🎯 Tu veux la solution pour devenir solide en maths 💪 ? C'est ici 👉 hedacademy.fr On simplifie une racine carrée qui ne semble pas possible au premier regard.
Bonjour, tu viens de me sauver sur un exercice sur les racines que javais eu et qui paru impossible m, mais grace a vous l'avez rendu bien plausible. Merci
Sur RU-vid beaucoup partent "bille en tête" vers la solution (par des sentiers quelquefois plus tordus que de raison). Vous, par contre prenez le temps d'expliquer le cheminement qui conduit à choisir telle ou telle voie. Celà fait une grosse différence! Merci pour cette pédagogie qui incite à la réflexion plutôt qu'a la mémorisation de routines.
Les épaules ..les épaules théoriquement oui ...elles sont là......mais le neurone.? Ou l'ai-je rangé déjà..???? Ha oui... il est planqué là dessous !! Bref une nouvelle fois bien parti mais obligé d'arrêter au fur et à mesure pour verifier la direction bref encore du boulot.... !!! 😂 Merci infiniment Iman !!! encore une régalade intellectuelle !! 🙏😀🙏 Richard 👍😎🏁🐆
Pour ma part, pour identifier 2ab, j'ai isolé le 2 en faisant entrer le 10 sous la racine. Ce qui me donne racine de 300. En quand j'ai vu que 300 pouvait se décomposer en 25x12, j'ai vu direct que c'était bon car 25+12=37
Vos vidéos sont un peu comme ces biscuits apéro dont on ne peut plus s'empêcher de vider l'assiette une fois qu'on a mangé le premier. Tout y est : le fond scientifique, la pédagogie et le style. Total respect comme disent les jeunes (ou "disaient", car ça a sans doute dû changer)
j'ai pas trouvé, pardon prof. J'ai honte de ne pas te faire honneur. Après, regarder ta résolution, c'est un bonheur, et c'est tellement évident. Ah les maths quel régal. Bonne année 2024 aux deux frangins qui nous rendent plus intelligents (lentement...). Puissiez vous recevoir au centuple tout ce que vous nous donnez
Joli problème 😊 J’ai suivi le même raisonnement (ab=10√3) et je suis arrivé rapidement sur la solution a=5 et b=2√3. Par contre je ne vois pas pourquoi vous éliminez d’emblée la solution (10, √3) - l’argument invoqué « 10 n’est pas un nombre premier » ne me semble pas être une raison suffisante (d’ailleurs si le premier terme sous la racine avait été 103 au lieu de 37, ça aurait été la bonne réponse).
Très bien pour le ludique du mode devinette en jeux de piste, mais la « méthode » est un peu nébuleuse et surtout très incomplète. Car celle-ci n’étant pas vue dans son ensemble, on ne sait pas à priori s’il n’y aurait pas d’autres FORMES possibles de cette racines carrée!? Pour s’en assurer il est instructif de résoudre le problème avec une méthode algébrique générale qui permet de comprendre ce qui se passe et d’avoir une vue d’ensemble salutaire du problème. La méthode générale porte le terme savant et consacré « d’extension galoisienne » : elle consiste ici à remarquer à minima que (a+b✔️3)^2 est encore de la forme A+B✔️3, et donc à l’inverse que l’on est tout près de connaître la RACINE CARRÉE de A+B✔️3 : on sait en effet qu’elle peut être de la forme a+b✔️3. Reste à trouver une méthode propre pour relier les couples (A,B) et (a,b) entre eux. Pour cela développons tout d’abord : (a+b✔️3)^2=(a^2+3b^2)+2ab✔️3 Ce qui SUGGÈRE (cf l’exemple ci-dessous pour voir une subtilité) d’identifier : A=a^2+3b^2 et B=2ab Mais pour trouver la ou les RACINES CARRÉES il nous faut INVERSER CE SYSTÈME (non linéaire) pour maintenant trouver (a,b) EN FONCTION DE (A,B) : b=B/(2a) d’où a^2+3B^2/(4a^2)=A. Cette dernière équation se réarange en la multipliant par a^2 : a^4-Aa^2+3B^2/4=0 C’est une équation en « a » du 4ème degré, certes, mais elle est BICARÉE, et se ramène donc à une équation quadratique en posant x=a^2 : x^2-Ax+3B^2/4=0 Dont les racines sont m={A+✔️(A^2-3B^2)}/2 et n= {A-✔️(A^2-3B^2)}/2 D’où QUATRE valeurs possibles pour « a » : -✔️ [{A-✔️(A^2-3B^2)}/2] ✔️ [{A-✔️(A^2-3B^2)}/2] -✔️ [{A+✔️(A^2-3B^2)}/2] ✔️ [{A+✔️(A^2-3B^2)}/2] Et les quatre valeurs possibles de « b » correspondantes : b=B/(2a) Ce qui donne donc à priori, QUATRE RACINES CARRÉES DE A+B✔️3. Eh oui, on découvre peut-être là les fonctions MULTIVALUÉES!… Appliquons donc maintenant cette méthode générale à cet exemple pour voir ce qu’il se passe. On cherche donc la racine carrée ✔️{37+20✔️3}. Et on la cherche sous la forme a+b✔️3, avec A=37 et B=20. Reste à appliquer les formules ci-dessus : a=-✔️ [{A-✔️(A^2-3B^2)}/2]= -✔️ [{37-✔️(37^2-3.20^2)}/2]= -✔️ [{37-✔️169}/2]= -✔️ [{37-13}/2]=-✔️12=-2✔️3 b=B/(2a)=20/(-4✔️3)=-5/✔️3 D’où ✔️{A+B✔️3}= a+b✔️3=-2✔️3-5=-5-2✔️3 Ou ✔️{A+B✔️3}= a+b✔️3=5+2✔️3 Ou bien a=-✔️ [{A+✔️(A^2-3B^2)}/2]= -✔️ [{37+✔️(37^2-3.20^2)}/2]= -✔️ [{37+✔️169}/2]= -✔️ [{37+13}/2]=-✔️25=-5 b=B/(2a)=20/(-10)=-2 D’où ✔️{A+B✔️3}= a+b✔️3=-5-2✔️3 Ou ✔️{A+B✔️3}= a+b✔️3=5+2✔️3 On s’aperçoit ainsi que parmi ces quatre racines carrées à priori possible, il y en a seulement deux distinctes : ✔️{A+B✔️3}= a+b✔️3=-5-2✔️3 et ✔️{A+B✔️3}= a+b✔️3=5+2✔️3 Et si l’on se restreint par convention seulement à celle positive il n’en reste qu’une : ✔️{A+B✔️3}= a+b✔️3=5+2✔️3 Remarquons au passage que l’on a ici cherché TOUTES les racines carrées de 37+20✔️3 de la forme a+b✔️3. Et l’on a démontré qu’il n’y en a qu’une de positive 5+2✔️3. Mais cela ne nous prouve pas qu’il n’y en a pas d’autres, qui pourraient avoir une autre forme… Qu’en pensez-vous? 😂
Tu te prends la tête pour rien, on sait qu'il n'existe pas d'autres racines car sqrt(a) est unique par définition : c'est la solution positive de l'équation x^2=a.
@@johnreese1906 Précisément, vous tombez dans l'erreur à éviter. Car votre raisonnement est faux à priori. D'abord si a0, ce n'est pas en effet parce que l'équation x^2=2 a deux solutions dont une positive, que a+b√c se comporte de même et n'en a que deux dont une positive. La preuve j'ai déjà montré ci-dessus qu'elle a QUATRE racines et non deux, dont DEUX POSITIVES et non une. J'ai en outre démontré que pour le cas particulier de c=3, les deux racines positives coïncident. Mais cela n'était tout d'abord aucunement évident à priori, et n'est pas forcément vrai à priori pour c distinct de 3. Et si cela s'avère vraiment néanmoins pour tout c, une démonstration ou au moins une explication est nécessaire. Une telle régularité, lorsqu'elle advient, provient de l'existence d'une SYMÉTRIE, qu'il faut alors mettre en évidence. Mais vous n'avez pas compris le fond de ma remarque, car en outre, ce n'est pas parce que l'on fait le tour des racines de la forme du radicand, qu'il n'y en a pas d'autres D'UNE AUTRE FORME ! Et si tel est le cas, cela demande encore une démonstration. Ainsi vous tombez dans le piège du manque précisément de rigueur de cette vidéo qui consiste à confondre CONDITIONS NÉCESSAIRES et CONDITIONS SUFFISANTES, et plus précisément à laisser croire que la première entraîne la seconde. Ce qui est faux. Autrement dit, la vidéo trouve une solution par tâtonnement, mais ne démontre aucunement qu'il n'y en a pas d'autres. Elle est ainsi hasardeuse et incomplète. Et vous induit à des erreurs de raisonnement. Or l'intérêt principal des Mathématiques est plus de cultiver l'impeccablilité du RAISONNEMENT (qui lui restera) que l'anecdote d'un calcul (qui lui s'oubliera).
@@Igdrazil Il n'y a aucune erreur dans mon message. 37+20*sqrt(3) est un réel positif (noté a par la suite). Par DÉFINITION sqrt(a) est UNIQUE et vaut la solution POSITIVE de x^2=a.
@@johnreese1906Vous n’avez manifestement ni compris l’exercice ni mes remarques, car vous vous entêtez sur l’aspect purement NUMÉRIQUE, alors que l’exercice n’est pas seulement sur ce plan. Il porte en effet aussi, et en fait bien plus, sur LA FORME. Et d’ailleurs s’il n’était que numérique, le plus simple serait de ne rien faire et de laisser l’unique solution positive sous la forme de départ ✔️{37+20✔️3}…PUISQU’ELLE EST UNIQUE! Sauf que tout unique qu’elle soit numériquement, elle ne l’est pas forcément FORMELLEMENT. Et la vidéo vous le prouvait déjà puisqu’elle trouve précisément UNE AUTRE FORME, non évidente à priori, du même nombre : ✔️{37+20✔️3}=5+2✔️3 Mes remarques ne portent donc pas tant sur l’aspect numérique, que sur la MORPHOLOGIE des solutions. Et c’est là un problème plus subtil que le simple aspect numérique. La vidéo cherche donc des racines de la forme a+b✔️3. Elle en trouve une par tâtonnement. Mais ne prouve pas, ne justifie même pas qu’il n’y en a pas d’autres, de forme différentes, moins « simples », aussi « simples », plus « simples »… Or l’objectif affiché de l’exercice étant précisément de SIMPLIFIER. Ce qui en mathématiques sous entend « SIMPLIFIER AU MAXIMUM ». Aussi, pour pouvoir véritablement répondre à cette question il est indispensable de pouvoir comparer les différentes FORMES possibles afin de choisir la plus simple. Donc soit on les exhibes toutes et on trie. Soit on trouve un moyen plus subtile encore, de faire le tri de « simplicité » sans les calculer toutes, ce qui peut s’avérer cornélien, vu que la notion même de « simplicité » est elle-même assez délicate à définir. C’est pour tout cela que j’ai détaillé une méthode algébrique générale de recherche de solutions. Méthode qui donne d’ailleurs, non pas une à priori, mais bien DEUX RACINES POSITIVES. A priori numériquement égale, mais MORPHOLOGIQUEMENT bien différente au premier coup d’œil : ✔️{A+B✔️3}=✔️[{A-✔️(A^2-3B^2)}/2]+B✔️3/(2✔️[{A-✔️(A^2-3B^2)}/2]) Et ✔️{A+B✔️3}=✔️[{A+✔️(A^2-3B^2)}/2]+B✔️3/(2✔️[{A+✔️(A^2-3B^2)}/2]) Bien entendu, l’unicité numérique suggère qu’il y a un moyen de passer de l’une à l’autre. Ce qui est effectivement le cas, par les expressions conjuguées. Mais néanmoins, DEUX SOLUTIONS POSITIVES, de FORMES INDUBITABLEMENT DIFFÉRENTES! Formes à priori différentes qui, dans le cas particulier de l’exercice, avec A=37 et B=20, coïncident finalement exactement en 5+2✔️3. Mais cette coïncidence n’a RIEN DE TRIVIAL à priori. Pire, rien n’interdit à priori qu’il n’y ait pas d’autres formes possibles de l’unique (NUMÉRIQUEMENT) racine carrée positive de 37+20✔️3. Une démonstration donc, des arguments et justifications sont là nécessaire, pour confirmer ou infirmer une telle hypothèse. Et derrière tout cela, se cachent évidemment des SYMÉTRIES, sous forme par exemple de Groupes de Galois, qui gouvernent cette ZOOLOGIE MORPHOLOGIQUE, qui n’a rien de trivial à priori, contrairement à ce que votre entêtement, exclusivement numérique, suggère. Comprenez-vous donc dorénavant le problème ? Centré sur la richesse et l’intérêt potentiel de cette recherche MORPHOLOGIQUE qui demande méthode, rigueur et exhaustivité.
Très bon vraiment prof, mais j'aimerais savoir au final distinguer le 2 de la formule au 2 réduit à 37 pour faire 25! En tout cas Il y a un "2" que je n'arrive pas à voir !
On suppose que l'expression (37 + 20×3^-2) est une identité remarquable de type (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 Par identification : 2ab = 20×3^-2 => ab = 10×3^-2 a^2 + b^2 = 37 En substituant b dans la deuxième expression au-dessus on obtient a^2+(10×3^2/a^2) = 37 => a^2+(300/a^2) = 37 => a^4 + 37a^2 + 300 = 0 On pose X= a^2 => l'équation X^2+37X + 300 = 0 admet deux solutions 25 et 12 Or X = a^2 donc a = 5 ou a = 12^-2
En clair je ne serais jamais dans les écoles Anglo saxon; mais je viens de comprendre que n'importe quel nombre peut s'écrire différemment avec des racines, des multiplications. Un nombre peut être considéré comme le résultat d'une aire composé de plusieurs aires. Êtres câblé mathématique c'est un métier à plein temps.
J'ai mieux compris en regardant la vidéo x2, mais j'avoue faudrais une perruques pour que je regarde cette vidéo encore le double pour mieux encore comprendre le raisonnement et mettre l'accent sur les astuces logiques les plus importantes.
On a choisi deux bons candidats 2 et 5 pour chercher 10V(3), ok, mais qu’est-ce qui nous oriente à les choisir exclusivement dans |N et dont dans |R ou autre ?
Perso je suis parti de la décomposition de 37 = 25 + 12 = 5^2 + (4*3) = 5^2 + (2√3)^2. On a la forme a^2+b^2. Je retrouve la forme 2ab => 2*5*2√3 = 20√3. Au final on a sous la forme (a+b)^2 => (5 + 2√3)^2
Mais comment veux-tu que je trouve ça tout seul ?😂 2:56 qu'est-ce qui m'aurait permis de choisir correctement qui serait 2ab ? Malgré l'explication qui suit, je ne vois pas.
Pour t'aider, tu peux écrire (a+b×sqrt(3))²= 37+20×sqrt(3) En identifiant, a²+3b²=37 et ab=10 . Tu aboutis à un système de deux équations à deux inconnus. Finalement, tu trouves( résolvant le système) b=2 et a=5
a² et b² ne peuvent contenir de racine (sauf si on part de racines quatrièmes √√x dont le carré donnera √x) vu que ce sont des carrés, sauf qu'on pourrait se dire que 2ab = (qq chose + 20√3) et a²+b² = (37 - qq chose) mais ça deviendrait compliqué à gérer (surtout que a et b sont engagés dans la somme des carrés et le double du produit, tout n'est pas possible). 2ab = qqchose x √3 convient bien vu qu'au carré √3 donnera 3. Reste à trouver le bon duo a, b.
Facile 5+2√3. Je l'ai fait de tête mais je vais faire un petit ralenti ! √(37+20√3)=√(25+12+20√3)=√(25+20√3+12)=√[5²+2×5×2√3+(2√3)²]=√(5+2√3)²=5+2√3 lol.
@headacademy on n'aurait pas oublié quelque chose? 😉 comme dans toute solution impliquant un carré "a²", il existe deux racines : "a" et "-a". Ici "(-5 - 2√3)" et "(5 + 2√3)"?
Vous prenez le problème à l’envers : on ne demande pas ici quel nombre a pour carré une certaine valeur (auquel cas il y a bien deux réponses de signes opposés si la valeur est positive) mais que vaut la racine d’une certaine valeur (et là, si la valeur de départ est positive, il n’y a bien qu’une seule réponse, positive).
Je suis content de moi car pour une fois j'avais trouvé ! Mais en empruntant un chemin différent... J'avais vu qu'il fallait arriver à une identité remarque (a+b)2, du coup j'étais parti direct sur 37=36+1 (donc 6 au carré + 1 au carré), mais ça marchait pas avec le 2ab, je me suis dit c'est mort, puis j'ai vu qu'on pouvait aussi partir avec 25 au lieu de 36, et je suis tombé sur 25 + 12, et là c'était visible
Bonjour j'ai une division j'ai la réponse même je sais pas comment la poser 1010,427 pas 37,46 la réponse =26,973 merci beaucoup de me donner la réponse le fait d'avoir des zéro je perds trop de temps
Je suis plutôt déçu. J'y suis arrivé en tâtonnant, et j'attendais la méthode qui allait bien me simplifier la vie pour la prochaine fois et qui font (à mon sens) la beauté des maths… en fait ya pas de méthode, on est obligé de tâtonner.
je suis pas d'accord avec la manière.... Pour répondre à toute question de ce genre il faut résoudre un système de 2 équations.. Dans ce cas on cherche x et y tels que : x+y=37 et xy=300 ça donne x=12 et y=25 ou x=25 et y=12. 😊
En fait on considère que 20 x racine de 3 correspond à 2ab...On isole le 2, on a donc 10x racine de 3@@rolandakovi8085 qui correspond à ab..Sachant que 37 correspond à a au carré plus b au carré, on élève ab au carré..Donc 10 x racine de 3 au carré donne 100x3 =300.. 100 correspondant à 10 au carré et 3 à racine de 3 au carré..Ensuite on voit que ça correspond à 25x12 et on s aperçoit du coup qu en additionnant 25 plus 12 ça fait 37..Voilà j espère que je vous ai éclairé et désolé pour ce pavé :)
L'élimination de 10 a priori me semble litigieuse et irrationnelle car 37 aurait pu être adapté pour fonctionner avec 10. Il fallait donc tester le cas 10.
et en testant ça donne quoi ? 🙂 (je la trouve bien comme ça l'expression, pourquoi s'embêter ? racine (A + racine b) c'est joli. Pas élégant mais joli. Un pi à la puissance racine de 3 serait un plus.
@@Photoss73 10 ne fonctionne pas effectivement mais il aurait du le tester sans parler de nombres premiers pour l'éliminer car ça n'a aucun rapport. Ainsi je pense que si on avait remplacé 37 par 103, 10 aurait marché. C'est juste du pinaillage de ma part.
