L'équation x²=2 n'est pas résoluble comme la plupart des équations du second degré. Dans cette vidéo, nous allons voir simplement la différence entre une équation résoluble et une équation résoluble par radicaux.
Ça apprend se que l'on ne sait pas, à part si tu sais exactement tout se qu'il a dit alors presque non, mais se qu'il a dit peut te faire parvenir des idées au moment ou tu l'écoute pour t'apprendre quelque chose...😉
Dans une soirée de cosinus où il y a de l'ambiance, un cosinus voit un sinus seul dans son coin. Il lui demande: alors tu ne t'intègres pas ? Et le sinus de lui répondre: non merci, j'ai pas envie d'être négatif. ☺
Puis cosinus va voir son autre amie exponentielle, également dans son coin, et lui demande à son tour "tu t'intègres pas ?" Et e^x de répondre "bof, ca sert à rien..."
@@ThomasLePanda transcendant ne signifie t il juste pas que le nombre n est pas solution d une equation polynomiale ? Qu est ce que tu entends par formule mathematiques ? Parce qu avec des series ou tout simplement des arccos, arcsin, etc. on peut l obtenir
Bonjour Mickaël, je trouve ta réflexion intéressante, et apparemment, elle fait beaucoup réagir ici (et beaucoup de profs de maths, dont je suis). Tu soulèves le problème de la définition des racines carrées, et en particulier de V2' en rappelant la manière dont on définit les racines carrées dans le programme de 3e, en France, à savoir : la solution positive d'une équation de type x²=a, avec a positif (ou nul). Seulement, tant d'un point de vue historique que mathématique, cette définition me semble en fait bien formelle. Elle n'a pu s'imposer qu'après que des siècles et des siècles de "mathématiciens" (qui d'ailleurs ne se définissaient pas comme tels, si on pense à l'antiquité, ou même à l'époque classique) aient permis de suffisamment formaliser cette discipline, avec la théorie des ensembles, l'algèbre, la théorie des anneaux et tutti quanti. Tu sembles postuler que la représentation la plus "tangible" d'un nombre est son écriture décimale, quand bien même celle-ci serait infinie, du moment qu'elle a une périodicité. C'est en effet par cette approche que tout élève d'aujourd'hui est initié à l'univers numérique dès son plus jeune âge, au détriment sans doute d'une riche compréhension de ce qu'est cette chose abstraite : un nombre. Car "se représenter" un nombre est en fait une notion extrêmement difficile, d'autant plus que chaque époque a eu ses représentations propres, partant de postulats plus ou moins clairs, de sous-entendus plus ou moins explicites. Pour les Grecs, par exemple, il n'y avait rien de plus tangible que ce que l'on pouvait "toucher" (et je trouve pour ma part cette approche très intuitive, non ?). Pour eux, V2' n'était rien d'autre que la diagonale d'un carré de côté 1 (au passage, on pourrait même dire que ce "1", d'un point de vue géométrique où les Grecs se plaçaient, ne veut rien dire : "1" d'accord, mais "1" quoi ? On pourrait en effet prendre cette diagonale comme nouvelle unité de mesure par exemple, et du coup notre "nouvelle" V2' aurait la même mesure que notre ancien 2, dans l'unité d'avant. Mais cela nous entraînerait dans des propos sur la commensurabilité). Bref, toute représentation part d'un implicite immense, mais indispensable pour comprendre "quelque chose". D'un point de vue philosophique, pour étudier quelque chose, il me parait important de d'abord se convaincre (avec des arguments explicités) que "quelque chose" existe. Pour ma part, si l'on se positionne sur la réalité d'un monde mesurable, je trouve que V2' est un nombre bien plus facile à appréhender de façon tangible (que l'on peut toucher du doigt) que le nombre périodique 1,34343434[34] ou le nombre 1,23449999"..." par exemple. Pareil d'ailleurs, pour le nombre PI puisqu'il suffit de tracer un cercle de diamètre 1 pour le "voir". Et c'est à mon avis cette immédiateté (presque palpable) de V2' et de PI qui a fait qu'ils sont apparus et ont été discutés bien avant que les développement décimaux et l'écriture décimale d'un nombre ne s'imposent, certes pour des raisons pratiques de calcul évidentes. Mais le nombre précède le calcul (encore que je n'ai pas assez réfléchi à cette affirmation qui jaillit comme ça de mon intuition). Malheureusement, dans l'enseignement français, on a quelque peu délaissé ces approches jugées trop difficiles ou pas assez formalisées, trop peu rigoureuses (selon les critères des maths modernes). Pour des raisons historiques, cela a conduit, dans les années 1970, à privilégier l'approche algébrique et abstraite de cette discipline (la théorie des "patatoïdes") en oubliant quelque peu l'épistémologie. Il en reste des traces dans l'enseignement contemporain, et cette définition que tu donnes de la racine carrée à partir des équations en est une. Pour autant, je suis aussi d'accord avec d'autres commentaires qui rappellent que si l'on se base sur un formalisme exagéré, alors les entiers négatifs "n’existent pas" sauf pour résoudre les équations x + a = 0 dans N (qui devient Z), et les rationnels n'existent pas mais ont inventés pour résoudre les équations bx = a dans Z (qui devient Q). Moi, dans mon enseignement, je trouve plus pertinent de dire que les nombres négatifs existent car on les voit sur une frise, les rationnels parce que l'on peut partager un segment ou une tarte en un nombre fini de parts, et que V2' existe puisqu'on le voit dans tout carré dont on trace une diagonale. C'est de cette conviction que "ça existe" que les élèves, me semble-t-il, pourront mieux appréhender ces objets et se les approprier, en les touchant de l'esprit. Il est néanmoins pertinent d'attirer l'attention sur le paradoxe que tu soulèves, mais qui me paraît plus être un paradoxe formel que réel (les mots, en mathématiques, sont souvent sacrément bien choisis, non, quand on pense à l'ensemble des nombres RÉELS ?).
Pour pousser la reflexion plus loin, c'est comme les nombres complexes qui ont été inventés pour résoudre des equations du type x^2= a (où a est négatif et appartient à R)
C'est tout à fait çà, le paradoxe soulevé ici ne provient que du "codage" décimal des nombres qui est usuel. Si on codait les nombres en base racine(2) on obtiendrait une autre algèbre dans laquelle racine(2) serait codée par "1", tout simplement, en revanche pour compter des moutons cela deviendrait vite très compliqué...
vouloir absolument tout se représenter en math et en physique devient dangereux quand on commence à étudier des choses qui sont impossible à se représenter. Il faut faire attention à ça. Mais pour le reste je suis tout à fait d'accord avec toi
Heuuu, c'est pas parce que je sais pas écrire un nombre en base 10 qu'il n'y a pas de solution ! Comme indiqué dans des commentaires, il existe des équations sans solution (enfin ça dépend du support) comme x-x=1 qui n'a pas de solution dans R. C'est intéressant d'introduire les irrationnels mais inventer un mot (résoluble) pour dire : n'a pas de solution dans Q c'est un peu gros. Il est possible de représenter racine de 2 : je peux te dessiner un segment qui fait exactement(!!) racine de 2 en longueur (diagonale d'un carré de coté d'une unité), c'est bien que cette quantité "existe". Au passage, les nombres sont aussi des notations ... tu pourrais faire des mathématiques avec des petits battons (et rester dans N par exemple).
Merci ! J'allais pratiquement dire la même chose... Racine de 2 est aussi un nombre constructible à la règle et au compas. Je suis bien déçu par cette vidéo de Micmaths, tant d'autres sont excellentes.
@@sebastienaudibert6134 je pense que si on veut faire une analogie avec la vidéo, oui le nombre est constructible à la règle est au compas, mais il n'est pas présent sur ta règle (il est constructible mais pas mesurable). de la même manière racine de 2 est calculable.
Que signifie le symbole " = " ? Cela signifie que ce qui est écrit d'un côté du symbole EST LA MÊME CHOSE que ce qui est écrit de l'autre côté du symbole. 2+3 EST LA MÊME CHOSE que 5, simplement noté différemment. Dire que (1+V5)/2 n'est pas une solution d'une équation parce qu'il y a encore des choses à calculer est un non sens dès lors que cette proposition EST LA MÊME CHOSE que l'inconnue originelle. On peux ensuite simplifier la notation (ou pas), mais cela ne change rien. Il ne faut pas s'arrêter aux questions de notation : 2+3 est l'unique solution de l'équation 6 - x = 1. Cette solution, je peux l'écrire 5 ; 2+3 ; V25 ; peu importe, la solution n'en demeure pas moins unique.
J'approuve ! Ce jeune homme s'est mis à introduire la notion bizarre de "nombre réel pas très catholique". La diagonale d'un carré de côté 2 est pourtant bien réelle...
L'aspect géométrique n'est même pas abordé !!! Le système décimal non plus d'ailleurs. Si on prend un carré de côté 1, racine de 2 est la longueur exacte de la diagonale. Une infinité de décimale ne signifie pas que ce n'est pas un nombre. En bref, je trouve que l'on est dans le pseudo savant.
Incapable en notation décimale ; si l'on prend V'(2) comme base on l'exprimera par 1. On pourrait dire la même chose des fractions : 1/3 est le résultat de 1 divisé par 3. Et si on l'écrit 1,33333... ça équivaut à 1+3/10+3/100+3/1000.+... et c'est toujours le résultat d'un calcul.0
pas du tout, mais alors du tout, d'accord avec l'approche de la video. Au niveau ou on se place, il n'y a pas vraiment de raison de separer le calcul de 1/3 et le calcul de sqrt(2). Et ca a tendance a diluer la notion de "resoluble", qui n'a pas grand chose a voir avec l'irrationnalite du resultat, mais bien plus avec la notion de decidabilite ou de preuve. Bref, c'est extremement dommageable de simplifier tellement a l'outrance que ce qui est raconte ne veut plus rien dire...
Si on redéfinit "non soluble" par "je ne peux pas écrire une représentation précise autre que sqrt(2)", c'est idiot, effectivement. Sauf qu'en effet "soluble" ne signifie pas "qu'on peut écrire avec une représentation chiffrée qui tient sur une feuille". Vraiment un troll idiot.
Emmanuel Florac Je ne comprends pas pourquoi vous considérez que le propos de Marc Espie est un troll : il explique que 1/3 ou rac2 ne sont pas différents au niveau de la possibilité de les écrire en écriture décimale. Mais à vrai dire, j'ai beau relire votre commentaire et je ne comprends pas ce que vous entendez par "soluble". D'après Mickaêl Launay, si j'ai bien compris, "soluble" dépend des règles que l' "on" s' autorise, du coup, pour moi, dire que x^2=2 n'est pas résoluble relève de la provocation, puisque la vidéo explique le contraire.
Entièrement d'accord avec Marc, en particulier sur la comparaison avec 1/3. Dans la video, il considère 1/3 comme un nombre résoluble parce qu'on comprend bien la façon dont on peut écrire ses décimales, mais il existe aussi des algorithmes qui permettent d'énumérer les décimales de sqrt(2) bien qu'un peu plus complexes. Donc soit on décide d'une limite à la complexité de la séquence des décimales, soit on tombe directement dans les nombres dits calculables dont fait partie sqrt(2).
Rien n'empêche d'écrire √2 en base √2. Et ce sera 1/3 qui sera un calcul et pas un nombre, selon ce critère. En quoi les bases entières devraient être les seules bonnes ? Autrement dit, c'est un problème de représentation des nombres et pas un problème de "résolvabilité". (en.wikipedia.org/wiki/Non-integer_representation)
après tout, "1" est une valeur très précise comprise entre "0.9999..." et "1.0000..1", ce qui n'empêche pas les trois valeurs d'en être au même titre que pi et sqrt(2).
BladOBeron (juste un petit troll) Je suis capable de te démontré que 0,99999.... est égale a 1 : soit x=0,9999999... 10x=9,999999.... 10x-x=9 9x=9 x=1 1=0,99999....
BladOBeron Sauf que parler d'occurrences signifie qu'on peut dénombrer. Or il y a une infinité d'occurrences... M'enfin l'infini ça me dépasse. (voir sa vidéo sur 1+2+3+4+... = -1/12 également)
Dans le principe des occurences infinies, j'ai: A=1+0+1+0+1...=1/2 C=1+2+3+4+5... A+C=2+2+4+4+6+6+8+8... A+C=2x2+4x2+6X2+8x2.. A+C=2(2+4+6+8...) A+C=4(1+2+3+4+5+6...)= 4(C) A= 4xC-C= 3xC. C= A/3=1/6 ? or, C-B= 4(C) donc A+C=C-B A=-B donc A = -1/4 reprenons, C= A/3 = -1/12. Reprenons donc le tout, A=1/2=-1/4, et C=1/6=-1/12. Il n'y aurait donc pas qu'une seule solution ? edit: attention, jouer avec l'infini, ça brûle.
"Racine de 2" est bien un nombre. Il s'agît de 2 à la puissance 1/2. Je trouve tes réflexions mathématiques très intéressantes en général mais celle ci me laisse fortement dubitatif.
@@corentinfassin6771 Racine carré de 2 est un nombre irrationnel et pas un calcul. Le calcul est la méthode pour obtenir la valeur du nombre irrationnel. Va voir la définition des nombres irrationnels, transcendants, réels et imaginaires. Ce sont tous des nombre contrairement à ce que dit l'auteur de la vidéo. Il ne connaît de toute évidence pas ses définitions de base en mathématique et il n'est même pas capable de distinguer nombre et méthode. La vidéo est hallucinante de contre-vérités.
@@michelpitermann5335 Le type a quand même un doctorat en mathématiques et est un ancien normalien, donc enlève ce ton condescendant quand tu n'es même pas capable de faire des recherches.
La solution vous semble simple maintenant , mais aller expliquer cela à de jeunes esprits qui n'ont pas encore la capacité de concevoir l'abstrait, et on pourra en reparler de manière "mathématique"...
Les mathématiques sont elles naturelles ou une création de l'Homme ? Toute la question est la. Si elles sont naturelles, l'Homme doit s'efforcer de trouver les solutions. Si elles sont la création de l'Homme, on peut y inventer n'importe quoi et y trouver les solutions que l'on veut (ensembles, racines, ...). Penser les mathématiques, c'est penser a un sytème dont les règles ont une origine encore indéfinie.
Je ne suis pas du tout d'accord avec le fait que V'(2) est un "calcul". Son statut est celui d'un nombre, et dire "non ce n'est pas un nombre c'est un calcul" est vraiment un sophisme, je pense que ça peut perturber certaines personnes qui ne se sont jamais posées la questions de statut sur une entité mathématique telles qu'un "nombre" ou un "calcul". Quand un professeur fait un cours, il prend en compte les difficultés des élèves, donc le fait que V'(2) soit pour eux un calcul. Mais ça n'est pas pour autant qu'il ne faut pas leur enseigner la vraie nature de ce genre de "calculs" c'est à dire un nombre, qui existe indépendamment du calcul, mais qui a une notation simple grâce au calcul. Sinon, comment faire correctement voir aux élèves que f est une fonction, et f(x) est un NOMBRE ! Pour éviter les messages d'insulte, je précise que je ne suis pas docteur en mathématiques (même si ça ne saurait tarder), mais que j'enseigne pour l'instant.
Elles sont drôles les réactions. On dirait que racine de 2 fait partie de la famille de beaucoup d'internautes : "Tu dis pas que racine de 2 c'est pas un nombre, ok !?"
@@coco_bold soit f : x2-1 Aloŕs f(0)=-1 L eq se ramène à f(x)= -f(0) equivaut à x2=2 voilà la solution Forcément la seule solution envisable est X positif ou null alors 0 est solution X est négatif ou nul alors 0 est solution. Moi c athiaw laye Seydina issa laye ndiaye
Bonjour, je dis toujours à mes éléves, que les lettres sont les symboles des sons élémentaires, les mots sont les symboles des objets et autres notions primaires non matérielles comme "amour" , "ami" ...etc et que les nombres font parties de cette classe , ce sont les symboles (mots) des quantités/ Et apparemment ça semble les satisfaire , merci
Bonjour, Ton raisonnement est intéressant, mais je ne suis pas d’accord! Ne serait ce t-il pas le principe des mathématiques que tu remets en cause.. la science déductive par excellence; on crée du langage(outils, définitions, théorèmes) à partir d'axiomes (qui sont arbitraires, mais acceptés comme vrais!) et on obtient une somme des parties plus grande que le Tout initial (et non pas une tautologie, comme tu essayes de l’expliquer). Démonstration par l’absurde (un des outils de la logique, qui peut aussi être remis en cause, mais difficile de penser après cela..) Si on suit ton raisonnement; √2 n'est pas un nombre puisque sa valeur est définie relativement à son carré (x*x=2) ..... de même 2 n'est pas un nombre, car il est définie relativement à 1... il vaut 1+1. Avec un peu de mauvaise foi ( arme indispensable à tout bon scientifique), on pourrait dire que l'équation x+x=2 n'est pas résoluble. Si on continue comme cela, on finit par affirmer que rien est vrai (ce qui n'est pas tout à fait faux), mais alors dans quelle étagère? Salout
Mal présenté : confusion entre capacité (notre) d'écrire avec un nombre fini de caractères la solution calculée exactement et possibilité de la définir exactement.
C'est comme dire qu'on ne peut pas calculer la circonférence d'un cercle de diamètre 1, sous prétexte que ça fait pi et que pi est par définition le rapport entre le diamètre d'un cercle et son périmètre...
+Like A Brosse Tu n'as pas compris ce que je voulais dire. On peut calculer la circonférence d'un cercle de rayon 1, mais selon la logique de micmaths on peut pas.
Ce n'est pas exact. C'est une question de définition. Qu'est ce que tu entend par nombre? Si tu pense à un nombre entier ou rapport d'entiers (c'est à dire un rationnel) racine de deux n'est pas un nombre pour ta définition. Mais en math la définition d'un nombre est plus générale.
Bien sûr que ces équations sont résolubles ! Quand on pose _x_ = √2, on utilise la relation d’équivalence = dont le sens est plus que clair : _x_ et √2 sont exactement la même chose. De même, 1 + 1 = 2 ne veut pas dire « 1 + 1 est un calcul dont le résultat vaut 2 » mais « 1 + 1 et 2 sont exactement la même chose ». Ce que l’on appelle « calcul », ce sont les opérations effectuées pour passer de la forme 1 + 1 à 2, sans jamais changer la valeur du nombre manipulé. Même en écrivant _x_ = max { _t_ ∈ℝ | _t_² = 2}, _x_ est un nombre même s’il est défini par compréhension (il faut bien sûr que l’ensemble utilisé soit défini, non vide et possède un plus grand élément). De plus, √2 fait partie d’un ensemble clairement identifiable : les algébriques irrationnels, autant dire que c’est un nombre. Il fait partie du corps (ℝ;+;×) au même titre que 2 et 5,7 (et peut donc être s’additionner et se multiplier avec ceux-ci). Un autre exemple de nombre défini par compréhension est π, défini comme le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Est-il un nombre ou un calcul impossible à faire sans se mordre la queue ?
+Doc Code ... allez bonne nuit. Ca sert à rien de croire apporter quelque chose au débat quand on ne sais pas différencier un irrationnel d'un imaginaire.
On peut pousser le raisonnement plus (trop!) loin : 8 + 9 = x n'est pas résoluble. Vous direz certainement x = 17, mais ceci est un calcul! En effet, notre notation décimale est basée sur un calcul et en réalité, 17 signifie 1*10^1 + 7*10^0. C'est juste qu'on est tellement habitué de le voir qu'on le comprend sans devoir passer par le calcul. Comme pour racine(2), sauf que, plutôt qu'un mathématicien ou quelqu'un bien à l'aise avec les mathématiques, ce sera un enfant de 6 ou 7 ans qui, tellement habitué de voir cette notation, vous dira que c'est un nombre. Bref, les seuls équations résolubles en base 10 sont celles qui donnent un résultat entier entre 0 et 9. Tout autre résultat est un calcul, donc pas résoluble.
salue tu dis le mot jamais être résolu mais g appris un truc en science comme en math ne jamais dire jamais un jour peut être une personne pourrons les résoudre avec des technique pas encore connu les chose ne son pas impossible mais très improbable mais j'aime bien t vidéo tu explique bien
4 se balade dans les bois avec 9. À un moment, ils se perdent, puis 9 le retrouve à la fin, il a diminué de moitié ! "Ben, qu'est-ce qu'il t'es arrivé ? -Je me suis pris une racine !"
Une solution n' a pas pour vocation d'être satisfaisante. L'objectif est d'être rigoureux. La satisfaction du résultat est une notion subjective mais pas mathématique.
En ce qui me concerne, c'est le titre de cette vidéo qui me pose problème (dans la mesure où dans ce cas, aucune équation n"est résoluble) ainsi que le début (où Mickaêl Launay sous-entend qu'un nombre n'est "valable" que s'il est rationnel) d'où mes nombreuses interventions négatives. Néanmoins, je trouve a fin de la vidéo intéressante. Par ailleurs je trouve ses autres vidéos très bonnes.
Marrant toutes ces réponses de gens visiblement très bien informés, mais qui n'arrivent vraiment pas à me faire comprendre ce qu'ils veulent dire, à moi néophyte ^^ Contrairement à cette vidéo. Parfois simplifier c'est bien aussi. Ca ne sert à rien de dire quelque chose si le public visé ne comprend pas (tant de gens font cette erreur !). (on est sur youtube les gars, pas en amphi ).
Lapin Blanc J'aime beaucoup ta réponse. Beaucoup de professeurs, mathématiciens et j'en passe aiment mystifier les mathématiques. A croire qu'ils ne souhaitent pas transmettre leur savoir sans apeurer ceux qui s'intéressent à la science.
Et qu'as-tu compris avec cette vidéo ? N.B. cette question n'a pas pour but de "dégommer" qui que ce soit mais plutôt de "voir" ce qu'un "néophyte" comprend à cette vidéo.
mais justement cette vulgarisation fait passer beaucoup de sophismes, on est obligé de passer par des mots plus complexes pour pouvoir l'expliquer, c'est même dangereux cette vulgarisation
dans al vidéo, il dit que ( 1 + racine(5)) / 2 n'est pas un nombre. Or cette valeur est appelée : nombre d'Or. C'est bien que c'est considéré comme un nombre par tous les mathématiciens, contrairement à ce qu'il affirme. D’ailleurs racine carrée de 2 est aussi un nombre, un nombre irrationnel. le nombre d'Or et racine de 2 appartiennent à l'ensemble des nombres réels. Si la solution positive de X² = 2 est racine de 2, l'équation a une solution dans l'ensemble des réels, et ce qu'il dit est faux. Sauf s'i annonce dés le départ dans quel ensemble des nombres il se situe, ce qui réduit l'intérêt de son exposé au niveau primaire ou collège.
Il me semble que le postulat sur lequel se base cette vidéo, c’est que l’on connaît un nombre lorsque l’on est capable de « décrire » complètement son écriture décimale. Ainsi, je suis capable de décrire la partie décimale de 1/3, alors que je ne suis pas capable de le faire pour racine de 2. Ce que je comprends également dans ce qui y est dit, c’est que le symbole du radical s’apparente davantage à une opération, qu’à un nombre, et que, faut d’avoir trouvé une écriture ou une description plus satisfaisante, on fait finalement un amalgame entre « l’opération » racine de 2 et son résultat. De mon côté, en visionnant la vidéo, je me suis interrogée sur la façon dont on définit un « nombre ». Je me suis aperçue que je considère un nombre comme un représentant d’une quantité. Vu sous cet angle là, pour moi le nombre racine de 2 existe (comme longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 par exemple), et par abus, on utilise la notation racine de 2 pour le nommer. Cet abus ne me gène pas outre mesure, de la même façon que les hommes ont inventé le symbole « 3 » pour décrire la quantité correspondant à un caillou + un caillou + un caillou, ils ont par la suite inventé le symbole du radical pour des quantités qu’on n’avait pas encore nommées jusque là... Par ailleurs, certains ont commenté que les difficultés que l'on rencontre peuvent être contournées si on n'utilise plus la base 10... Bref, ce que je trouve très intéressant à propos de cette vidéo, ce n’est pas tellement le fait que l’équation soit résoluble/résolvable/soluble ou tout ce que vous voulez :) mais le débat qu’elle suscite sur la notion de nombre. Qu’est-ce qu’un nombre, quand peut-on dire que l’on connaît un nombre ?
+Micmaths La pensée est sympa, mais pour moi il y a une différence entre représentable et résoluble. Qu'est ce qui rend la représentation décimale plus valide que la représentation comprenant des radicaux racines carrée ? Surtout quand cette dernière a une *unique version canonique*. ( on écrit **((1+sqrt(5))/2)** pas **((3+sqrt(45))/6)** ) Avec exactement les même argument tu pourrait dire qu'il n' est pas possible de résoudre 3 x = 1, et que les fractions ne sont que des calculs restants. L'argument pour toute solution il suffit d'introduire une nouvelle notation n'est même pas vraiment recevable, car il faut aussi s'assurer de la cardinalité de l'ensemble des solutions.
l'argument "il suffit d'introduire une nouvelle notation" n'est surtout pas recevable car il fau s'assurer qu'on ne sort pas du cadre qu'on s'est fixé (par exemple i pour i^2 +1 =0 est une nouvelle notation mais on sort du cadre de R, qu'on s'était fixé par exemple)
Enfin une réponse pour le moins recevable dans ces commentaires, je trouve que tu as entièrement raison sur la différence entre la notion de "représentable" et "résoluble" !
Les réels irrationnels existent... cette vidéo est une insulte à un ensemble qui mérite reconnaissance, je rappelle quand même que, Comme Q, les irrationnels sont denses dans R.
sqrt(2) est la limite de la suite xn+1=(xn+2/xn)/2 en partant avec x1=1. Si on définit les réels comme des classes d'équivalence de suites de Cauchy, alors sqrt(2) est parfaitement défini.
En math, je crois qu'on s'en fiche pas mal des chiffres après la virgule... Grâce à la fonction racine, on désigne de façon unique un nombre que l'on note racine de 2, et ce nombre est solution. Tant qu'on l'on a pu montrer l'existence et désigner de manière unique la solution d'une équation, on dit par définition qu'elle est résolue. Donc cette vidéo au titre provocateur n'a pas de sens xD.
Lin Abien C'est dommage tu es passé juste à côté du bon raisonnement ! Résoudre, ça veut dire "expliciter une solution avec des outils plus simples". Le problème c'est justement que pour parler d'une solution de X² = 2, tu es OBLIGÉ d'introduire une NOTATION. Si je te dis "Une solution de x^19 + x^10 + 4x^5 + 12 = 0 est BOBY" , ai-je vraiment "résolu" l'équation ?
+Lin Abien (Linab) Je suis entièrement d'accord avec toi! =) Si on qualifiait toutes les équations d'insolubles, dès qu'elles ont une infinité de chiffres après la virgule, les ronds ne serait pas rond. Pi est bien dans ce cas là, cela dit, tous les plus grand mathématiciens, physiciens etc s'en servent. Je suis d'accord, cette vidéo c'est juste pour le titre "tape à l'oeil".
+hoetre Et si je te dis que 2 est aussi un symbole, l'équation x -2 = 0 est-elle soluble ? C'est pas une histoire de notation. Tout les chiffres en sont aussi quand on réfléchi bien. De plus, je n'ai jamais dit qu'il suffisait de nommer une solution d'une équation pour la considérée résolue. Relis mon message. De plus, la fonction racine est TELLEMENT usuelle, presque comme le plus et le moins (dans l'ensemble des réels) qu'on peut pas dire que l'équation n'est pas résoluble. Il est clair qu'il existe des solutions qu'on ne sait pas résoudre et elle sont bien bien plus compliqué que cela. Bref, tout cela pour dire que le titre de la vidéo est complétement abusé.
Lin Abien Toujours d'accord avec toi =) Effectivement, qui a dit que 1 était égal à 1 hein? Pourquoi on ne compterait pas en √2? xD Du coup l'équation serait résoluble non? =P
@@baptiste667 C'est faux Baptiste car si tu prends une calculatrice avec un écran plus large , cela ne fonctionne pas ; car la racine de 2 n'est pas un un nombre décimal.
@@mickerson3979 en tout ca si on prend la valeur de la racine de 2, qui n'est pas un entier, et que l'on met au carré lorsque que l'on prend une infinité de chiffre après la virgule, on a une valeur qui tends vers 2 lorsque que le nombre de décimal tends vers l'infini
Donc là tu "reproches" aux nombres irrationnels de ne pas pouvoir s'écrire sous la forme de nombres décimaux ( ce qui est littéralement leur caractéristique) ?
Alors que c'est nous qui avons décidé d'écrire les nombres en base 10 à la base et que si l'on avait choisi genre 2 (les informaticiens comprendront) alors 0.2 serait tout aussi irrationnel (0 .001 1001 1001 1001...) Pour les profanes c'est le problème de l'arrondi des nombres flottants, qui fait que les additions de nombres non binaires (fraction de n/2^k) donnent des résultats incorrects (ex: en Python, 0.3 + 0.2 == 0.5 est faux car l'arrondi est mauvais)
C’est vraiment débile de dire que racine de 2 n’est pas une solution de l’équation. Ça revient à dire que c’est pas un nombre, juste parce qu’on ne peut pas l’écrire avec un nombre fini de chiffres. Quand on fait des maths il faut être un minimum formel. Tu me fais penser à quelqu’un qui ne croit que ce qu’il voit. C’est vraiment l’approche opposée de l’esprit mathématique.
C'est un jugement hâtif. Je te rappelle que tu parles à un docteur en probabilités qui est passé par l'ens de la rue d'ulm. Un peu de charité intellectuelle: le propos est maladroit mais pose de bonnes questions. Ce n'est pas du tout idiot. On voit que tu n'as jamais été confronté à un problème de math dont on ne te donne pas la solution immédiatement. Lorsque tel est le cas, le problème est toujours, disons, "mal posé", et nécessite un gros travail de déconstruction pour, déjà, savoir ce qu'on cherche. C'est ça, l'esprit mathématique. Tu sembles prétendre avoir compris ce qu'est sqrt(2), mais à te lire, je n'en suis pas bien sûr. Voici des définitions formelles possibles (accroche-toi): la classe de X dans le quotient Q[X]/X²-2, la coupure de Dedekind des nombres rationnels par la comparaison de leur carré avec 2, la classe d'équivalence des suites de Cauchy rationnelles dont le carré converge vers 2... Sans avoir déjà construit l'ensemble extraordinairement compliqué qu'est R, que l'on est dressé pour faire semblant de comprendre au lycée, la définition "le nombre positif dont le carré vaut 2" n'a en réalité aucun sens et n'est donc pas satisfaisante. Et ouais... Quant à savoir si c'est un nombre, mon cochon, t'as pas le cul sorti des ronces. Pourquoi diable 0 est-il un nombre, par exemple ? Définis-le moi. Moi je ne sais pas compter "0", je ne sais pas ce que ça veut dire.
Vous avez raison, cette video est une catastrophe pédagogique. Il va y avoir des dégâts dans les jeunes cervelles. Ce jeune homme devrait retirer illico cette vidéo contre-productive.
Je pense que le but de la vidéo est louable. Elle pose en effet la question de savoir ce qu'est un nombre (et si on va plus loin, de "la réalité des maths"... Question vieille de 3000 ans). Cependant je pense que le sujet, dans cette vidéo, a été très mal amené: Pour le coup trop de simplifications, qui conduisent a des amalgames entre un nombre et sa représentation numérique (ou au fait de connaître toutes ses décimales), et j'en passe. Ceci amène une grande partie des commentaires à êtres très critiques, puisque sous cette forme, la vidéo donne l'impression à un spectateur averti (ayant eut des cours plus ou moins poussé sur les maths, et en particulier la théorie des nombres, ou de leur constructions par ex: notion de groupe, anneaux, corps, algèbre, module, extension de corps etc...) que l’auteur parle de choses qu'il ne comprend/connaît pas, alors même que ceci est très certainement faux (à mon avis, ou du moins je l'espère). Eh oui la vulgarisation est une chose difficile. Il ne faux tomber dans aucun extrême de simplicité ou de complexité, et trouver le juste milieu est un véritable calvaire, surtout quand on expose un point de vu aussi particulier que celui de cette vidéo. C'est pourquoi j'invite l'auteur de cette vidéo, à en refaire une (si ce n'est déjà fait), afin d'améliorer à la fois le contenu et la forme de la vidéo, et étant plus précis sur ses dires. Par exemple il aurait peut-être été plus adroit de parler de comment on a historiquement construit ces concepts de nombres. En commençant en premier, par les entier naturels, relatifs, puis les rationnels, les nombres algébriques, les transcendants, les calculables, et les nombres non calculable... Et de donner pour "chaque" cas, les difficultés historique de conceptions de ces différentes notions/classe de nombres. En effet ces classes de nombres sont apparues petit a petit à travers l'histoire, notamment à travers les problèmes de résolutions d'équations. Il aurait été intéressant, par exemple, de voir qu'à une époque, pour résoudre les équations de degré 2 on avait plusieurs méthode suivant les signes des coefficients. En effet même à cette époque où les irrationnels était connues, on concevait les nombres comme étant des quantités, et donc comme quelque chose de positif ! Avec, pour les nombres négatifs une analogie avec la notion de dette (qui reste positive). Ou bien à une autre époque, antérieur à celle précédemment cité, les pythagoriciens refusaient de croire en l’existante de nombre irrationnels (ou bien la cachaient) pour des raisons plus ou moins idéologiques, ou parce qu'ils ne considéraient pas les irrationnels comme étant des nombres. Ceci qui les conduisaient à dire qu'il n'y avait pas de solution de x²=2, puisqu'il savait déjà démontrer que s'il y avait une solution à cette équation, alors celle ci n'était pas rationnelle. Je ne donne précédemment que des pistes de réflexion pour une éventuelle nouvelle vidéo sur un sujet proche. Cette vidéo pourrait d'ailleurs se finir par une question ouverte au spectateur comme par exemple: "Mais au fait, qu'est ce qu'un nombre selon vous ?" (question peut-être un peu philosophique finalement)
Tout le problème est que Mickaël Launay a voulu discuter de ce que signifie "résoudre une équation" avant de discuter de ce qu'est "un nombre". Du coup, non seulement il devrait à mon sens faire une vidéo à partir des pistes que vous donnez pour éclaircir la notion de nombre avant de refaire cette vidéo.
Déjà il a tout faux au niveau de al définition d'un nombre. racine de 2 , comme le nombre d'or sont des nombres...réels. Son énoncé n'est vrai que dans un cadre très restrictif au niveau mathématique qu'il n'énonce pas mais qu'il défini implicitement comme une vérité absolue. Toute valeur appartenant à R est un nombre, donc l'équation a une solution dans l'ensemble des nombres réels. CQFD
En effet, il y a même plusieurs formules de somme, produit ou quotient infini qui donnerait π si l'on arrivait au bout. Un exemple parmi tant d'autres: d'après la série de Gregory-Leibniz, π = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - ... + 4/n où n est un entier impair et les + et les - s'alternent, soit π = 4 Σ ( [-1]^n / [2n+1] ) pour n variant de 0 à ∞
???? Vous expliquiez en 2014 que si on ne peut pas écrire un nombre sous une forme décimale finie alors ce n'est pas un nombre.... Pourquoi pas. C'est votre point de vue.
EnjoyDadidou revisionnage pour le timing précis...3'05. « Les nombres qui sont solutions de cette équation ne peuvent pas être écris. Il ont une infinité de chiffres après la virgule. » 3'18 « on ne peut pas, ce n'est pas possible d'écrire les solutions à cette équation » --- Racine de 2 n'est donc pas un nombre. Tout comme Pi, C, e, G, 0x82, 3/4, 1/2 ou que sais-je encore. La représentation d'une quantité est loin d'être unique et ce, depuis au moins L avant JC, quand les gaulois résistaient encore et toujours à l'envahisseur :D
Dans les passages que vous citer il est dit "les nombres qui..." et vous en tirer comme conclusion "donc ce n'est pas un nombre" ... Ma question est donc: A quel moment (apparemment en 2014) il a dit qu'un nombre qu'on ne peut pas écrire sous forme décimale n'est pas un nombre ? (ce qui, dans la phrase elle même est déjà incohérent)
Mais le même raisonnement s’applique à 1/3 ! Si vous prenez comme définition que vous trouvez les solutions d’une équation en donnant une valeur numérique.
6:50 "Non, Racine de 2 n'est pas un nombre !" M'aurait-on donc menti ? Au même titre, pi ne serait-il, lui non plus, pas un nombre ?? Tout dépend de la définition de "nombre" qu'on emploi, mais avec la définition ccommunement employée par les mathématiciens (et donc celle qui est la plus "légitime" si on en vient à débattre), Racine de 2 est BIEN un nombre, c'est un nombre réel, au même titre que i est un nombre (complexe) et pi en est un nombre réel également ... Du coup la vidéo tape un peu dans le vide. La réalité est que "Racine de 2" n'est pas un nombre décimal, c'est tout ...
J'ajouterais que 1)être à la fois un calcul ET un nombre n'est pas contradictoire, le calcul pouvant être la definition du nombre 2) Larousse (qui n'est pas fait pour être lu par des mathématiciens) donne aussi les réels comme étant des "nombres" (et donc racine de 2 aussi) : www.larousse.fr/dictionnaires/francais/nombre/54801 3) insister sur le fait "si vous demandez à quelqu'un qui s'y connait en maths, il vous repondra [quelque chose de faux]" me parait être du sensationalisme, du genre "Je vais vous apprendre un truc que même les + forts ne savent pas" ou "vous pourrez en boucher un coin a quelqu'un qui s'y connait" et pourrait même paraitre un peu condescendant "moi je sais mais les autres qui parlent de maths ne savent pas" car je pense que toute personne "qui s'y connait" ou tout "professeur"connait bien les propriétés de racines de 2 ... Enfin dsl du ton qui peut paraitre un peu agressif. Le reste et quasi-totalité de la vidéo est bien evidement vraie, mais je voulais revenir sur ce point qui me paraissait important.
Mdr je pensais que dans la vidéo, on jouait avec les maths pas que l’on jouait avec les mots. « Cette équation n’a pas de solution » alors qu’il y a racine de 2
Bonne vidéo, et d’ailleurs, puisque « racine de x » est une formule mathématique et non un nombre en soit, il est bien dommage que peu de personnes aujourd’hui soient capables de la calculer à la main. Ce n’est pas si facile à calculer une racine à la main et calculer racine de 2 prendrait un temps infini ! Racine x est non seulement une formule, mais aussi un véritable algorithme (qui ressemble à celui de la division euclidienne). Donc c’est effectivement peu satisfaisant de dire que le résultat de x carré est le résultat d’un algorithme infini qu’on n’a pas le temps de calculer ! Il vaut mieux l’exprimer par son approximation : racine 2 -> 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157…
J'imagine (au vu des notations utilisées, etc.) qu'on se place ici dans R, où l'on a en fait tout l'arsenal de l'analyse à notre aide. Je ne suis pas d'accord avec toi sur ton point concernant sqrt(2): à mon sens tu confonds signifiant et signifié. Tu dis que "les nombres solutions de cette équation ne peuvent pas être écits": ceci est vrai, mais cela ne veut pas pour autant dire que l'équation n'est pas résolu(bl)e. On sait grâce au TVI que f: x -> x^2 -2 admet un zéro dans R, donc l'équation a un solution. Qu'on la note sqrt(2) ou t ou rzte (je mets des lettres au hasard), elle admet une solution, qu'il ne faut pas confondre avec le symbole utilisé pour la dénoter. Donc je suis désolé, mais si, cette équation est résoluble. Pour en revenir ensuite à ton argument concernant le fait que sqrt(2) soit un "calcul qui n'est pas fini", et pas un nombre: je viens de montrer qu'il s'agit d'un nombre. J'attends encore le formalisme derrière ton idée de "calcul pas fini" (qui invoquerait une notion de temps ? ). Une autre idée pour justifier ce que je dis est que l'on ne peut pas juste inventer un symbole et décréter que c'est la solution d'une équation: par exemple dans Q, x^2 = 2 n'a pas de solution, et je peux très bien dire "sqrt(2) est le nombre dont le carré vaut 2", ça ne mettra pas plus de solutions dans Q à mon équation. Au mieux (et en fait presque tout le temps) ça me donne un corps de décomposition, mais je sors alors du cadre que je me suis fixé pour résoudre l'équation (pour prendre un autre exemple : quand je décrète que i est le nombre dont le carré vaut -1, j'ai beau l'avoir défini ainsi, je sors de mon contexte initial, à savoir R, et je rentre dans C). Donc quand on dit, dans R, "sqrt(2) est solution positive de l'équation x^2 = 2", on ne fait pas une erreur d'assimiler un "calcul pas fini" à un nombre, non, on affirme un résultat qui est correct. J'aime plutôt bien la plupart de tes vidéos mais celle-là m'a étonné, et un peu déçu je l'avoue :/
+ je rajouterai simplement qu'on peut définir sqrt(2) non pas comme "le réel positif dont le carré vaut 2" mais comme exp(1/2 * ln(2)) ce que tu peux aussi appeler "un calcul pas fini", mais qui pourtant désigne bien un réel, et ceci n'importe quel vrai mathématicien te le confirmera (en tout cas dans le cadre classique)
+TheMaxtimax Te fatigue pas, il est docteur en proba si je ne m'abuse et a une formation mathématique de niveau universitaire (dans une institution réputée, qui plus est). Je suis d'accord avec toi et lui probablement aussi, il veut juste le buzz que le titre et le ton de sa vidéo peuvent offrir. C'est affligeant.
Bah en même temps ils dit : "C'est pas un nombre mais un calcul" mais aussi : "un calcul qui mène à un nombre irrationnel" ... Alors, si on a à traiter avec un nombre qu'on ne peut pas écrire, mais qu'on a pas le droit de se satisfaire de sa description on fait quoi ? En gros y'a pas droit aux irrationnels... Bizarre pour un docteur en proba... C'est vachement irrationnel la proba non ? (allez j'm'enflamme ptdr) J'comprends qu'il veuille penser qu'une description de nombre soit insuffisante pour résoudre une équation. Mais pour le trouver cohérent avec ça, je trouve très bizarre qu'il décide de présenter l'hypothèse de Riemann comme quelque chose de "pas si débile" ... (vidéo que j'ai kiffé d'ailleurs) Et puis du coup, il doit vomir i et e et pi ... c'est chaud ! xD Si un irrationnel pose problème à ce point là, je me dit que 0 devrait poser autant problème. Parce que c'est un nombre qui décrit un problème philosophique finalement non ? xD Han j'raconte n'importe quoi, allez j'm'arrache lol
Si j'ai bien compris ton propos, je suis d'accord avec toi parce que si j'ai bien compris sa logique dire que sqrt(2) n'est pas un nombre mais un calcul reviens a dire que Pi n'est pas un nombre non plus etc. Enfin que les réels non décimaux ne sont pas des nombres donc que les réels sont les décimaux.
+TheDetsuky Sur le fond, malgré mes critiques, je considère que son propos peut avoir du sens. La construction rigoureuse des réels n'est pas une chose triviale (voir "Coupure de Dedekind" sur internet). Les réels peuvent être définis, un peu artificiellement, "par complétion des rationnels", c'est-à-dire en ajoutant tous aux rationnels des nombres définis comme suite de Cauchy de nombres rationnels. Tout cela demande quelques connaissances concernant la notion de convergence et de limite au sens rigoureux.
à mon humble avis, votre reflexion finale sur le fait que racine de 2 n'est pas un nombre mais un calcul non-résolu est faux. En effet, un nombre peut être représenté de plusieurs manières (décimale, fraction, racine, log...). Prétendre que la représentation décimale est l'unique représentation valable et que les autres ne sont que des calculs non-résolu me semble tenir de la confusion entre le nombre et ses représentations. Merci pour vos vidéos, elles sont vraiment interessantes et peuvent être un excellent outil pédagogique!
Je suis d'accord. En fait, avant de résoudre une équation il faut se mettre d'accord sur la façon dont on veut donner la solution. Il faut donc s'autoriser des méthodes d'écriture mais on ne peut pas tout s'autoriser non plus. Ici je pars du principe que une solution doit être donné sous sa forme décimale, mais on se rend bien compte en conclusion que cette méthode est très vite limitée et qu'il faut élargir nos représentations du nombre. En définitive dire que racine(2) est un nombre n'est ni juste ni faux c'est une question de choix selon le contexte.
C'est exact, mais l'équation x+1=0 n'a pas de solution non plus puisque -1 est représentatif de ce qu'on obtient quand on retire 1 de 0. 3x=1 n'a pas de solution non plus, puisque 1/3 est 1 divisé par 3. X-123= 0 n'a pas de solution non plus puisque la solution est 123 c-à-d. 3+2x10+1x100 Il me semble qu'il y a une confusion entre le nombre et la REPRÉSENTATION du nombre...
Bonsoir, J'ai beaucoup de commentaires à faire! Tout d'abord j'aimerais attirer votre attention sur la définition du quotient de a par b avec b non nul, (définition que l'on donne en 6ème): Le quotient de a par b est le nombre qui, lorsqu'il est multiplié par b, donne a. Ce qui signifie que l'on a défini le quotient de a par b en affirmant que les équations du type bx = a n'ont qu'une solution que l'on note a:b (ou a/b en écriture fractionnaire) Ce qui signifierait donc, si j'ai bien compris votre propos, que par exemple, on ne sait pas non plus "résoudre" les équation du type bx=a. D'ailleurs, lorsque vous dites que racine de 2 n'est pas un nombre mais un calcul inabouti, qu'en est-il dans votre esprit de 124/39 par exemple ? le fait que les chiffres après la virgules soient périodiques est une diversion à mon sens. Et pour faire dans le genre provocateur de votre topo, que signifie 7,35 sinon un calcul: 7*1+3*1/10+5*1/(10*10) !!? Enfin, si l'on s'autorise des pointillés, pourvu qu'il y ait une logique, alors on peut écrire très simplement racine de 2 à l'aide des fractions continues: racine de 2 = [1,2,2,2,2...] Dans la même veine, l'opposé d'un nombre a est défini (en 1ère année après le bac) comme solution de l'équation a + x = 0 (solution dont l'unicité découle de l'unicité postulée de zéro) Ce qui signifierait donc, toujours si j'ai compris votre propos, que par exemple on ne sait pas non plus "résoudre" les équations du type a + x = 0 Même topo avec l'inverse d'un nombre non nul a (défini en 4ème) et hop on ne sait pas "résoudre" les équations du type ax = 1! Finalement, qu'entendez-vous exactement par: - résoudre une équation? (sachant que la soustraction, la division et l'extraction de racine proviennent du postulat de l'existence de solutions de diverses équations) - ceci est un nombre? les complexes notamment... Pour en revenir à l'équation x²=2, certes, la définition de racine de 2 nous donne une solution mais pas la 2ème, ni le fait qu'il n'y en a que 2 ! c'est justement la résolution qui nous donne cela : x²=2 x²-2=0 (x-rac2)(x+rac2)=0 x-rac2=0 et/ou x+rac2=0 (un produit est nul ssi l'un des facteurs est nul) x=rac2 et/ou x=-rac2 les solutions sont rac2 et -rac2. La clef de la résolution des équations du 2e degré est la factorisation, peu importe les racines carrées, non? D'ailleurs, pour vous, l'équation du 1er degré: 3x + rac2 = 5 est-elle résoluble ou pas? Enfin dire que "c'est de la triche" de définir un nombre comme solution d'une équation parce qu'on pourrait le faire avec toutes les équations est spécieux puisque l'intérêt de racine de 2 est qu'il peut servir pour d'autres équations que x²=2 (dès que delta =2 ou = un carré parfait*2) tout comme les soustractions et les divisions ne servent pas que pour une équation. Voilà ce qui m'est venu en vrac, ça part un peu dans tous les sens... Bonne continuation.
Je suis totalement d'accord avec vos réflexions. Le but de cette vidéo était d'attirer l'attention sur le fait que selon les contexte, une écriture d'un nombre peut-être satisfaisante et d'autres non. Dans certains cas, on ne sera satisfait d'une solution que si on la donne dans son écriture décimale (qui peut elle aussi être considérée comme un calcul, comme vous le dîtes). Dans d'autres cas, on s'autorise davantage de liberté, mais jamais une liberté absolue (sans quoi tout devient trivial). Les fractions, les racines, les logarithmes, les fonctions trigonométriques, les nombres complexes, sont autant de niveaux où l'on peut se poser la question "qu'est-ce que je m'autorise ?" "est-ce que je peux faire mieux dans ma façon d'écrire ces nombres ?". Dans tous les cas, une fois cette réflexion sur l'écriture passée, on s'habitue à manier les nombres tels qu'on s'est autorisé à les écrire.
Mickaël Launay L'enfer est pavé de bonnes intentions... Vous voulez éclairer des élèves sur la distinction qu'il faut faire entre un nombre et les écritures d'un nombre mais vous obscurcissez considérablement la notion de résolution d'une équation. Car que retient-on surtout de votre vidéo? C'est qu'on ne peut pas résoudre x²=2 ! Or il n'en est rien, ou alors, en suivant votre raisonnement, je vous ai montré que rares seront les équations résolubles puisque il faudra se passer des équations du type a+x=0 et bx=a et finalement, il ne restera que les équations du type x=a !!! Une fois encore je vais devoir être long mais cela me semble nécessaire car tout est emmêlé à mon avis. 1) à moins d'avoir un caractère pour chaque nombre (ce qui n'est pas envisageable, d'où un gros problème pour les nombres transcendants mais ce n'est pas tout-à-fait le sujet) il faut bien que la plupart des nombres dont nous nous servons s'écrivent à l'aide d'autres nombres. C'est dans mon esprit ce que signifie le signe =. Prenons un exemple: 13+2 = 20-5 = 3*5 = 60/4 = rac225 = 1*1+5*10 = 15,0 = 15 signifie que 13+2 ; 18+2-5 ; 0,3*50 ; 60/4 ; rac225 ; 1*1+5*10 ; 15,00 et 15 sont différentes écritures d'un même nombre, en l'occurrence quinze. Il vient qu'un nombre possède une infinité d'écritures plus ou moins simples. 2) Pour ce qui est de la définition de racine de 2. - l'existence et l'unicité est assurée par l'existence et l'unicité de la longueur des diagonales d'un carré de côté 1. Cette définition est donc bien légitime. ce qui n'est pas le cas si l'on prend une équation au hasard car on ne sait pas si elle n'admet qu'une seule solution positive. - racine de 2 étant irrationnel (on trouve plusieurs démonstrations), il faut bien employer une notation si l'on veut l'écrire. - dire que rac2 est un calcul me semble impropre, c'est la volonté de donner une approximation décimale qui donnerait lieu à un calcul mais je dois reconnaître que le terme "calcul" me laisse perplexe tant il est vague. 3) D'après moi, on ne peut pas employer le signe = avec des pointillés si bien que par exemple - la manière la plus simple d'écrire le quotient de 1 par 3 est 1/3. 10/30 ou (8+2)/(2*15) sont valables mais plus compliquées. - Pour ce qui est de la racine carrée de 2, c'est rac2 qui est la plus simple. 2/rac2 ou rac72/6 par exemple sont valables mais plus compliquées. Toutefois, on peut trouver par exemple que 3rac2 est plus simple que rac18 ou le contraire, tandis que personne ne trouve rac81 plus simple que 9. Pour ce qui est de (1+rac5)/2, tout le monde s'accorde à dire que c'est la manière la plus simple même si, avec un peu de mauvaise foi, 0,5 + rac1,25 pourrait être envisagée. Bref la simplicité, c'est pas si simple que ça! 4) lorsque l'on demande de résoudre une équation, on ne demande pas de sortir les solutions d'un chapeau mais bien de déterminer l'ensemble des solutions. En d'autres termes, il s'agit de trouver une écriture des solutions, lorsqu'il y en a, en dé-mon-trant que ce sont bien les seules ou en démontrant qu'il n'y en a pas (comme par exemple dans l'équation x+2 = x ) 5) Pour ce qui est des équations du 2e degré , comme je l'ai déjà écrit dans mon premier commentaire : pour résoudre l'équation x²=2 la clef est la factorisation de x²-2 De même, pour résoudre x²=x+1 la clef est la factorisation de x²-x-1 Mais dans ces deux cas, on aura besoin de rac2 et rac5 En revanche si l'on prend x²=7x -12 la clef est toujours de factoriser x²-7x+12 mais les solutions sont entières (4 et 3). Racine carrée ou pas, le raisonnement est toujours le même: la fac-to-ri-sa-tion d'une expression nulle. (il y a aussi le cas sans solution réelle où il faut mettre en évidence un carré négatif) comme on sait factoriser toutes les expressions du 2e degré 5) Il y a néanmoins deux implicites lorsqu'on demande de résoudre une équation numérique: a) Sauf précision, on demande les solutions réelles (par exemple x=x+2 admet une solution dans Z/2Z ) et dans votre vidéo vous jouez sans le dire sur le fait que x²=2 n'a pas de solutions rationnelles. b) Sauf précision, on demande la manière la plus simple d'écrire les éventuelles solutions même s'il est bien difficile de définir la simplicité en toute objectivité et exhaustivité (voir plus haut). néanmoins dans les cas simples, il n'y a pas débat. Par exemple 15 est la plus simple des écritures du nombre quinze. 6) En revanche lorsque l'on demande uniquement de résoudre une équation on ne demande pas implicitement un développement décimal, même s'il est périodique bien au contraire! Là encore dans votre vidéo, vous semez plus de confusion que vous n'en résolvez puisque votre raisonnement sous-entend que 0,33333... serait un nombre tandis que 1/3 plutôt pas (un "calcul") alors que dans les deux cas il s'agit d'écriture de nombres sachant qu'en outre, 1/3 est infiniment moins dur à construire que 0,333333...! Ici vous confortez la malheureuse habitude des élèves à vénérer les résultats de calculatrices même lorsque ils sont approchés. ------------- Voilà, désolé d'en mettre des tartines, j'ai hésité à vous répondre d'ailleurs, d'autant que je ne suis pas certain d'être très clair à en écrire autant mais encore une fois tout me semble entremêlé dans cette affaire: définition, nombre, écriture d'un nombre, simplicité de l'écriture (pour ma réponse, c'est raté en tout cas!) calcul, résultat, solution, résolution, et j'en passe... J'ai regardé beaucoup de vos vidéos avec grand intérêt mais celle-ci me semble vraiment à reprendre tant il y a de contradictions, d'approximations : - On "ne sait pas résoudre" x²=x+1 mais "on trouve 2 solutions": par magie? - Vous dites à la fin "non! racine de 2 n'est pas un nombre, c'est un calcul", dans ce cas, il faudrait alors dire que la définition de la racine carrée de 2 que vous rappelez au début est fausse puisqu'elle affirme que c'est un nombre... - Vous avez écrit être totalement d'accord avec les réflexions de mon premier commentaire qui montraient pourtant qu'en suivant votre raisonnement aucune équation n'est résoluble à moins qu'elle soit triviale. - Vous avez écrit être totalement d'accord avec les réflexions de mon premier commentaire qui soulignait que la définition de la rac2 ne donne pas la 2e solution de l'équation ce qui sous-entend qu'il faut bien résoudre cette équation insoluble (!) pour trouver -rac2. - Vous avez écrit être totalement d'accord avec les réflexions de mon premier commentaire qui montraient pourtant comment on résout l'équation x²=2 que vous déclarez non résoluble. - vous dites que 1/3 est un "calcul" tandis que 0,3333... n'en serait pas un alors qu'il nécessite 1/10, 1/100, 1/1000... Je vous invite à bien réfléchir aux termes "calcul", "valeur" , "nombre" , "écriture d'un nombre" , "développement décimal" et "notation" et encore une fois à ce que vous entendez par "résoluble".
le double Bonjour, Deux points : Premièrement, comme je l'ai déjà dit, la notion de résolubilité d'une équation dépend des règles qu'on se fixe. Tout ce que vous dite, je le sais très bien ;) Dire que l'équation x^2=2 n'est pas résoluble est volontairement provocateur de ma part, et je suis parfaitement d'accord qu'il est tout à fait naturel et normal de s'autoriser les racines pour ce genre d'équation (de la même façon que l'on s'est autorisé auparavant à utiliser les fractions, puis les nombres écrits en écritures décimales). En bref, selon les règles que l'on s'autorise chaque équation sera résoluble ou ne le sera pas. Dire qu'une équation est résoluble ou ne l'est pas dans l'absolu n'a pas de sens. Mon intention dans cette vidéo était de faire réfléchir les gens à cette distinction (et visiblement c'est réussi à la vue des débats que cela suscite !) Deuxièmement, vous dites que cette vidéo risque d'embrouiller les élèves. Sur ce point, je pense que savoir résoudre une équation n'a absolument aucun intérêt pour la plupart des élèves. Le but de l'enseignement des mathématiques n'est (à mon avis) pas d'apprendre à résoudre des équations, mais d'apprendre à réfléchir. On trouve hélas énormément d'élèves qui savent résoudre des équations de façon mécanique en appliquant la méthode qu'on leur a apprise, mais qui ne comprennent pas ce qu'ils font et n'ont aucun regard critique sur les maths qu'ils pratiquent. Je vais encore être provocateur (:p), mais si je les embrouille, tant mieux ! Se rendre compte qu'on ne comprend pas bien quelque chose est la première étape pour commencer à réfléchir. Si les mathématiques souffrent d'une mauvaise image, c'est à mon avis à cause de cette question qui revient dans la bouche de tous les élèves : "à quoi ça sert ?". "À réfléchir" devrait être la réponse "Aiguise ton sens critique, ne prend pas tout ce qu'on te dit au pied de la lettre, cherche à comprendre toujours plus en détail, cherche la petite bête là où il semble ne pas y en avoir à première vue, en bref sois curieux, développe ton esprit scientifique". Si ces compétences sont développées, les objets sur lesquels on les a forgés (les équations ou autre) n'a pas beaucoup d'importance et 99% des gens n'ont d'ailleurs plus jamais à résoudre une équation après leurs études. Cette vidéo est un loup dans la bergerie, je pose la problématique de façon floue, imprécise, sans poser clairement les définitions des mots que j'utilise, d'accord. Mais tout ça, c'est pour inciter à une réflexion sur ce que signifie "résoudre une équation", signification qui d'habitude ne pose aucun débat alors que ce n'est pas du tout évident (si c'était évident, vos messages, comme les miens ne seraient pas si longs ! :D).
Mickaël Launay Je ne vais pas insister trop car visiblement, je n'arriverai pas à vous convaincre. Je n'ai pas dit que les élèves auraient conscience d'être embrouillés, bien au contraire je trouve que ça les conforte dans certains de leurs travers et c'est bien ça qui me gêne à commencer par le flou du vocabulaire employé et les nombreuses contradictions; flou et contradictions qui essaiment aussi dans les programmes scolaires et qui font que justement les élèves ne comprennent trop souvent pas ce qu'ils font (mais je n'arriverais sans doute pas non plus à convaincre leurs rédacteurs). Pour ce qui est de "à quoi ça sert les maths?" "comment faut-il enseigner les maths?" "les maths ne doivent jamais être mécaniques" " "le but de l'enseignement des maths est-il d'apprendre à résoudre des équations?" "les maths apprennent-elles à réfléchir, à être curieux?" le sujet est bien trop vaste (mais je pourrais dire que ça dépend!) et j'ai déjà assez tartiné comme ça je crois.
+Mickaël Launay (Micmaths) Si seulement j'avais eu un prof de maths comme vous dès le collège, je ne serais pas le nul en maths que je suis aujourd'hui. J'adore vos vidéos, franchement. Et j'adore votre mentalité.
Oui, un nombre est une abstraction à propos de laquelle on a quelques informations, et c'est parce qu'on finit par se familiariser avec cette abstraction que l'on peut travailler avec. On peut dire aussi que 2/3 est une abstraction, que -3 en est une aussi, de même que 1,4, et finalement, même si cela nous parait tellement "naturel", que 0,1, 2, 3 sont des abstractions. Sans oublier les nombres complexes et le reste. Je suis d'accord avec tout ce que vous dites, mais si on commence à considérer que racine de 2 n'est pas un nombre, alors 2 n'est pas un nombre non plus : c'est juste une abstraction numérique sur laquelle on a quelques infos qui nous permettent de l'utiliser dans des calculs. Mais alors plus rien n'est un nombre.
J'ai pas trouvé cette vidéo terrible. Déjà, l'équation est résoluble, il ne faut pas dire n'importe quoi : on sait calculer sans soucis racine de 2, comme beaucoup de nombre avec une infinité de décimale, mais on ne le fait pas parce que ça nous prendrait une éternité et qu'on a autre chose à faire... Du coup, non seulement on a autre chose à faire, mais du coup, on a pas de représentation parfaite du nombre. Or justement, la formule représentant le calcul de la racine de 2 par exemple, en est une. On a une nouvelle notation effectivement, comme pour pi ou e, car c'est un nombre qu'on ne peut représenter efficacement autrement. Et alors ? Cela me fait penser qu'en math, on manipule aussi l'infini, nouvelle notation tout ça, mais oh bon sang, on sait pas calculer l'infini !! ps: je viens de voir qu'on m'a devancée avec les mêmes exemple de pi et e dans les commentaire précédent... mais je maintiens que racine de 2, comme son nom l'indique pas non plus quand je l'écris en lettre, c'est aussi un nombre ! C'est juste que la représentation du nombre est la même que la représentation du calcul, pour des raisons pratiques. Et quand je lis que pi ou e, c'est pas pareil parce qu'il n'y aurait pas de représentation décimal possible (ce qui est faux, c'est juste que ça prendrait une éternité à calculer comme pour racine de 2, et qu'on a autre chose à faire)... si on peut admettre un nouveau symbole pour des nombres qu'on peut difficilement représenter en décimal, pourquoi pas pour racine de 2 ? Du coup, on a trouvé pratique d'écrire ça comme le calcul racine de deux, au point qu'on lui a même pas cherché un autre nom. Et alors, il y a un problème que la représentation du nombre se confonde avec celle d'un calcul, exceptionnellement ? Quoique pas si exceptionnellement quand j'y repense... plein de nombres ne sont représentés que par leur calcul souvent, pour des raisons pratique, parce que c'est la représentation parfaite du nombre, qu'on va pas réinventer une infinité de notation pour tout les nombres à décimales infinies, et parce qu'on va sûrement s'en resservir pour d'autre calcul comme dit dans la vidéo...
Bonjour, :) Alors plusieurs choses. Tout d'abord, je dis bien dans la vidéo que cette équation est résoluble par radicaux, mais le terme "par radicaux" est très important et a d'ailleurs une définition très précise en mathématiques. Ensuite, je suis *totalement d'accord* avec le fait que l'on peut confondre le calcul et son résultat, je le fais moi même tout les jours et je le dis dans la vidéo. ;) Seulement, faire cette assimilation, c'est déjà faire un raisonnement, ce n'est pas quelque chose d'immédiat. C'est un fait qu'il y a beaucoup d'élèves qui sont troublés, voire complètement perdus, au moment de résoudre ce genre d'équation parce qu'on ne leur explique pas que le calcul peut s'assimiler à son résultat. C'est quelque chose qui n'est pas si évident que ça quand on découvre ces choses et qu'on n'est pas matheux dans l'âme. Ce problème se pose d'ailleurs bien avant d'en arriver au racines. Si je dis 1+1=2, alors 1+1 est une opération et 2 est un nombre. Bien sûr très rapidement on peut confondre les deux, et c'est quelque chose d'extrêmement élémentaire, mais ce sont à la base deux objets qui relèvent d'une conception mentale différente. Pour ce qui est de pi et e, le fait qu'on leur donne des noms vient de ce qu'on ne sait pas les exprimer simplement dans notre système numérique. Je n'ai absolument pas dit qu'il n'avaient pas d'écriture décimale, j'ai dit qu'on ne pouvait pas écrire cette écriture décimale et donc définir ces nombre par cette écriture. La définition de ces nombres passe par leurs propriétés mathématiques avant de passer par leur valeur numérique. Je ne dis pas non plus que ces exemples sont complètement différents, mais simplement qu'il existe une nuance entre des nombres auxquels on donne des noms d'emblée car on ne sait pas les traiter autrement (e, pi et pleins d'autres), et des nombres comme racine de 2 que l'on note par un calcul que l'on ne sait pas réduire davantage.
Mickaël Launay J'ai édité mon précédent message en retirant le propos qui pouvait paraître aussi violent que ridicule, mais je ne sais toujours pas décrire autrement comment vous affirmez, à tort je trouve, que l'équation n'est pas résoluble ou que les profs et matheux seraient dans le faux en donnant ce qui est bien somme toute, des solutions, des nombres. Peut-être que vous avez rencontré plein de gens qui ont du mal à conceptualiser ça, la différence entre le calcul et le nombre hm... et puis de toute façon, c'est un sujet très intéressant ça, la confusion entre certains nombres et leur calcul (avec des règles précises que vous expliquez à la fin) alors votre vidéo est louable, mais nah, je trouve qu'il y a plusieurs points noirs dans celle-ci comme j'ai dit. Après je ne saurais pas bien expliquer, j'essaie. Cela étant, je tiens quand même à préciser, que votre chaîne est bien sympathique et que je me suis abonnée ; je salue votre travail ici pour rendre le monde meilleur en essayant de me rendre moins bête entre autres. Pour en revenir à la discussion, effectivement, vous ne dites pas qu'il n'est pas possible de représenter pi ou e en décimales. Mais vous le dites pour racine de deux, d'où ma confusion, car pour moi, il n'y a aucune différence dans la représentation "possible" en décimales de tout ces nombres (c'est juste qu'on en aurait pas fini). En fait, vous admettez qu'on ne peut pas écrire "simplement" pi et e en décimale, ce qui justifie une nouvelle notation... pourquoi ce raisonnement ne s'appliquerait plus soudainement pour racine de deux ou au nombre rationnel comme un tiers (qu'on écrit souvent sous forme de quotient pour avoir une représentation parfaite du nombre justement) ? Pourquoi affirmer que des choses sont fausses alors qu'elles ne le sont pas ? Pourquoi prétendre à notre prétendue incapacité à faire les calculs, ou que les profs et matheux ne savent plus de quoi ils parlent ? Pourquoi tout ça plutôt de se concentrer sur l'explication de l'origine de la confusion, la fusion même entre les représentations de certaines nombres et de leur calculs, leur éventuelle nécessité, et les règles qui font qu'on peut admettre ces notations dont vous parlez brièvement ? Vous avez peut-être voulu marquer le coup pour défaire une idée reçue, la trop grande confusion selon vous entre le nombre et un calcul, mais finalement, la moitié de la vidéo, vous êtes un peu à côté de la plaque sur le sujet (notez que c'est l'avis d'une plouc ni matheuse ni prof ^^). Ou alors peut-être est-ce juste moi qui aborde cette philo des maths d'un autre angle, hm...
Claire Farron Vous dites que l'équation x^2=2 est résolue quand on donne racine(2) et -racine(2). Mais dans ce cas là toutes les équations sont résolubles, non ? Prenons par exemple l'équation x^5+x+8=0, j'invente une nouvelle notation que j'appelle par exemple quintiracine(8) qui désigne précisément la plus grande solution de cette équation et voilà, j'affirme que j'ai résolu l'équation. Je trouve ça un peu trop facile, et on n'a vraiment pas envie de dire que cette équation est résoluble. D'ailleurs, si c'est ça, on peut faire la même chose avec toutes les équations. On n'a pas envie que le mot "résoluble" ai cette définition car dans ce cas là, ce mot serait vide de sens puisque toutes les équations seraient trivialement résolubles. Et effectivement, ce n'est pas ce sens qu'a ce mot en général. Résoudre une équation, ce n'est pas seulement dire qu'il existe des solution et leur donner un nom. Il faut se définir des règles, des choses qu'on s'autorise et s'y tenir. Dans cette vidéo, j'utilise le mot résoluble pour une équations dont les solutions peuvent être écrites (attention, encore une fois je ne dis pas que les autres nombres n'ont pas d'écriture, je dis juste que nous ne pouvons pas écrire ces solutions car leurs écritures sont infinies). La notion de résolubilité par radicaux est plus large, mais par exemple une équation comme x^5+x+8 n'est pas non plus résoluble par radicaux (c'est une conséquence d'une théorie qui s'appelle la théorie de Galois). Après il est vrai que le mot "résoluble" peut avoir plusieurs sens selon le contexte et ce qu'on veut faire. Si on prend une approche numérique, il peut simplement s'agir d'avoir un algorithme capable d'écrire les solutions avec une précision aussi fine que voulue. Avec cette démarche, on peut par exemple résoudre toutes les équations polynomiales (et en particulier x^2=2) sans même avoir à exprimer les solutions par une formule (par exemple la méthode de Newton permet de calculer la solution positive de x^2=2 sans même avoir à écrire que celle ci est égale à racine(2)). En algèbre au contraire on cherche les relations qui permettent de déduire les solutions à partir des paramètres donnés dans l'équation. Et pour les exprimer il faut se donner au départ les opérations qu'on s'autorise. Les résultats ne seront pas les mêmes selon ces choix de départ. Bien sûr, dans cette courte vidéo, je ne pose pas ces concepts rigoureusement, ce n'était pas mon but et je m'attendais à ce que cela provoque des réactions. Mais on peut faire de la théorie des équations et dire tout ceci de façon réellement précise et rigoureuse.
Avec vos explications, ça devient trop facile d'affirmer que 1+1 = 2 puisque finalement 2, c'est un truc qu'on a inventé pour désigner cette valeur. Euh, j'ai pas l'impression que ça nous mène bien loin comme réflexion... et oui, toutes les équations sont résolubles à priori, en tout cas, le fait est que celle présentée là, elle l'est avec ses deux solutions. On peut discuter de la mise en forme des solutions, mais elles sont bien là, et à priori aussi claires et précises que possible, les règles dont vous parlez, y aidant. Je ne vois pas la différence avec "2" , solution d'une autre équation ou opération. Je ne comprends pas le problème d'inventer une notation ou un nouveau nom en soi. Je veux dire, un jour on a bien inventé un dessin pour désigner le 2, et voilà c'est ce "2", qui désigne la valeur, le nombre. C'est ce qu'on a fait avec racine de 2, où pour des raisons pratiques, on a décidé qu'il était acceptable de confondre le nombre avec une opération précise, avec des règles que vous expliquez mieux que moi... mais sinon, je pourrais désigner la racine de deux par ce symbole € juste pour l'exemple. Et voilà, € en math signifierait racine de deux, et en toute lettre on appelerait ça "eudebarre". Pourquoi pas ? On l'a bien fait pour pi et e, pour lesquels je ne comprends toujours pas votre tolérance à leur égard (puisqu'en fait, le problème est toujours l'impossibilité de fait, de représenter des décimales infinies) et bien sûr, on l'a fait pour le nombre 2 (qui est en fait ...00000002,0000000000...). Je ne vois pas en quoi le dessin racine de deux ce serait moins clair que le dessin "2", "pi" ou "e", et voilà, l'écriture ne serait plus infinie. Vous me direz, oui mais 2 on visualise mieux qu'un nombre à décimales infinies, on imagine deux stylos ou quoi. D'accord, mais dans ce cas, il faudra m'expliquer en quoi un nombre à décimales infinies serait plus clair sous quelque représentation graphique que ce soit. Et c'est là toute la question il me semble. Et là, le truc, c'est juste que ça n'a strictement aucun intérêt d'inventer un nouveau symbole, ou de calculer les décimales, là où la graphie de l'opération racine de deux fait très bien l'affaire pour désigner "aussi" la valeur, le nombre, compte tenu de la précision maximum (côté irréductible de l'opération j'entends) et de la mission qu'on se donne quand on cherche à résoudre l'équation, qui font qu'on ne cherche pas des décimale mais des nombres précis, ce qu'on obtient effectivement avec l'opération qui va servir du coup de nouveau symbole. Non ? Et puis sinon, comme j'ai dit, ce serait un coup où on va se retrouver avec une infinité de nouveaux symboles. Vous imaginez si on devez représenter tout les nombres possibles par un unique symbole et un nouveau nom ? Non parce que sinon, même un bête nombre comme 10, et tout les nombres écrit en décimales (sauf les 10 chiffres) ne sont pas une valeur mais une opération, puisque 10 par exemple, ce n'est qu'une représentation simplifiée de 1*dix^1+0*dix^0, vous voyez ? (j'ai écris dix en toute lettre puisqu'on a pas vraiment de symbole pour ce nombre du coup). C'est d'autant plus évident si vous lisez un grand nombre comme 952 815 156, ou encore en lettre : mille neuf cent vingt neuf (1000 + 9*100 + 20 + 9), avouez que vous schématisez un peu l’opération dans votre tête pour vous représenter le nombre. Ça fait un peu deux signifiés pour un signifiant certes, mais je ne vois pas le soucis. Est-ce vraiment un problème ou même inacceptable, de confondre les deux pour des raisons pratiques et avec des règles rigoureuses* ? Cela ne me semble certainement pas faux, d'autant plus avec les règles qu'on se donne. (*rigoureuses sauf à l'écris où c'est mathématiquement pas du tout rigoureux si ça le serait linguistiquement lol). Du coup, ce sont ces règles qui me semblent être le vrai sujet, à côté duquel on passe un peu alors que ça pourrait peut-être clarifier les choses justement... en attendant de voir ce qu'elles en disent de tout ça, je trouve que vous avez de drôle de considérations... comment dire, en partant dans des concepts lointains, il semble que vous avez oublié ou que vous refusez, que l'équation que vous présentez soit trivialement résoluble... et je ne vois vraiment pas en quoi ça ne l'est pas... je ne vois pas de différent entre donner les plus ou moins racines de 2 comme solution de l'équation x²=2, et donner le nombre 2 après avoir calculé 1+1. Après, pour les algèbres, et les théories des équations, je sais pas, je suis limitée n'étant pas matheuse... j'ai des vagues souvenirs de cours d'algèbres donc je comprends que vaguement ce que vous dites... Mais j'ai pas l'impression qu'on ait besoins d'aller aussi loin pour les bases du sujet à propos de la représentation qu'on a des nombres. Enfin, faut voir, je sais pas trop j'avoue.
Mickaël Launay Je ne suis pas d'accord avec votre histoire de quintiracine, parce qu'on ne peut pas la comparer à la racine je trouve. Parce que même si je comprends l'idée que racine de deux désigne le nombre dont la carré vaut deux, ce n'est pas quelque chose qui a été inventé juste dans le but de pouvoir résoudre cette équation contrairement à votre quintiracine. La racine elle on peut la calculer (ou du moins s'en approcher) grâce un calcul connu (certes infini mais connu) alors que la quintiracine elle ne peut pas faire ça. Donc la racine à été créer à la base comme la nombre dont le carré vaut deux mais pas spécialement pour résoudre les équations du second degré, c'est pour ça que je pense qu'on ne peut pas comparer les deux et que les solutions racine(2) et -racine(2) sont légitimes à mes yeux.
Donc les nombres irrationnels sont un problèmes ? Eh bah... Je rappelle quand même si on prend la droite des réels, et que l'on pointe n'importe où au hasard, la probabilité de tomber sur autre chose qu'un irrationnel est nulle. Donc... Fin c'est ... Tu ne vas pas non plus loin en science si t'exclue les rationnels...
D'autant que e⁷ par exemple n'est pas un calcul. C'est un nombre. π = circonférence/diamètre, et pourtant c'est un nombre. √2 est un nombre. √ est un calcul quand ce qu'il y a à l'intérieur est un carré parfait uniquement. Fin bref les contradictions que l'on pourrait amener à chaque argument sont énormes...
Selon moi la barrière entre fonction et nombre est arbitraire. Toute fonction vaut son résultat et est donc un nombre au même titre qu'un entier. Par exemple, si y = f(x), y et f(x) sont deux représentations différentes du même nombre. Dire qu'un nombre n'en n'est pas un parce qu'il n'est pas décimal, c'est déjà être biaisé par notre base de numération.
Ce n'est qu'une question de base de notation. Le fait qu'on a inventé un symbole exprès pour 1 et pas pour √2 ça veut pas dire que √2 n'est pas un nombre. Si on n'avait pas inventé un symbole pour le nombre 1 mais on avait inventé un symbole pour le nombre √2 et on était obligé d'écrire √2/√2 pour dire 1 il aurait dit que x=√2/√2 n'a pas de solution ?
Vous mélangez « Calcul » et « Mathématiques » . Dire que : une solution est « racine de 2 » ne veut pas dire que l’on va calculer « racine de deux » , cela veut tout simplement dire que l’on connaît la solution, on l’a identifiée, c’est tout. Racine de deux , c’est 1,4142135... et c’est largement suffisant pour les applications courantes.
Je ne suis pas d'accord sur le fait que racine carré de 2 n'est pas un nombre : je peux le construire à la règle et au compas via la longueur de l'hypoténuse d'un triangle isocèle rectangle dont les 2 autres côtés ont une longueur de 1.
Ok, mais comme tu le dis toi-même tu le construis , tu ne le calcule pas. Tu n'est pas capable de donner la longueur de l’hypoténuse avec une précision ABSOLUE. Certes et je dirais même heureusement tu pourras en donner la longueur avec une précision largement suffisante Mais dans l’absolue ce sera faux.
Tu as mis 1/3 = 0,3333. Alors que ça devrait être environ, pas égal. Dans ces cas-là 1/3 aussi ce n'est pas résoluble, puisque l'on ne pourra jamais écrire tous les chiffres après la virgule. Même si ce sont les mêmes chiffres qui se répètent, et que par conséquent on décide de les abréger, les "3" après la virgule restent une infinité... Non?
Hé les gens ! Résoluble est un vrai mot, mais résolvable n'existe pas ! Le correcteur orthographique est d'accord avec moi d'ailleurs, il met des vaguelettes rouges sous résolvable et pas sous résoluble.
Je pense que beaucoup de gens ne comprennent pas la vidéo ! Il ne dit pas que les nombres irrationnels ne sont pas des nombres mais que c'est impossible de les représenter avec la notation décimale. On est donc obligé d'inventer des notations pour les représenter: soit des lettres grecs pour pi ou phi soit en écrivant le calcul qui permet de les obtenir comme racine de 2 ou un tiers. Je trouve que tes vidéos sont supers intéressantes en tout cas elle change complètement la vision qu'on peut avoir des maths continue ! ;)
@Sam Edard. Je pense que vous n'avez pas bien écouté. Il énonce beaucoup de contre-vérités. Premièrement, sa première phrase et le titre : « L'équation x^2 n'est pas résoluble » sont faux. Vous connaissez la solution qui est un ensemble de deux nombres irrationnels (le négatif et le positif). À 4:20 « ces calculs-là, on ne sait pas les faire » est faux. On sait les faire. Il existe une méthode, mais on ne peut pas les terminer en pratique car le nombre de chiffres est infini dans une séquence apériodique. Qu'il dise qu'on ne puisse pas les terminer car ils sont infinis serait honnête, mais pas qu'on ne sait pas les faire. À 6:55 « racine de 2 c'est pas un nombre, racine de 2 c'est un calcul » est faux. Il donne d'ailleurs la vrai définition à 0:48 « RACINE DE 2 C'EST UN NOMBRE dont le carré vaut 2 ». Et oui, par définition, la racine carrée d'un nombre x est le nombre positif qui multiplié par lui-même donne x. Un calcul est nécessaire pour obtenir la valeur du nombre, mais il s'agit bien d'un nombre. Donc, il est malhonnête et ment sciemment pour faire une vidéo à sensation. C'est moche de la part d'un scientifique.
@@michelpitermann5335 je pense que mentir et être malhonnête étaient loin d'être ses intensions. Certes, il a pu faire quelques maladresses, du reste, il est vrai que racine de 2 n'est pas un nombre. On peut très bien écrire √2 = 1,414........ Ainsi √2 est représentatif du nombre mais n'en est pas un à part entière. Cependant Mickaël Launay est un homme dévoué pour les mathématiques et leurs transmissions à ceux qui en sont étrangers, il est loin d'être un charlatan qui fait des vidéos pour le "buzz".
Je ne suis pas du tout d'accord cette équation a en effet posé un jour problème aux Grecs, mais depuis l'ensemble des réels admet sqrt(2) comme un nombre!!!! Tout dépend de l'ensemble de nombre que l'on utilise. Si on suit ta logique 2/3 n'est pas un nombre mais aussi un calcul (division de 2 par 3). D'ailleurs on utilise souvent le nombre sqrt(2) pour illustrer l'ensemble des réels. Ta vidéo est aussi absurde que d'essayer de résoudre x²=-1 dans les Réels ÉVIDEmMENT qu'il n'y a pas de solution si on n'est pas dans l'ensemble approprié ici pour x²=-1 il y a une solution mais dans les complexes (x=i) le titre de ta vidéo devrait être "L'Équation x²=2 n'a pas de solution dans N (ou Z ou D ou Q)" cordialement :*
@@Laimaa45 ça ne répond pas à la question . Ton dernier euro une fois coupé ce n'est plus de la monnaie mais de la ferraille . ET tes trois morceaux ne font pas le même poids .
@jean dabid Bouvier bon c'est un peu compliqué de discuter de ça sur RU-vid mais je pense avoir raison (tu peux vérifier sur la calculette). (^ -> puissance pour info)
Je trouve ça puéril comme "preuve". C'est comme il y a 1000 ans quand on pouvait présendre que l'équation x = 5 - 6 n'a pas de solution car les nombres négatifs ne peuvent pas être réels. En effet, comment peut-on s'assoir sur moins une chaise? Et plus tard quand les racines paires de négatifs furent appelées "imaginaires" parce que correspondant à rien de réel. Pourtant, en tant que physicien, je me sers tous les jours de nombres négatifs et de nombres imaginaires (et complexes) qui nous permettent de comprendre des choses bien réelles. Des choses observables en tout cas. Ce "raisonnement"(?) me rappelle la "preuve" qu'apportait Aristote que les nombres irrationnels ne peuvent pas exister. En effet il "raisonnait" qu'il y a un nombre infini de nombres commensurables (qu'on appelle aujourd'hui "fractionnaires" ou "rationnels"). Or il ne peut exister aucune quantité plus grande que l'infini. Donc, il ne peut y avoir plus de nombre qu'il y a de commensurables. CQFD. Ce même Aristote ne se rendait pas compte qu'il se contredisait lui-même. En effet, il y a une infinité d'entiers. Or il ne peut exister blablabla... Donc il ne peut y avoir de fractions. Donc les fractions (comme 1/2) ne peuvent pas exister. CQFD. Le fait qu'un nombre ne puisse être exprimé comme rationnel dans une base donnée (ici la base 10) ne prouve aucunement qu'il ne peut pas être la solution d'une équation! Ça ne prouve même pas qu'il ne puisse pas être rationnel dans une autre base! L'utilisation de nombres tels que pi (les cycles) et e (les logarithmes) s'est avérée extrêmement fructueuse en mathématiques autant qu'un physique, chimie etc. Donc, pas de pseudo-paradoxe (paradoxe apparent) s'il vous plaît!
Selon votre logique, 1/3 + 2/3 n'est pas égale à 3/3 soit 1, car ce sont des nombres irrationnels..? Un nombre irrationnel peut être solution d'une équation si il est mis sous une forme rationnelle ( fraction, racine carré etc ..). Je suis d'habitude satisfait de vos explications, mais ici ce n'est pas le cas.
eu debut du monde, il y avait les entiers naturels (N), vinrent ensuite les entiers relatifs (Z), puis les rationnels ou fractions (Q). Pendant longtemps, on cru que l'on avait découverts tout les nombres possible. Puis vint un certain Pythagore ... bien que les Pythagoriciens n’acceptaient pas de considérer la racine carrée de 2 comme un nombre, personne ne pouvait nier que c’était la diagonale d’un carré de côté 1 !!! Comme disait mon prof de math de l'époque, Q a plein de trou :) :) ainsi les irrationnels furent découverts afin de combler les trous de Q :)
Ce que tu veux dire c’est que l’équation x^2=2 n’est pas résoluble dans l’ensemble Q. Mais on montre qu’elle est bien résoluble dans R (en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires). Après avoir prouvé l’existence de cette solution dans R, on définit racine de 2 comme étant la solution positive de cette équation. Je pense que tu devrais supprimer cette vidéo de RU-vid. Tu risques d’induire des élèves en erreur ; surtout que l’ensemble R n’est introduit rigoureusement que bien après le bac (avec la notion de complétude).
Yo ! Bonjour à toi ! Je suis passionné de maths et j'adore ces "petites choses" qui sont juste... fascinantes. C'est toujours formidable les gens qui permettent la découverte de ce genre d'anecdote qui sont pourtant fondamentales dans les maths "pures" (un p'tit tour sur les 23 problèmes d'Hilbert pour ceux qui trouvent les maths inutiles, débiles ou qui traitent les matheux de con ;) ). PEACE (et continue, j'adore :D )
Non, e(ln(2)/2) est un calcul qui n'est pas fini pas un nombre puisque c'est un calcul non fini de sqrt(2). En sachant que a*ln(x)=ln(x^a) on a : e(ln(2)/2)=e(1/2*ln(2))=e(ln(2^1/2))=e(ln(sqrt(2))=sqrt(2). Bien tenté :)
Je ne suis pas d'accord... vous confondez nombre et quantité. Un nombre est un objet mathématique qui se définit par les opérations que l'on peut faire dessus. Avec cette définition abstraite, qui est la véritable définition d'un nombre en mathématique, vos explications sont inutiles ...
9 лет назад
Qu'est-ce que quoi. Tu es en train de dire que les nombre irrationnels n'existent pas. Peu m'importe ton niveau d'étude, pour moi ça reste un ramassis de conneries.
9 лет назад
Mitch Goodfellow J'en ai même trois des sœurs si tu veux savoir... Sinon ça te prend souvent de mélanger allemand et anglais pour parler à un francophone ? Heureusement que j'ai encore mes notions de lycée, j'aurais eu honte de devoir utiliser un site de traduction.
J ai plutôt compris qu il dit que sqrt2 n est pas un nombre c est une opération. En gros tu répond à la question x*x =2 alors x c est le nombre dont le carré vaut 2 C est comme répondre 1+1 vaut le double de 1 Ce n est pas suffisant C est comme admettre que ln(5) est un nombre. Non c est une opération Pour les fractions c est différents car cela devient une notation étant donné que l'on connait ce nombre ex 1/3=0.3333333333...
+1 pour le but en soi. en électronique on utilise des nombres complexes, avec i, et qui donne des résultats on ne peut plus réels. les filtres audio, 1er, 2e et 3e ordre. "sympa" comme calculs ^^ surtout au bac ...
J’essaie à chaque fois de comprendre s’il fait de l’humour ou si c’est juste de la malhonnêteté à base de revanche à prendre sur les maths... C’est quand même beaucoup de branlette intellectuelle pour rien, c’est impressionnant de vacuité, ça me donne la nausée.
+jarodom C'est un nombre, le problème c'est qu'on ne connaît pas parfaitement sa valeur. Quand on dit que la solution c'est sqrt2, la seule chose que t'as dis c'est que le nombre dont le carré est égal à 2 résoud l'équation dont le carré est égal à 2. En claire, on aura jamais une solution sans utiliser un outil spécialement conçu pour résoudre cette équation.
Je trouve vos explication très limites. Je ne suis pas mathématiciens, mais il suffit de dire que l'équation x^2=2 n'a pas de solution dans N, Z, D et Q, et deux solutions dans les autres ensembles. Dire que la racine carrée de 2 n'est pas un nombre, c'est faux puisqu'il est officiellement définit comme un nombre réel. Il suffit de faire quelques années d'études en mathématique pour se rendre compte que l'on utilise très régulièrement des fonctions pour exprimer des solutions à tout plein d'équations.
Est-ce que tu insinues que pi, e, où le nombre d'or, en tant qu'irrationnels dont on ne peut écrire toutes les décimales, ne sont pas des nombres ? Si oui, il te faut trouver un nouveau nom pour le nombre d'or, qui n'en est pas réellement un d'après ta définition. Personnellement, je dois avouer, comme beaucoup à en voir les commentaires, être en désaccord avec ta notion de nombre (qui exclu une très grande partie des éléments de R). Je crois comprendre ce que tu essaies de dire en signalant que le calcul n'est pas terminé lorsque tu écris racine(2), puisqu'il faudrait théoriquement réaliser l'opération racine. Mais dans ce cas précis (et celui de 1+ racine(5) / 2 aussi), racine(2) est la façon la plus simple de designer cet élément de R, qui, dans le monde des mathématiques s'appelle un nombre. On désigne l'élément racine(2), on ne demande en aucun cas au lecteur de continuer les calculs. La solution d'exprime sous la forme de radicaux : "c'est-à-dire d'expression n'utilisant que les coefficients, la valeur 1, les quatre opérations et l'extraction des racines n-ièmes" (Source : Wikipedia), mais la solution existe, et donc l'équation est résoluble.
loupiotable Oui, mais si maintenant des gens calés en maths interviennent aussi pour faire des commentaires et rétablir des vérités, où va-t-on ? En plaçant le transcendant au dessus de l'irrationnel, ça augmente le mystère et la mystique autour de ces nombres.
"on ne demande en aucun cas au lecteur de continuer les calculs" Tu viens d'admettre ne fait que c'est insoluble... :-) Pour être précis, tu as basiquement raison, il faudrait dire "physiquement impossible à résoudre", car en mathémathiques on admet cette notation comme la solution.
Il est effectivement impossible de donner la valeur de racine de 2 en notation décimale. Mais si on aborde la notation des fractions continues alors la valeur devient [1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,...]
