영상이 이해하기 쉬워서 좋네요. 500,000,000,000 - sqrt(500,000,000,000^2 - 1) 을 하면 Catalan number가 나옵니다. 2011년 MIT 알고리즘 강의 유튜브 영상 Lecture 11의 맨뒷부분을 보시면 나옵니다. Catalan number의 생성함수 (1-sqrt(1-4x))/2x 를 이용한 것이었네요.
중학생 때 '수학걸'이라는 책을 읽었습니다. 그 책에서는 생성함수를 이용하여 피보나치 수열의 일반항을 구하는 내용이 있었죠. 그때는 생성함수에 대해 제대로 이해하지 못했는데, 이 영상을 보고 조금 더 이해가 되는 것 같습니다. x에 0.01, 0.001과 같은 값을 대입해서 저런 소수가 나온다는 게 참 놀랍네요.
100/9899에서 나눗셈을 계속 하다보면 나머지는 9898이하 이고, 다음 나눠지는 수는 98980 이하입니다. 예를 들면, 9899로 나눌 숫자가 100, 1000, 10000, 101, 1010, 10100, 201, …로 계속 바뀌는 거죠. 이 과정에서 0은 중간에 안 나올 겁니다. 0이 나왔다는 건 나누어 떨어진다는 것이니까요. 이 수들을 수열로 생각해보면, 98980 이하의 자연수 만으로 구성되어 있으니 98981항까지 나열하면 그 중 겹치는 것이 최소 한 쌍 있습니다. 그래서 순환마디의 길이는 98981 이하가 됩니다. 엄청 길 수도 있고 훨씬 짧을 수도 있는데 그래도 순환해요!
피보나치 수열이 무한히 이어나가는 것도 참이고, 유리수이니 순환소수이기도 합니다. 무한히 피보나찌 수열로 다른 수들이 반복되니 순환하지 않는것처럼 생각되기도 하지만 수열의 숫자가 세자리를 넘어가면 앞에 쓰여진 자리수들에 관여를 하다보니 순환이 됩니다. 순환마디는 분모인 9899 보다 크지 않습니다.
피보나치 수열은 자연계에서도 목격 할 수 있는 현상입니다. 하지만 수(숫자)는 고대 인류가 임의적으로 만들어낸 작품이죠. 고대 인류가 숫자를 처음 만들어낼때 10진수가 아닌 11진수 혹은 현재 우리가 상상 할 수 없는 그런 숫자들을 더 할 수 도있었을텐데 우연찮게 인류가 1~10이라는 숫자 개념을 만들고 사용했는데 우연히 그 인류가 만들어낸게 자연의 섭리에 딱 들어맞는다는게 정말 신기합니다. 피보나치를 떠나서 소수의 규칙을 계산하다보니 중성자의 운동방정식과 비슷하다는 사례도 있는걸로보아서 정말로 누군가의 손길을 거치지않는 자연계조차도 누군가에 의해 임의된게 아닌가 싶습니다(우주 홀로그램설)
