Perché i²=-1? Una spiegazione dei numeri complessi per chi non li ha mai digeriti davvero 

Hai già provato ad applicare il prodotto fra numeri complessi come viene descritto nel video? Ad esempio: • qualsiasi quantità (reale o complessa) moltiplicata per 1 rimane invariata perché 1 è il "versore" dei reali e il suo angolo con l'asse dei reali è zero; • il prodotto fra due numeri reali negativi dà come risultato un numero reale positivo perché l'angolo rispetto all'asse reale di un numero negativo è 180° e 180°+180°=360° e si fa tutto il giro e si torna sull'asse reale positivo. Ti vengono in mente altri esempi?

io ti ammiro, quanta matematica avrai studiato anche fuori dalla fisica per fare questi video? chiaramente sono cose banali, ma sentirti parlare di chiusura algebrica mi ha commosso.

Grazie mille. Questa è la migliore spiegazione sui numeri complessi che abbia mai sentito.

Grazie, è la prima volta che capisco qualcosa sui numeri complessi che, per me, erano solo definizioni. Video che condividerò perché merita. Ciao, ti seguo con grande interesse

Ottimo video! Spiegato con questo approccio l' argomento è decisamente più comprensibile rispetto alla classica introduzione dell' unità immaginaria "come atto di fede" 😅

Spiegazione finalmente comprensibile in profondità perché vista per i suoi effetti da vero fisico! Top

Ciao, è tanto che ti ascolto e mi piace il tuo modo di comunicare la fisica. Perché non parli un po' dell' opera di Damiano Anselmi? A me da profano sembra un approccio promettente...

Like meritato! Quanto avrei voluto una spiegazione così al triennio di elettrotecnica, dove le somme e differenze delle correnti e tensioni in alternata si fanno sfruttando i vettori e quindi i numeri complessi. Purtroppo a metà anni duemila non c'era ancora youtube (o forse era proprio agli albori). Gli studenti di oggi non sanno quanto sono facilitati nella comprensione di argomenti come questi accedendo a contenuti come il tuo. Chapeau! Ps. All'epoca pensavo che chi avesse ideato questa rappresentazione vettoriale per facilitare i calcoli di forme d'onda sinusoidali fosse stato un genio!

Bel video! A me piace "presentare" i numeri complessi in quest'altro modo, ditemi che ve ne pare: - Non esiste(va) nessun numero che, elevato alla seconda, facesse -1; o, in altri termini, non esiste(va) la radice di -1. - Allora si è pensato: visto che questo numero non esiste, perché non "IMMAGINARE" un nuovo tipo di numero, tale che il suo quadrato faccia proprio -1? In altre parole si presenta l'unità immaginaria "i" come un "nuovo tipo" di numero introdotto appositamente per risolvere un problema che era impossibile da risolvere con i "soli" numeri reali. - Però, quando in matematica si introduce un nuovo concetto, esso deve risultare coerente con tutto il resto della matematica, in particolare con le operazioni e con gli "altri" numeri già esistenti (i reali). È un po' come introdurre una nuova regola in un gioco che però non deve confliggere con le altre regole preesistenti del gioco stesso, in modo da evitare contraddizioni e poter continuare a "giocare" sia con i "vecchi" numeri reali che con questa nuova unità immaginaria. - E allora si comincia a vedere cosa succede con le 4 operazioni, trattando questa unità immaginaria, che consiste in una lettera, come un comune monomio. Per esempio, cosa succede se facciamo i + i? Si ottiene 2i, che chiamiamo "numero immaginario". E con altri esempi simili abbiamo sistemato la somma algebrica fra numeri immaginari. - E cosa succede se facciamo la somma algebrica fra un numero immaginario e un numero reale? Per esempio, 3 + 2i è una somma algebrica in cui possiamo trattare il 2i come un monomio che, essendo chiaramente non simile al monomio 3, rende questa somma algebrica non riducibile. Quindi ci dobbiamo tenere quella somma di monomi così com'è: un monomio reale e l'altro immaginario. Ecco, questa coppia di monomi la chiamiamo "Numero Complesso" e così abbiamo introdotto la rappresentazione algebrica di un numero complesso. Poi possiamo "giocare" a fare le 4 operazioni e la potenza con i numeri complessi, trattando i numeri complessi come dei semplici binomi, ricordando però che i²=-1 e scoprendo poi che i³=-i, che i^4 = 1 e così via per le altre potenze. - Dopodiché su può dire: prendiamo un numero complesso e andiamo a scoprire che esso può essere rappresentato, oltre che in questa forma algebrica, anche prendendo la parte reale e il coefficiente della parte immaginaria e usandoli come coppia di coordinate per rappresentare un punto in un piano cartesiano. Così scopriamo che un numero complesso corrisponde anche a un vettore, e poi andiamo a interpretare il calcolo con i numeri complessi anche nel piano cartesiano, introducendo a questo punto anche il modulo e l'angolo rispetto all'asse reale, e anche la rotazione che si ottiene dalla moltiplicazione come hai descritto nel video. - E poi si può passare alla rappresentazione trigonometrica, in cui in pratica "ricicliamo" il modulo e l'angolo già visti nella forma cartesiana per arrivare alla forma trigonometrica z = r[cos(α) + i·sin(α)], e poi ci rimettiamo a "giocare" con le operazioni fra numeri complessi anche in quest'altra rappresentazione. Che te ne pare? A me il fatto di partire dall'idea «Ragazzi, se la radice i -1 non esiste, allora immaginiamola» mi sembra un modo molto "divertente" (anche se non rigoroso) di introdurre questo argomento. Invece quel partire direttamente dalla "coppia numerica (a, b)" come fanno tutti i testi mi sembra davvero il modo peggiore di far impattare gli studenti con questo argomento.

Certamente l’approccio visivo geometrico e la modalità più efficace per le menti meno capaci di strazione. Se poi si aggiungono spiegazioni sulle possibilità di applicazione a situazioni reali, sarebbe anche più interessante. Come ammiro chi sa spiegare con tanta chiarezza.

Esprimere i numeri complessi come la sottoalgebra pari bidimensionale di Clifford. In anzitutto si parte da due vettori a1e1+a2e2+...+anen e si costruisce il prodotto in questo modo: ab=+a/\b Dove: è il prodotto interno Mentre /\ è il prodotto esterno Il prodotto geometrico è: Associativo Distributivo rispetto la somma Omogeneo e Commutativo con uno scalare. Cosa succede se facciamo dei prodotti con i versori di base Proviamo con i versori di base con se stesso ekek=+ek/\ek=1+0=1 Per il parallelismo e la normalità dei versori ekel=+ek/\el=0+ek/\el= 0-el/\ek Per l'anticommutativà del prodotto wedge e la perpendicolarità dei versori. Se sono paralleli ab=ba in quanto la parte anticommutativa è nulla Perpendicolari ab=-ba In quanto la parte commutativa è nulla Se definiamo i numeri complessi come la sottoalgebra peri di Clifford otteniamo a+e1e2b Che è isomorfo ad un vettore nello specifico è e1(ae1+be2) Poiché a,b sono scalari vale la commutatività inoltre vale l'associatività e la distributività dunque e1(ae1+be2)=ae1e1+be1e2 per le proprietà appena dimostrate abbiamo ae1e1+be1e2=(a)1+be1e2= =a+e1e2b CVD Dove e1e2=i unità immaginaria Ora dimostriamo che i²=-1 (e1e2)²=(e1e2)(e1e2) Per le proprietà appena dimostrate (e1e2)(e1e2)=-e1(e2e2)e1= =-e1(1)e1=-e1e1=-1 CVD Altro modo di dimostrarlo secondo un'altra definizione Da cui viene detto i non più immaginario.

Grazie per l'argomento trattato 😊❤ Da ex studente di matematica, corollo quanto detto. In primis, segnalo un refuso: il piano complesso è C², non C, poiché per «piano» si intende il prodotto cartesiano di qualcosa con sé stessa. Riguardo ai numeri complessi, il discorso è articolato. Intanto, dobbiamo partire dal presupposto che i numeri si "generano" per rispondere a determinati problemi algebrici, per esempio 2x + 1 = 0. Quando cu rendiamo conto che i naturali non permettono di rispondere al problema, pian piano si ampliano, cercando di conservare la coerenza. Questo approccio fu usato da Indiani e Greci, da Tartaglia e Cardano, fino al XIX secolo, con l'avvento dell'algebra moderna. Algebricamente, grazie a Kronecker e altri, sappiamo che possiamo costruire strutture algebriche partendo da altre, a patto di eseguire certe manovre. Partendo dai naturali, anche per via assiomatica, muniti di somma e prodotto, posso costruire gli interi (anello) e i razionali (campo dei quozienti). Posso costruire anelli di polinomi, l'anello degli interi gaussuani, e anche l'estensione complessa dei razionali, che risulta essere un campo algebricamente chiuso. La costruzione dei reali richiede un passaggio non algebrico ma trascendentale, portando alla completezza (continuità). Da lì, poi, posso eseguire nuovamente la costruzione algebrica e ottenerne la chiusura, ossia i complessi. Nel fare queste manovre, dobbiamo costruire nuove strutture al fine di ampliare quella precedente, definire operazioni e congruenze, passare alle strutture quoziente e verificare l'immersione effettiva tramite isomorfismi. Dunque, l'operazione della nuova struttura, che amplia la precedente, formalmente è la stessa ma si comporta alla stessa maniera se la restringiamo agli elementi della struttura immersa; pertanto, l'operazione nuova è un ampliamento di quella vecchia. «L'algebra non distingue fra cose isomorfe...» 😊

Questo video è bellissimo!...bravo bravo bravo!

Fantastico!. Credevo di avere le idee abbastanza chiare sull'argomento, ma si sono aperte nuove prospettive. Grazie, sei davvero in gamba. Credo che una cosa molto utile a chi è appassionato di numeri immaginari (ma che non li ha mai usati) sia qualche esempio pratico di utilizzo in situazioni concrete.

Ecco perché mi affascina un ingegnere trasforma la complessa e bella teoria in pratica mica roba da poco bellissima spiegazione 👍

Complimenti, chiarissimo e utile! Sarebbe carino adesso utilizzare lo stesso punto di partenza della coppia ordinata e della particolare legge di moltiplicazione per ricavare la forma esponenziale e infine quella trigonometrica. Così potremmo ricavare quello che serve nei calcoli, senza dover imparare a memoria formule astruse.

Complimenti, è migliorata molto la qualità dei video negli anni! Solo un suggerimento, che darei anche ad alcuni miei professori universitari, di essere meno monotono, nel senso di alterare il tono della voce portando enfasi su parti salienti. Si vede che in parte lo fai ma secondo me potresti accentuare questa caratteristica. Buona fortuna!

Sarebbe interessante un esempio reale di un fenomeno fisico spiegato attraverso l'utilizzo dei numeri complessi. Complimenti ottimo video.

Molto interessante grazie :)

bella spiegazione, grazie

Sei proprio bravo 👏

In effetti questa cosa della rotazione aiuta a dare senso al fatto che l'ente matematico dei numeri complessi sia qualcosa di peculiare (come hai detto, non un semplice spazio vettoriale) che, quindi, aiuta a risolvere delle equazioni di fisica. Domanda di curiosità: potrebbe esistere ed avere un senso un ente simile ai numeri complessi, ma con 3 o più dimensioni?

Non conoscevo questa dimostrazione, molto interessante 🎉

Spiegazione eccellente grazie mille

Dico solo una cosa....SEI UN GRANDE... complimenti per il video stupendo

Sei un genio! Finalmente ho capito 😊

infatti vista in questa prospettiva è meno complicato la compressione dei numeri complessi,cioè osservati da un punto di vista geometrico.video da salvare.grazie

Appena possibile può postare un video sulla teoria loop quantum gravity?

Potrebbe essere utile, in qualche modo, introdurre un versore anche per la parte reale di un numero immaginario?

Caro professore, non altri esempi, mi affascina il completamento della matematica con il numero complesso. Quello che mi sono azzardato chiamare: “invarianza entro simmetria interrotta dei numeri reali”. La risoluzione i^2=-1, va aldifuori dalla retta reale, ma la incorpora il piano. Ciò significa che la soluzione complessa non dipende dagli stessi dati, ma che tuttavia non possiamo dire che la soluzione non sia invariante rispetto la parte “immaginaria” in quanto quest’ultima compresa nella funzione reale del piano. -Cordiali saluti

Grazie👍😊

Ciao bel video, ma come fai a rappresentare su un piano due grandezze (a e b) che per formare un numero complesso si sommano, non rappresentano delle coordinate in uno spazio bidimensionale bo.... strano x me

Finalmente ho capito il motivo ❤

UNa domanda: ma studiando la parabola d'equazione Y=X2+1 se volessi studiarla graficamente nel piano di Gauss cosa otterrei? Avevo pensato a due parabole con concavità opposta che interseca non l'asse degli imagginari in i ed in -i

Sarebbe molto interessante un tuo video sui quaternioni Io non ho mai capito perché si possono utilizzare 3 unità immaginarie i, j e k quindi 4 ioni, oppure il doppio, oppure il quadruplo (Quaternamilianonagenisenions bellissimo numero) ma non solo due unità, solo cinque ecc O almeno io non ho mai trovato delle spiegazioni, neanche sul significato geometrico di i e j da soli

Anche nell'algebra geometrica si possono definire le rotazioni ma anche in più di due dimensioni

Interessante

c'è una cosa che non mi è chiara: hai detto che il prodotto di due numeri complessi è la somma degli angoli dei numeri prendo come esempio 1+i che equivale ad un angolo di 45° Se lo moltiplico per se stesso dovrei avere un angolo di 90° data la somma dei due angoli, però il risultato che ottengo sommando gli angoli e traslocando il punto iniziale è √2i, però se faccio il calcolo a mano invece è 2i, cosa sto sbagliando?

Ricordo che mi avevano introdotto la i, con il fatto che non esistesse una soluzione alla radice di numeri negativi come rad(-1) e che quindi quel numero avremmo dovuto chiamarlo i

Perché non attivi gli abbonamenti?

per definizione!

Da ragazzo mi aiutòmvisivamente chiamarli Numeri Laterali piuttosto che Immaginari

Musil tratta dei numeri immaginari nel romanzo "I turbamenti del giovane Törless"

Nell'algebra geometrica c'è anche l'isomorfismo con i quaternioni.

1:01 questo significato di prodotto come "potenza additiva" perde di senso già se non si lavora con i numeri interi. In Q continua a valere "a meno di rapporti", ma in maniera diretta smette di avere senso quella interpretazione intuitiva (e primitiva) di prodotto. In altre parole, nel campo reale, esattamente come succede nel video per i complessi con l'unità immaginaria i, la moltiplicazione pi*sqrt(3) non può essere intuita come sommare sqrt(3) volte pi (cioè come potenza additiva)! Nei reali il prodotto può essere interpretato piuttosto come una "dilatazione\contrazione" di un vettore sulla retta reale. Quindi questo aspetto dei complessi non è qualcosa di veramente nuovo o strano se ci si riflette in fondo in fondo.

Non è stato dato alcun significato intrinseco del significato del numeri complesso ed in particolare di i

L'idea di base dei video è molto bella, mi piace qualcuno che spieghi queste teorie fisiche. Ma purtroppo le tue spiegazioni non sono molto comprensibili per chi non ha già una base degli argomenti. Dovresti essere molto più esplicativo di così, soprattutto utilizzando esempi pratici che rendano le informazioni più fruibili

Un altro modo per vedere il significato che i²=-1 è quello di utilizzare l'algebra geometrica di Clifford

Ho sempre trovato misterioso il mondo dei numeri immaginari. Ad esempio, √-i quanto fa?

Ho capito perché l universo in espansione

In viso assomigli molto ad Einstein da giovane

Ho capito perché l universo sembra in espansione

Come ebbi a dire tempo fa è tutta un equivoco basato sulla parola "numero", dovuto al fatto che nel risolvere equazioni si cercassero soluzioni non risolvibili in R. Tuttavia, anche il più semplice problema di fisica, come le forze applicate su un corpo, richiedo per forza che vi sia la direzione e un verso, cambiando direzione e verso cambiano i risultati, quindi appare necessario usare i vettori. Un vettore a zero gradi di modulo uno lo chiamiamo +1, uno a 180 gradi -1, e uno a +90 gradi lo chiamiamo "i" ma un vettore a 90 gradi non è diverso da uno a zero gradi, però la terminologia usata per ragioni storiche li chiama reali, immaginari, ecc.. creando solo confusione...un pò come il qwerty della tastiera che non è certo la disposizione più efficiente ma che si è affermata per ragioni storiche. La parola "numero" andrebbe lasciata quando usiamo gli scalari, cioè quando indichiamo "quanto" di quell'unità, mentre per il resto andrebbero usati i vettori, ecco perchè il passaggio da N a Z non è in realtà così scontato, va bene se dobbiamo disegnare una funzione perchè allora cerchiamo i valori più semplici da calcolare ma sono oggetti diversi, in Z abbiamo un centro di simmetria, lo zero che in N non c'è.

Ma perché cazzo nessuno me l'ha mai spiegato così

Sei troppo cartesiano (nel senso di seguace) 😂😅- ovviamente sto scherzando -

Oggi pessimo audio. 😢