 값을 대입해줬으므로 dx/dt도 어쩔수 없이 4/3이라는 숫자를 가져야만하죠(원의 방정식에서 x축이 3, y축이 4일때의 접선의 방정식은 -4/3이므로), 즉 접선의 방정식이 -4/3이라는 값을 가지는데 영상 제작자가 y의 변화를 -1이라고 줘버림으로 x축이 4/3이라는 변화를 가져야 원의 접선 방정식의 기울기와 동일해지기 때문입니다. 실제로 해당 풀이에서 dy/dt = -1이라는 값을 고정하여 x축 사다리 길이와 y축 사다리 길이를 변화시켜가며 dx/dt를 구한다면 이 값이 점점 줄어듦을 볼 수 있습니다 왜냐하면 원의 특성상 양 옆으로 갈수록 접선 기울기가 가팔라지기 때문에 x축의 변화량이 줄어들어야하기 때문이죠.

y값이 등속도로 변한다 해서 x값도 등속도로 변하는 것은 아니지 않나요

y=4 일 때 x=3 y=3 일 때 x=4 y=2 일 때 x=sqrt21 y=1 일 때 x=sqrt24 y=0 일 때 x=5 누가봐도 0.5 m/s는 아니네요.