UNE ÉQUATION... FONCTIONNELLE 🤔🤔🤔 

Oui, dans la vidéo il donne la formule du logarithme. Sinon on aurait exp(0)=2exp(0) ce qui voudrait dire que exp(0)=0....

@@xXdarkangel67Xx logarithme sans doute mais ça peut aussi être n'importe quelle fonction linéaire

@@gowipe-grandcross Non si f est linéaire on a f(x+y)=f(x)+f(y) ce qui n'a rien à voir avec f(x*y)=f(x)+f(y) (je vous laisse constater cela en prenant f(x)=x, x=2 et y=3).

@@xXdarkangel67Xx ah oui, j'ai dis de la merde, j'ai effectivement confondu avec f(x+y)

@@xXdarkangel67Xx Oui si f(x) est définie en 0, mais bon de toute façon ce n'est pas la fonction exponentielle.

En faisant ça vous trouvez une solution particulière mais vous n'avez pas prouvé que c'est la seule. Il pourrait y avoir d'autres solutions qui ne sont pas des polynômes ou qui sont des polynômes de degré plus élevé. L'énoncé demande bien de rechercher TOUTES les solutions. Le raisonnement utilisé dans la vidéo ne fait aucune hypothèse sur la forme de la fonction f. C'est un raisonnement par équivalence. Donc on est certain à la fin que l'équation f(x) = x^2+5x+1 doit être vérifiée par toutes les solutions et que donc la fonction f définie par f(x) = x^2+5x+1 est la seule solution.

Ça c'est une solution particulière. Maintenant il vous reste soit à prouver que cette solution est unique soit à trouver les autres solutions. Là vous avez montré que si f est un polynôme de degré 2 (c'est la condition que vous ajoutez au départ) alors c'est forcément x^2+5x+1. Mais vous n'avez pas prouvé que f est obligatoirement un polynôme de degré 2.

Oui, la clé est dans " quel que soit x dans R" : on peut remplacer x par ce qu'on veut par exemple x en -x et le problème est réglé.

c ce que je pensais

parce que l’exponentielle, c’est exp (a+b) qui fait exp(a) * exp(b)

si c ln

Ça c'est UNE solution. Rechercher une solution avec la bonne tête c'est une première étape. Après il faut chercher s'il y en a d'autres. En général l'intérêt de faire ça c'est de découper le problème en deux sous-problèmes plus simples. Étape 1 : Faire des hypothèses sur la forme de la solution pour trouver une solution particulière h qui vérifie l'équation. Étape 2 : Constater que toute solution f peut s'écrire sous la forme f(x) = h(x) + g(x) où h est la solution particulière trouvée à l'étape 1. Et injecter ça dans l'énoncé pour en tirer une équation plus simple que doit vérifier g. Ici, ça donne 2g(x)+g(-x) = 0. Et il est généralement plus facile de résoudre l'équation simplifiée en g pour trouver toutes ses solutions. Ici c'est une équation assez simple qui peut se résoudre avec un raisonnement par équivalence qui fournit directement la solution et la preuve de son unicité.

Pour un élève de première c'est bien joué ! Félicitations. Néanmoins je me permet de te faire la même réponse que les autres commentaires : Si tu voulais être rigoureux, il te resterait à montrer que seule un polynôme de degré 2 fonctionne; et que ça ne peut donc pas être autre chose.

@@Kerlyos_ comment tu peux prouver ça stp ?

@@yanis1444 Franchement la meilleure façon de faire c'est.. de trouver f. Exactement comme le fait la vidéo. Un autre façon de faire à laquelle je pense maintenant serait de dire que la fonction à droite étant un polynôme, alors f est developable en série de Taylor avec un rayon de convergence infinie. Les dérivées en 0 s'annulant à l'ordre 3, la fonction f est donc nécessairement un polynôme de degré 2. Les dérivées en 0 donnent en plus les coefficients du polynôme recherché. En résumé : Soit on fait comme dans la vidéo est c'est accessible dès le lycée. Soit on fait comme ça et ça dépasse le cadre du lycée. Il existe sûrement encore d'autres façons de faire.

Oui évidemment cela est correct tu as simplement procédé par identification :) Après tu es parti du principe que toutes les solutions étaient des polynomes du second degré, ce qui est juste ici en l'occurence, mais il y aurait pu avoir d'autres solutions qui ne soient pas des polynomes du second degré.

N'est-ce pas « intuité » que la solution sera nécessairement un polynôme du second degré?

Ça c'est l'étape 1 du raisonnement général : trouver une solution particulière en fixant sa forme. Il reste ensuite à faire l'étape 2 : utiliser cette solution particulière pour trouver toutes les autres solutions ou prouver que cette solution est unique. Rien n'interdit dans l'énoncé d'avoir une solution qui ne soit pas un polynôme ou qui soit un polynôme de degré plus élevé. Dans le cas de cette vidéo, l'étape 2 c'est prouver que l'équation 2g(x)+g(-x) = 0 a pour unique solution g(x) = 0. Et au final cette résolution se fait à peu près de la même manière que ce qui a été présenté dans la vidéo. Donc dans ce cas très simple, on peut faire cette identification des coefficients au brouillon pour avoir un moyen de vérifier qu'on n'a pas fait une erreur de signe sur le chemin et qu'on retombe bien sur la bonne solution à la fin. Mais sur la copie définitive, il faut partir directement sur le raisonnement par équivalence pour avoir automatiquement la preuve que la solution trouvée est unique.

"me disant" Il est certain que si vous vous le dites, c'est vrai

Mais du coup la preuve dans ce cas-là est très loin d'être complète. Il reste à prouver que seul un polynôme de degré 2 fonctionne. (La consigne étant "Trouver toutes les fonctions telles que")

@@Kerlyos_ Je comprends qu'il faille le démontrer mais, en pratique, quelles pourraient être les autres possibilités ? Degré 3?

@@thierrymeyts Degré 3: degré 4 : degré 5 ; etc. Voir même une fonction non polynomiale. C'est pour cela que la démonstration faite dans la vidéo est complète. Elle permet de montrer que la solution est bien unique et que ça ne peut donc pas être tout ça. Alors que la "preuve" apportée par le commentaire ne le permet pas. Elle ne permet de ne trouver, à priori, qu'une seule solution.

Oui, il faut bien penser à faire ça si dans notre raisonnement il y a une étape où on ajoute des hypothèses qui ne sont pas dans l'énoncé de départ. Par exemple si on dit qu'on va chercher une fonction polynomiale de degré n ou une somme d'exponentielles ou une somme de fonctions trigonométriques. Mais ici aucune hypothèse n'a été faite. Tout le raisonnement est fait par équivalence en manipulant l'équation de l'énoncé sans aucune contrainte supplémentaire. Donc l'unicité est déjà prouvée parce que toute la démonstration qui a été faite ici prouve que 2f(x)+f(-x) = 3x^+5x+3 est équivalent à f(x) = x^2+5x+1.

En fait il n'y a pas besoin de faire cette recherche. Et il n'y a même pas besoin de faire la vérification que la fonction trouvée marche bien. Tout le raisonnement fait dans la vidéo, c'est de l'équivalence. Il ne fait que manipuler l'écriture de l'énoncé sans ajouter aucune hypothèse supplémentaire. Dire qu'une fonction vérifie 2f(x)+f(-x) = 3x^2+5x+3 c'est équivalent à dire que cette fonction vérifie f(x) = x^2+5x+1. La recherche de solutions supplémentaires, c'est quand à un moment dans le raisonnement on ajoute des hypothèses qui ne sont pas dans l'énoncé d'origine. Par exemple si on dit qu'on va chercher une fonction polynomiale de degré5 ou une exponentielle. Dans ce cas, comme on a ajouté des contraintes pour se focaliser sur une solution particulière, alors il faut ensuite aller chercher les autres solutions. Mais là ce n'est pas le cas.

Effectivement je me suis trompé

Oui, c'est le principe. Pour généraliser, il s'agissait de trouver les paramètres a, b et c d' une fonction polynomiale du 2nd degré f(y)=ay²+by+c, de l'utiliser dans le membre de gauche de l'équation pour y=x et y=-x, puis d'identifier terme à terme avec les coefficients du membre de droite, et ensuite de résoudre 3 équations 2a+a=3 2b-b=5 2c+c=3

Mais il faut justifier le choix d'une fonction polynôme. Alors qu'avec la méthode proposée, on trouve LA SOLUTION sans aucune hypothèse.

Si on suit le "raisonnement par automatisme" de Hans_prepa, on est pas sorti de l'auberge: " on doit avoir donc on doit travailler dans .... " "On considère une fonction polynomiale et de degré 2 donc.... " .... etc... Sans jamais se soucier de ce qui vient avant " donc...": on sait pas pourquoi mais c'est comme ça !!!

donc f(x)= x^2+5x+1

Oui, mais on suppose que lla/les solutions sont sous cette forme. Mais ça ne suffit pas à prouver qu'il n'y a pas d'autres possibilités 😉

Non, là, il y a la solution particulière uniquement. L'autre fonction solution est f : R => R, x-> 1. Pour avoir toutes les solutions à cette équation, il faut rajouter en plus toutes les solutions dites homogènes telles que 2f(x) + f(-x) = 0. A priori, cette ensemble de solution correspond à 0, donc, pas d'autre solution que les deux mentionnées.

@@brunosalque1031 Non. La fonction constante égale à 1 ne fonctionne pas. La preuve apportée dans la vidéo étant une suite d'équivalences, la solution est bien unique. De plus, l'ensemble des solutions de l'équation 2f(x)+f(-x)=0 n'est pas vide du tout. Il existe une infinité de fonctions qui vérifient cette équation. Mais dans tous les cas cela n'a pas d'importance.

@@Kerlyos_ comment se fait il que les solutions de l'équation homogènes sont infinie mais il existe qu'une seule solution au final ? En ajoutant une solution homogène a notre solution on devrait pas en obtenir une nouvelle ? Pourtant, on raisonne bien ici par implication, il ne devrait pas y en avoir d'autres

@@mattisborderies6132 Désolé c'était erreur de ma part; que j'ai corrigé dans un autre commentaire.

@@brunosalque1031 tu confonds cette équation avec une équation différentielle. C'est dû à d'automatisme!

Je trouve ça même plus efficace

Sauf qu'on a à priori aucune idée que f est du second degré. Qu'est-ce qui te prouve que la solution ne peut pas être un polynôme de degré 3 ? Ou 4 ? Ou plus ? Ou une fonction non polynomiale ?

@@Kerlyos_ personnellement je m'adapte à ce qui est présenté sur la chaîne qui traite essentiellement de sujets de lycéens. Je me base aussi sur la durée de la vidéo qui permet de se faire une idée du niveau d'exigence. On pourrait en effet exiger une démonstration pour prouver que f est du second degré mais on serait obligé d'utiliser des propriétés non enseignées à ce niveau là et ce serait impossible à caser dans les dix minutes de la vidéo. On pourrait par exemple utiliser une propriété qui dit que le degré de la somme de deux polynômes est égal ou inférieur au plus haut degré de ces polynômes. Tu me diras que c'est insuffisant car il faudrait démontrer la propriété et prouver également que f est un polynôme. Bref c'est sans fin si on ne tient pas compte du niveau du public visé.

@@martin.68 Dans la miniature de la vidéo il est clairement indiqué BAC+1. La solution exposée dans cette vidéo est complète et ne nécessite rien de plus. Ta "solution" à toi est incomplète et nécessite de nombreuses explications supplémentaires. En bac+1, que ce soit fac ou prépa, tu n'aurais pas tous les points. Mes questions étaient simplement là pour t'indiquer que ta "solution" semble plus simple en apparence mais est mathématiquement fausse (ou tout du moins incomplète). De plus, la propriété que tu mentionnes ne permet pas de conclure quoi que ce soit sur le degré de f; ou sur le fait que f doive nécessairement être polynomiale.

@@Kerlyos_ Oui, si on veut être rigoureux je suis d'accord avec toi.

"j'ai dit que f est forcément un polynôme" : il faut le prouver. C'est justement ça la difficulté de cet exercice : on demande toutes les solutions. Il ne suffit pas d'en trouver une. il faut montrer que c'est la seule. Avec la méthode de la vidéo on démontre que toutes les solutions sont obligées de vérifier l'équation finale et que donc la fonction définie par ce polynôme est la seule solution possible.

Arrête de contredire tous les commentaires : tes " prouve le", "c'est insuffisant ".... tout le monde, comme toi, en est capable. Et toi, qu'est-ce tu proposes? Rien, Qu'est-ce tu as prouvé ? Rien,.. Maintenant, tu devines ce qu'on a envie de te répondre.

😂😂 j’ai bien aimé le premier paragraphe Oui après coup j’aurais dû la proposer. Elle est aussi rapide et en plus une technique jamais encore vraiment traitée.. occasion manquée 😅 Et Merci pour ce retour

C'est exactement cette méthode que j'ai utilisé !!

@@hedacademy Sauf qu'il faut justifier que toutes les solutions sont forcément des polynômes de degré 2. Ça fait une étape supplémentaire.

tu en as trouvé une , mais ta supposition ne te permet pas de conclure quant à l'unicité de la solution

@@tristanb6149 tu aurais un contre exemple stp? Je ne vois pas en quoi l'unicité n'est pas prouvée

@@bgx9744 il faudrait aussi prouver que seul un polynome d'ordre 2 peut être la solution. On se contente de le supposer.

@@Gaamel35 ca se démontre très facilement. Pour un polynôme de degré impair, le terme de plus haut degré est 2a x^n - a x^n (qui ne s'annule pas et doit donc se retrouver à droite) Pour un polynôme de degré pair supérieur à 2, le terme de plus haut degré est 2a x^n + a x^n (qui donne 3a et doit se retrouver à droite). Aucun de ces deux cas n'est vrai. Donc le degré maxi est x2

@@bgx9744 Bien sur, et ça doit donc figurer dans la rédaction, ce que tu avais oublié de faire. D'ailleurs, comment prouves-tu que la solution est forcément polynomiale avec ta démonstration ?

On te dit que l'équation est vérifiée pour tout x dans R!

Tu n'as rien compris. La fonction exponentielle ne vérifie pas l'équation comme il l'a dit dans la vidéo. Pour la résolution de l'équation, j'ai même une autre méthode.

@@lazare93 tu demandes combien pour ta 'même autre méthode ' ?

Rien lol.

Tu prends juste un polynôme de IRn[X](un polynôme de dégré inférieur ou égal à n) puis tu procèdes par identification. Vois-tu ?

L'énoncé demande toutes les solutions, pas seulement une solution. Si vous faîtes l'hypothèse que la fonction est de la forme ax^2+bx+c, vous devez ensuite prouver qu'il ne peut pas y avoir d'autre solution d'une forme différente. Pour cela, vous devrez prouver que l'équation 2g(x)+g(-x) = 0 a pour unique solution g(x) = 0 car toute solution de l'énoncé peut s'écrire sous la forme f(x) = h(x)+g(x) où h est la solution particulière que vous avez trouvée et g est une solution de l'équation 2g(x)+g(-x) = 0. Le raisonnement qui est fait dans la vidéo n'utilise que des équivalences. Il prouve que l'équation de l'énoncé est équivalente à l'équation f(x) = x^2+5x+1. Et donc que la fonction f(x) = x^2+5x+1 est la seule solution possible.

ben là tu poses la question à l'envers.On raisonne par implications: si une telle solution existe alors ça ne peut etre que celle-là. On injecte et on vérifier que ça marche. Lorsque tu raisonnes par implications et que tu trouves un unique candidat ça veut dire qu'il existe au plus une solution. Si tu vois que c'est effectivement une solution, alors c'est forcément la seule.

Rien ne dit à priori que f est dérivable 🙃

Parce qu'elle est ni paire ni impaire...

Avec ton raisonnement, tu dois faire 3 cas : • si f est paire ; • si f est impaire ; • si f est ni paire, ni impaire. Ensuite, n'oublie pas de vérifier que les fonctions trouvées conviennent.

Apparemment, tu as oublié de diviser par 3.

Après l'hypothèse f peut paire et avoir trouvé la fonction solution, tu dois observer que la fonction trouvée n'est pas paire donc que le problème n'a pas de solution paire. Et faire de même avec le cas impaire. Et pour le cas ni paire, ni.impaire, en chercht un cas particulier de la forme ax^2+bx+c, tu vas trouver la solution trouvée dans la vidéo. Par contre, je ne sais pas montrer que le problème n'a pas d'autres solutions.

@@thomassinxavier4976 pour montrer l'unicité de f , il suffit de procéder par équivalence en s'appuyant sur le 'quel que soit x ' dans R.

C'est la première idée qui m'est venue également et ça me parait + simple. Mais super vidéo!

Comme pour les autres commentaires similaires : ce n'est pas plus simple du tout. Car dans ce cas il te resterait à montrer que la solution est nécessairement un polynôme de degré 2. C'est une supposition que tu ne montres pas ici. Et ça, c'est beaucoup plus compliqué.

Oui mais tu obtiens f(-x) et pas f(x). Et dans ce cas il faut encore changer x en -x pour conclure. Ce qui n'est donc pas plus rapide du tout.

@@Kerlyos_ Ah ? 4f(x) - f(x) donne 3f(x) , quand au polynôme, on a 3xcarre +15x + 3, on divise le tout par 3 CQFD

@@DominiqueVerriere Ok en fait tu as fais 2.L2 - L1, ce qui effectivement fonctionne. Je pensais que tu souhaitais faire L2 - 2.L1. En meme temps tu écris juste "deuxième - première", il faut déchiffrer (tu n'indiquais pas à quel endroit tu multipliais par deux)

Ton exemple de g ne fonctionne pas (essaie de calculer l'image d'une valeur négative). On peut montrer assez facilement que la seule fonction g convenable est 0; ce qui revient bien à ce qui est dit dans la vidéo 😉 Sa preuve est (en substance) une analyse synthèse, donc il prouve bien qu'il n'y a pas d'autres solutions 😇

Non. Comme dit dans un autre commentaire, la fonction constante égale à 1 ne fonctionne pas du tout. Je crois que tu n'a pas bien compris comment marchait une équation fonctionnelle. Si tu remplaces f(x) par 1, ton membre de gauche est constant; tandis que ton membre de droite est un polynôme de degré 2. Ça n'a aucune chance d'être égale. La solution apportée dans la vidéo est bien unique. On peut d'ailleurs raisonner par équivalences tout au long de la vidéo. De plus l'ensemble des solutions de ton "équation homogène" n'est absolument pas vide. 1/x pour les x positifs et 2/x pour les x négatifs fonctionne par exemple.

Hm, pas sûr que ta solution fonctionne : prenons celle que tu avance et évaluons notre équation pour x = -3 : f(x) = -2/3, f(-x) = -1/3 . 2*f(x) + f(-x) = -4/3 - 1/3 => NOK . Mais tu as raison que je ne suis pas assez prudent, il faudrait faire un raisonnement d'analyse synthèse complet, à moins que ce raisonnement ne suffise : pour tout x dans R, 2f(x) + f(-x) = 0 2f(x) = - f(-x). On en déduit que 2 f(0) = - f(0) vrai seulement si f(0) = 0. On a donc f(0) = 0 pour toutes les solution homogènes. Regardons maintenant les autres valeurs. Pour tout x dans R*, on a 2f(x) = -f(-x). Prenons cette égalité en -x, tu obtiens 2(f(-x)) = - f(x). Or, tu sais que f(-x) = - 2 f(x) (hypothèse de départ). Tu en déduis que, pour tout x, tu as -4 f(x) = - f(x) => f(x) = 0 pour tout x dans R. L'ensemble des solutions homogènes est donc la fonction nulle. Pour la fonction solution f : x -> 1, j'ai effectivement tord, on cherche pour tout x dans R la solution telle que 3 x² + 5x + 3 = 2f(x) + f(-x), j'écrivais trop rapidement et de façon erronée que 3 = 3 x² + 5x ce qui est bien faux :) Enfin, si tu avais une solution homogène (disons g(x) telle que g vérifie 2 g(x) + g(-x) = 0, tu aurais comme solutions dans R : x² - 5x + 1 + A*g(x) avec A une constante. La somme d'une solution particulière et de toutes les solutions homogènes. Cela se vérifie si l'on avait quelque chose du type f(x) + f(-x) = x² => Solution particulière : f(x) = x²/2, solution générale : f : x => x²/2 + g avec g n'importe quelle fonction impaire dans R.

@@brunosalque1031 Ok effectivement je m'étais trompé. L'ensemble des solutions de l'équation homogène est bien {0} Cela-dit je réfute complètement ton postulat de départ qui consiste à dire que pour être complet il faudrait étudier l'équation homogène. En fait dans la vidéo on suppose que l'équation possède une solution. Selon cette hypothèse, la solution doit nécessairement être x²+5x+1 (analyse). Cette partie-là prouve donc l'unicité. Ensuite on peut vérifier que effectivement cette solution fonctionne (synthèse). La seule critique qu'on peut donc adresser à la vidéo c'est de ne pas avoir vérifié que le polynôme trouvé était solution (synthèse). Mais l'unicité est prouvée dans l'analyse.

Ça ne te servirait pas à grand chose, tu es manifestement complètement dépassé. Ce que tu présentes là ne sont pas des fractions. Si tu veux essayer d'y comprendre quelque chose je te conseille de chercher un cours et exercices sur (respecte l'ordre) : Simple distributivité Double distributivité Identités remarquables