Des intégrales chaudes pour l'été -- Oral de l'X

Подписаться 1,5 тыс.

Просмотров 8 тыс.

50% 1

Deux intégrales à calculer, une facile, une plus dure. Un peu comme dans la vie.
Time code :
00:00 Introduction qui ne sert pas à grand chose mais qui fait toujours plaisir
01:26 Générique
01:49 Premier exercice
05:00 Deuxième exercice
La musique d'intro est "Pretty Ballerina" de Robert Bruce (et j'ai payé les droits donc voilà quoi)
Pour l'énoncé d'oral Centrale (Spoilers) :
1)On peut déjà faire une division euclidienne pour avoir p plus petit que 2q
2)On peut faire autant d'IPP que nécessaire, en intégrant des t/(1+t^2)^q autant que l'on peut
3)On est conduit alors finalement à calculer l'intégrale de 1/(1+t^2)^r, où r est un entier, et on termine par un changement t=tan(u)

Опубликовано:

16 июл 2024

Ссылка:

Скачать:

Готовим ссылку...

Добавить в:

Мой плейлист

Посмотреть позже

Комментарии : 24

@Axel_Arno 12 дней назад

Bonheur cette petite vidéo ! Merci pour ça. J'aurais aimé une petite propriété du roi pour conclure concernant J l'intégrale de cos²(u) sur le segment [0, pi/2] :( Ainsi 2J vaut l'intégrale de cos²(u) + sin²(u) sur [0, pi/2], donc on intègre juste 1 entre 0 et pi/2. En résulte 2J = pi/2, donc J = pi/4 !

@venedem 8 дней назад

Le goat a parlé

@jadt.6809 16 дней назад

Une de mes chaines de maths préférées...

@richardheiville937 15 дней назад

Pour la seconde intégrale c'est un changement de variable important à connaître u=1/(1+x) qui permet de ramener l'intervalle d'intégration [0,infini] à [0,1]. Les changements de variable u=x/(1+x), u=x/(1-x) et surtout u=(1-x)/(1+x) sont, selon moi, indispensables à connaître. Le dernier changement de variable laisse invariant l'intervalle [0,1] et u=(1-x)/(1+x) implique x=(1-u)/(1+u).

@richardheiville937 15 дней назад

Pour la deuxième intégrale, comme je n'aime pas manipuler des séries plus que nécessaire, je commence par remarquer que integrale de log(x)/(x^2-1),x=0,1 est égal à intégrale de log(x)/(x-1),x=0,1 moins integrale de x*log(x)/(x^2-1),x=0,1 dans la seconde intégrale on fait le changement de variable u=x^2, à la fin on se retrouve avec 3/4 fois integrale de log(x)/(x-1),x=0,1. Soit on sait que cette dernière intégrale vaut Pi^2/6 soit on se tape le développement en série entière pour montrer que cette intégrale est égale à zeta(2). Mais il faudra bien admettre une valeur à un moment donné.

@mistermgaming9404 15 дней назад

Pour la deuxième integrale, on pouvait poser 1+t = exp(u), puis faire apparaitre 1/(1-exp(-u)), que l'on développe en série entière, on intervertit la somme et l'integrale (on utilise les gros théorème d'analyse en spé), et on tombe sur le résultat plus rapidement.

@orthoh2224 9 дней назад

Une que j'aime, c'est double intégrale sur [0,1]^2 dxdy/(1+xy)

@aylanya8488 14 дней назад

Très bonne vidéo. Néanmoins, petite question à l'exercice 2 : Pourquoi ne peut-on pas développer directement en série entière 1/u^2-1 avant de faire le cdv u=1/v ? Merci d'avance

@soheilboughattas940 16 дней назад

Pour la première intégrale, peut-on conclure directement grâce à une décomposition en élément simples ?

@abdullahaslan8350 15 дней назад

Je me posais la même question. On aurait un truc du genre (at+b)/(1+t²) + (ct+d)/(1+t²)² non ?

@valentinquintana3966 5 дней назад

C'est le cas, la fraction rationnelle est un élément simple avec a=b=c=0, et d=1

@richardheiville937 15 дней назад

Pour l'intégrale 1/(1+x^2)^2,x=0,infini, on commence par couper l'intégrale en deux, sur l'intervalle 0 à 1 et sur l'intervalle de 0 à l'infini dans la seconde intégrale on fait le changement de variable u=1/x, ce qui veut dire que la seconde intégrale vaut intégrale de u^2/(1+u^2)^2,u=0,1 et la première intégrale est égale à, intégrale de 1/(1+x^2),x=0,1 moins l'intégrale de x^2/(1+x^2)^2,x=0,1 ce qui veut dire que l'intégrale initiale est égale à intégrale de 1/(1+x^2),x=0,1 qui vaut Pi/4 par un calcul simple de primitive. La technique dans le début de mon message est ultra-classique dans ce domaine-là.

@qlpoza 16 дней назад

Salut, on a un théorème de cours sur les intégrales impropres qui permet l’échange série intégrale (même avec une borne infinie), je ne comprends donc pas l’intérêt du changement de variable u=1/t. Peux-tu m’éclairer ?

@ailphaune 16 дней назад

La série ln(1+t) = ∑ (-1)^(k+1) t^k / k converge uniquement si |t|

@luzz5764 16 дней назад

le développement en série entière nécessite que |x|

@qlpoza 16 дней назад

Ok merci à vous

@phileasmahuzier6713 4 дня назад

Concernant l'intro de deux minutes, jsuis en prepa moi, t'as cru que j'avais le temps? 😂

@richardheiville937 15 дней назад

Des techniques de calcul d'intégrales il en existe tellement que ce serait fastidieux d'en faire la liste et je pense qu'elle ne serait jamais exhaustive. Une technique usuelle qui n'est pas mentionnée dans votre vidéo mais très utilisée: l"introduction d'un paramètre.

@janisaiad9505 14 дней назад

Feynman trick comme les anglais

@richardheiville937 14 дней назад

@@janisaiad9505 C'est une technique connue depuis très longtemps. Cela remonte au moins à Leibnitz

@richardheiville937 15 дней назад

Pour la deuxième intégrale votre justification de la continuité de l'intégrande en 0 est un peu fausse me semble-t-il. la fonction x->log(1+x)/x peut être prolongée continûment en 0 car la limite en 0 de cette expression est égale à un nombre dérivé (celui de la fonction x->log(1+x) en 0 c'est-à-dire que ce nombre dérivé est 1) et le facteur 1/sqrt(1+x) n'a pas de problème de continuité sur l'intervalle [0,infini]