La méthode est originale, mais c'est plus simple de revenir à la définition. Comme a/n tend vers 0, il existe un rang k à partir duquel on a |a/n| < 1/2 pour tout entier n > k. Donc en remarquant l'égalité a^n/n! = a^k/k! * a/(k+1) * a/(k+2) * ... * a/n on conclut que |a^n/n!| < |a^k/k!| * (1/2)^{n-k} tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Méthode très sympa et pour tous ceux qui disent Stirling ou autre série de Taylor c'est peut-être plus rapide mais bien moins élégant car vous devez admettre beaucoup plus de résultats, à moins que vous ne les redémontriez mais là ce n'est plus rapide du tout.
@@nadimnajjar650 Le théorème des croissances comparées permet de comparer les monômes et l'exponentiel/logarithme, la factorielle n'intervient pas dans ce théorème. Cf : fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_croissances_compar%C3%A9es
Ça demande pas de prouver que si une série converge, alors la suite de ses termes tend vers zéro ? Et pour prouver ça, il ne faut pas utiliser ce résultat sur les croissances comparées ?
@@amarasa2567 ... Je sais pas ce que tu racontes: le fait qu'une série converge implique que le terme général tende vers 0, c'est une condition nécessaire et un résultat connu.
Je suis parti de la formule de Sterling et un peu de calculs donne a^n/n equivalent à (a×e/n)^n / √(2πn) ce qui tend visiblement vers 0 puisque tous les n sont au dénominateur.
Oui effectivement, je l'ai dis dans l'introduction de la vidéo, toutefois, utiliser une formule aussi complexe pour un exercice aussi simple ça manque d'élégance je trouve, après ça fonctionne donc bien joué !
Oui effectivement, je l'ai dis dans l'introduction de la vidéo, toutefois, utiliser une formule aussi complexe pour un exercice aussi simple ça manque d'élégance je trouve, après ça fonctionne donc bien joué !
J'ai pas fait le calcul, j'ai juste reconnu que la somme des termes de la suite (ΣUₙ) était égal à l'exponentielle de a. Donc nécessairement, la série converge donc la suite tend vers 0.
@@dans.o.s.d.s6971a^n/ n! est le terme général d’une série convergente (l’exponentielle) . Or le terme général d’une série convergente tend nécessairement vers 0. Ce qui donne le résultat
