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Une inégalité musclée 💪 - en route vers la prépa LLG

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⬇️⬇️ Lien vers le livret Louis-le-Grand ⬇️⬇️
www.louislegra....
Petite série de vidéos inédites pour la rentrée: on corrige quelques questions du livret d'entrée en classes préparatoires du lycée Louis-le-Grand et Henry IV.
Dans cette question, on doit montrer que si x et y appartiennent à ]-1 ; 1[ alors (x+y)/(1+xy) appartient également à ]-1 ; 1[ .
Plan de la vidéo :
00:15 : La fausse piste et pourquoi ?
04:57 : Raisonnement par équivalence
06:21 : Démonstration du membre de droite
09:56 : Démonstration du membre de gauche

Опубликовано:

25 авг 2024

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Комментарии : 92

@fabienal-kazzi1507 Год назад

Exo sympa. Personnellement j'ai utilisé un peu d'analyse de première : On se donne un y de ]-1;1[ on considère la fonction fy définie sur [-1;1] par fy(x) =(x+y)/(1+xy). En dérivant sur [-1;1], on obtient une fraction rationnelle dont le dénominateur est un carré donc la dérivée de fy est du même signe que le numérateur : 1 - y^2. Comme y appartient à ]-1;1[ , cette dernière expression est strictement positive (pour tout x dans [-1;1] puisqu'elle ne dépend pas de x) donc fy est strictement croissante sur [-1;1]. On en déduit que pour tout x dans ]-1;1[, fy(-1) < fy(x) < fy(1). En utilisant l'expression de fy on obtient exactement l'inégalité demandée. (Nous avons démontré cette propriété avec un y quelconque de ]-1;1[ donc ça fonctionne bien pour tout y dans ]-1;1[)

@ladre7422 Год назад

Bien sur que que la vidéo m'a plu. Même à 38 ans les démonstrations par équivalence sont toujours aussi belle. Montrer que revient pratiquement systématiquement à raisonner par équivalence.

@paperyka8160 Год назад

pas tout à fait... il y a de nombreux autres raisonnements et ils sont pas là pour faire joli. On est aussi très souvent amenés à montrer par une double implication (sens direct et réciproque) pour n'en citer qu'un.

@Sam-jy8fz Год назад

Pour être honnête avec toi je suis en service militaire et j’ai fait bac S avant de m’engager. Tes vidéos m’aident bcp à ne pas oublier les notions importantes des maths et la réflexion mathématiques qui plus est. Merci beaucoup à toi !!!

@jpl569 Год назад

Autre méthode : (x + y)/(1 + xy) € ]-1 ; +1[ équivaut à [(x + y)/(1 + xy)] ^2 < 1, ou encore x^2 + y^2 + 2xy < x^2 y^2 + 2xy +1, ou x^2 + y^2 < x^2 y^2 +1. Ceci équivaut encore à x^2 (1 - y^2) < 1 - y^2, ou x^2 < 1, qui est toujours vrai. La propriété est bien vérifiée. Merci pour vos intéressantes videos.

@oliviervancantfort5327 Год назад

J'ai commencé par mettre l'expression au carré. Il suffit donc de prouver que l'expression au carré doit être < 1. En passant le dénominateur de l'autre côté et développant, les termes 2xy s'annulent et on se retrouve à devoir prouver la même inégalité que à 7:15, mais avec x2 et y2 à la place de x et y. Donc même résultat, mais on ne doit démontrer qu'une seule inégalité. Ça va plus vite 😊

@khadijadojasardi6150 Год назад

Merci pour l'effort que tu fais, c'est vraiment agréable continue avec des exos plus difficiles, je me rappelle de mes années des math 1993 ...

@rahanena5182 Год назад

Bien présenté. Ce que vous explicitez, certains enseignants le gardent pour eux. Il commencent par l'expression x+y+xy-1 qu'ils mettent sous forme de produit (ils la factorisent). à ce niveau apparait l'utilité des hypothèses. Le problème est résolu pour et par l'enseignant mais pas pour l'élève. Ce dernier est convaincu par le résultat (obligé) mais pas convaincu.

@bassougakumbuleonard2439 Год назад

tu as tout dis.

@philippegibault6889 Год назад

En ce qui me concerne, j'ai posé f(x) = (x + y)/(1 + y). Je n'ai pas encore regardé la vidéo. Déjà, le domaine de définition (rappel: -1 < x < 1 et -1 1 donc, avec les conditions du problème, le dénominateur n'est jamais nul. Donc Df = ]-1,1[ et f est en plus dérivable. Après calcul (Le calcul, c'est comme la musculation, ça ne rend pas intelligent, ce n'est que de l'entrainement), on arrive à df/dx = (1 - y)(1 + y)/(1 + xy)^2. Le dénominateur étant toujours positif, le signe dépend du numérateur. Or ||y|| -1 f(x) = -1 et lim x-> 1 f(x) = 1 (quel que soit y). On peut donc faire un tableau de variation. x |-1 1 f' |` + f |-1 (et c'est strictement croissant) 1 Donc, de fait, on a -1 < f(x) < 1.

@vince6962 Год назад

Je propose une solution plus elegante a mon sens(moins brute qu'une equivalence, moins bourrine qu'une analyse de fonction) mais qui demande des connaissances de prepa: Tanh est une bijection de R sur I = ]-1;1[ donc pour x,y de I fixes, il existe X, Y tels que x = tanh(X) et y = tanh(Y) Reecrivons maintenant notre expression: (x+y) / (1+xy) = (tanh X + tanh Y) / ( 1 + tanh X tanh Y) = tanh(X+Y) qui appartient par definition de tanh dans ]-1;1[ - CQFD ;-)

@italixgaming915 Год назад

Ou sinon avec des connaissances élémentaires il y a ça qui permet d'éviter le truc de galérien du monsieur avec ses deux cas : D'abord, on remarque que la quantité est toujours définie puisque le dénominateur ne s'annule jamais : |xy|

@elvishoupa8240 Год назад

Après avoir établi que 1+xy>0, pour montrer que (x+y/(1+xy) est de valeur absolue strictement plus petit que 1 lorsque x et y sont de valeur absolue strictement plus petit que 1, il suffit de calculer 1-[(x+y)/(1+xy)]^2 et de constater qu'il vaut (1-x^2)(1-y^2)/(1+xy)^2 et est donc strictement positif.

@MrBitenfeu Год назад

je ne sais pas si j'ai bon, mais pour ma part j'ai cherché à vérifier l x+y l < l 1+xy l (l x+y l)² < (l 1+xy l)² x²+y² < x²y² +1 0< x²y² -x² -y² +1 0 < (y²-1)(x²-1) comme x et y < 1alors x² et y²

@asmaeouchrhoun5098 Год назад

parfait

@beethoven5984 Год назад

Formidable ,continuez. celui-là j’admets je ne l’ai réussi

@alestane2 Год назад

6:15 Au lieu de diviser en deux on peut le faire en une fois en disant que c'est équivalent à ce que le carré soit inférieur ou égal à 1 Du coup au lieu des deux inégalités on en a une seule et on procède par équivalences de façon très similaire [(x+y)^2 / (1 + xy)^2] < 1 dénominateur strictement positif donc... ⇔ (x+y)^2 < (1 + xy)^2 on développe les carrés ⇔ x^2 + 2xy + y^2 < 1 + 2xy + x^2 y^2 on fait tout passer à droite ce qui simplifie les termes en xy ⇔ 0 < 1 + x^2 y^2 - x^2 - y^2 on factorise ⇔ 0 < (x^2 -1) (y^2 -1)

@lazaremoanang3116 Год назад

Je voudrais dire facile mais ça m'a fait penser à beaucoup de choses, ça doit éventuellement être pour ça que la vidéo met autant de temps, en attendant de la regarder, voici ma démonstration à moi: pour tout (x,y)€]-1,1[×]-1,1[, x²+y²

@Sokhyrr Год назад

Génial !

@asmaeouchrhoun5098 Год назад

au lieu de séparer les cas on peut utilise la valeur absolue

@Schlaousilein67 Год назад

Merci pour tes vidéos !

@yaganman Год назад

Je suis un peu en retard mais, moi j'ai fait comme suit: Disons xy = a, on a donc -2 < 2×(1 + a) > 2 Pour que -1 < b/1+a > 1, b doit être au minimum deux fois plus grand que 1+a Ensuite j'ai x + y = b -2 > b < 2 donc -2/2 > b/1+a < 2/2 ce qui fait-1 > (x+y) /(1+xy) < 1 Je sais pas si c'est correct comme preuve par contre, mais ça marche sur ce coup haha. Ca fait bientôt 10ans que j'ai pas touché de maths donc c'est peut être un coup de chance.

@jmariebeguin3084 Год назад

vraiment sympa. je m'abonne :)

@remilarbre2540 Год назад

J'ai un petit doute pour la 2ème partie quand on doit démontrer que c'est supérieur à 0. Car c'est le signe strictement supérieur à 0, or si x et y sont égal à -1 alors ça ne va pas car ça vaux 0. Mais je viens de me rendre compte de ma bêtise. Tu as oublié de parler d'une chose dans la vidéo qui est très importante et qui peut mettre à mal ton résonnement. C'est le domaine de définition. Car x et y doit être compris entre -1 et 1 exclu sinon on retombe dans le problème que j'ai dis plus haut

@manue770 Год назад

J'ai pensé pareil vous m'avez aidé à comprendre grâce au signe exclu en effet

@mohammedchahboun4050 Год назад

L'analyse mathématique est une symphonie cohérente de l'infini.

@maximeschlubach4717 Год назад

Autre méthode : Lim x,y -> 1 = 1 ; Lim x,y -> -1 = -1 ; maintenant assurons nous que la fonction est bornée sur ]-1,1[, donc que la dérivée de f(x,y) est croissante sur ]-1,1[ d/dx((x+y)/(1+x*y)) = (x(1+y)-(1+xy))/(1+xy)² + y²/(1+xy)² >=0 ; idem pour d/dy. On a prouver que f(x,y) est croissante et à comme limite ]-1,1[ et que de ce fait elle est comprise entre -1 et 1.

10 месяцев назад

On devrait pouvoir conclure dans la piste 1 puisque on va diviser un nombre compris entre -2 et 2 par un nombre supérieur à 2. Quel que soit X compris entre -2 et 2 et Y supérieur à 2, alors X/Y est compris entre -1 et 1. J'ai oublié un morceau ?

@ph.so.5496 Год назад

Ha oui ! Cool !👍

@aekaekmhmdmjd7405 Год назад

Merci prof

@creamomg Год назад

Je me sens un peu bête, j'ai été accepté en prepa avec 19 au bac de maths et j'ai vraiment galéré sans trouver, je vais travailler pendant les vacances parceque j'ai peur d'être perdu là...

@Alexandre-sc5ry Год назад

C'est exactement une question de mon dm de prépa mais elle est simple

@lilycorne9503 Год назад

Ça serait pas plutôt « montrer que c’est un groupe ? »

@ouroune Год назад

Est-ce qu'on pouvait utiliser la formule : tan(a-b) =(tan a - tan b)/ 1 + tan a * tan b en posant x=tan a et y = tan b

@elvishoupa8240 Год назад

Il faudrait plutôt poser x=tanha et y=tanhb et utiliser le fait que la fonction tangente hyperbolique est une bijection de R sur (-1 ,1).

@meurdesoifphilippe5405 Год назад

Exactement c'est la formule d'addition des tanh : (x+y) /(1+xy) = tanh(arcotanh x+arcotanh y) Tout le monde sait cela à Louis le Grand !! Sérieusement c'est comme ça que j'avais fait...

@laurentthommet8313 Год назад

Bientôt 60 ans et toujours aussi émerveillé par les maths...cordialement Laurent

@mehdielabdaoui1955 Год назад

Il vaut mieux travailler avec les valeurs absolues pour démontrer l'inégalité.

@jacquesperio3017 Год назад

En remplaçant x par cos a et y par sin b, la démonstration est elle possible ?

@italixgaming915 Год назад

Alors pour ne pas faire son galérien comme le monsieur, voilà comment on torche ça. D'abord, on remarque que la quantité est toujours définie puisque le dénominateur ne s'annule jamais : |xy|

@raphaelsbr1899 Год назад

C'est cool de proposer des exos plus durs ça permet de se creuser un peu le cerveau

@MrGhoat_ Год назад

bonjour je voudrais bien vous demander si vous pouvez faire une vidéo sur youtube pour nous faire comprandre la logique je vous en supplie car j'ai rien compri du prof et même sur youtube🙏🙏🙏

@user-et9nn4xn9z 4 месяца назад

Comment trouver la liste de toutes les leçons de Head Académy?

@hedacademy 4 месяца назад

Déjà c’est Hedacademy 😂 Il n’y a pas vraiment de liste. Pour l’aspect scolaire on a fait des playlists, on a classé niveau : 4eme, 3eme, seconde etc. Mais difficile de tout classer sur RU-vid

@whatever-td1nh Год назад

Par surjectivité de th, il existe a et b dans R tels que x=th(a) et y=th(b) de sorte que (x+y)/(1+xy)=th(a+b) qui est dans ]-1;1[.

@lilycorne9503 Год назад

En terminale il n’y a pas th

@whatever-td1nh Год назад

@@lilycorne9503 Et pas de surjectivité non plus. Mais quand on va en prépa à LLG, on a probablement abordé ces notions bien auparavant..

@lilycorne9503 Год назад

@@whatever-td1nh Ce serait trop léger pour aller à LLG. Je connais ce pdf il y a des parties avec des niveaux tres variés.

@whatever-td1nh Год назад

@@lilycorne9503 je sais bien, j'ai assisté à sa correction cet été Tout ça pour dire que le programme, c'est pas si important que ça. Et puis bon, il y a quelques années en Terminale on avait étudié la fonction th en TD sans la nommer, même dans un lycée banal..

@lilycorne9503 Год назад

@@whatever-td1nh si tu parles de th au bac ou avec certains profs tu seras pénalisé. J’avais énormément d’avance et j’avais perdu des points au brevet pour avoir utilisé le théorème de Guldin par exemple

@ultimateSuper Год назад

Merci pour les explications très claires, mais ce genre de question garde toujours une part de mystère pour moi. Comment peut-on trouver la réponse si on ne la connaît pas par avance et si on ne veut pas y passer des heures? Je comprends bien les explications, pas de souci de ce côté, mais en ayant cherché par moi-même, j'ai essayé plein de choses foireuses, c'est-à-dire longues et inefficaces (disjonction de cas notamment). Je ne vais pas apprendre par cœur des méthodes de résolution exercice par exercice quand même... J'aimerai vraiment comprendre comment avoir la méthode pour savoir comment il faut s'y prendre.

@blurp6206 Год назад

il faut juste en faire beaucoup et surtout régulièrement, et au bout d'un moment tu commences à "sentir" les bonnes pistes :)

@raphl7230 Год назад

Ah !! J'avais réussi à prouver que 0< 1+ xy< 2 et que -2< x+y < -2, mais j'étais bloqué pour la suite

@sohhervekouadio7478 Год назад

A quelles heures (HH:MM:SS), dans une journée de 24 heures, les 3 aiguilles d'une montre sont-elles parfaitement superposées ?

@Photoss73 Год назад

12:00:00 ? (voire 00:00:00)

@smialdracogenis3636 Год назад

Et sinon pourquoi on ne se contente pas de calculer le résultat de la fraction pour -2 et 2 ? On obtient -1 et 1, donc on sait que le résutlat de la fraction ne sera pas en dessous ni au dessus. Mon explication mathématiquement n'est pas aussi bien expliqué que la vôtre après x).

@goblin5003 Год назад

En fait, on a x qui se balade entre -1 et 1, et y qui se balade aussi sur -1 et 1. Si j’ai bien compris ton idée, tu as choisi de fixer y=0 et tu as fais bouger x entre -1 et 1. Le problème c’est que du coup, tu as vérifié la propriété uniquement lorsque y=0 et -1

@goblin5003 Год назад

(Si tu as d’autres questions, ou si certaines parties ne sont pas claires, n’hésite pas à poser des questions)

@smialdracogenis3636 Год назад

@@goblin5003 : Déjà je te remercie pour cette réponse détailler ! Alors, de base tu n'as pas totalement compris ce que j'ai dit, mais il me semble bien que tu as quand même totalement répondu à ma question par la suite. Je proposait de prendre y=-1 et x=-1, le moins deux correspond au résultat du haut, j'aurais pas dû le citer. Ainsi, on a les valeurs "minimal" et "maximal" (j'entends pour X et Y chacun au min et au max) du résultat de la fonction, donc intervalle du résultat. Mais dans tous les cas ça ne marche pas pour la raison que tu as expliqué en deuxième partie (il me semble) : parfois les inégalités changent de sens, et en plus de mettre les calcules "minimal" et "maximal", il faut prouver que la fonction est croissante. J'ai l'impression que ta démonstration revient à faire mon raisonnement, sauf que là c'est bien expliqué, et que l'idée de fixé x et y était peut-être pas réalise. Mais tu a fait exactement ce que je voulais faire dans l'idée : calculer pour le min et le max. Puis tu as rajouté ce qu'il manquait. Et je m'étais posé la question pour le sens de la fonction, mais je suis pas allée au bout de mon raisonnement... Bref, ça fait hyper longtemps que je suis sortie des maths, donc c'est un peu dure d'expliquer bien ce qu'il se passe dans ma tête. Toujours est-il qu'au final tu as parfaitement répondu à ma question en m'apportant le raisonnement que je cherchais. Merci pour cela ! Je trouve cette démonstration beaucoup plus intuitive que celle de la vidéo.

@goblin5003 Год назад

@@smialdracogenis3636 Merci beaucoup pour ton retour! 🙏 Effectivement, j’avais mal compris ton idée de départ, mais grâce à tes explications supplémentaires, je pense avoir saisi l’idée que tu avais derrière la tête. Merci!! Je suis content que mon commentaire a pu servir! C’est tout de même intéressant de voir une personne qui a arrêté les maths regarder des vidéos de mathématiques (dans son temps libre en plus) ! Généralement, les gens en ont horreur. Chapeau pour ta persévérance ! Je te souhaite le bon courage pour tout ce que tu souhaites entreprendre! 😊

@smialdracogenis3636 Год назад

@@goblin5003 c'était la moindre des choses ! Pour info, j'ai passé un bac s option maths, donc je maitrise (ou maitrisais) plutôt bien le sujet x) (15 au bac, je travaillais principalement en cours, pas trop à la maison) les maths c'est de la logique, et la logique c'est... logique xD Merci beaucoup, de même pour toi :)

@paperyka8160 Год назад

faut peut-être lui dire que les préparationnaires ont déjà commencé leur année... [EDIT] : J'ajoute ça pour éviter toute confusion, la vidéo est excellente et la démarche est tout à fait louable et servira à plus d'un. J'aime particulièrement le fait qu'il montre les différentes étapes et les pistes/réflexes qu'on peut avoir en premier temps avant d'aboutir à la véritable démonstration.

@Deooo_ Год назад

et donc ? ça empêche quand même d'apprendre des trucs ?

@user-ry6ey8gq3t Год назад

Rapport?

@paperyka8160 Год назад

@@Deooo_ Je ne dis en rien que la démarche n'est pas louable (au contraire c'est génial et cette vidéo montre une excellente méthode) mais avoir en titre "en route vers la prépa LLG"...

@user-ry6ey8gq3t Год назад

@@paperyka8160 et donc ?? Le temps n'est pas bloqué en 2022 mon reuf tu sais le monde evolue sans toi

@paperyka8160 Год назад

@@user-ry6ey8gq3t Très simple de voir le rapport... Année de prépa qui a déjà commencé / "en route vers la prépa LLG" Faut pas voir ce commentaire comme une critique, je suis même très fan du fait qu'il montre l'idée qu'on pourrait avoir par défaut et comment en tirer quelque chose

@nicolasostermann7604 Год назад

Pour moi c'est le strictement inférieur ou supérieur que je ne saisis pas🤔.... Y aurait il quelque chose qui m'échappe...

@grouloulle Год назад

0:03 C'est la condition de départ.

@mousjabie5747 Год назад

Perso, j'ai trouvé un truc plus simple, maintenant reste à voir si il y'a une erreur. On cherche à montrer que si x ∈ [-1;1] et y ∈ [-1;1] alors x+y/1+xy ∈ [-1;1]. Ainsi par hypothèse, on a -1

@goblin5003 Год назад

C’est très bien rédigé! Vraiment très propre. Mais malheureusement, il y a quelques erreurs subtiles qui font que le raisonnement ne fonctionne pas. Et il y a aussi quelque chose de complètement faux dans ta rédaction mais je vais en parler après. Si j’ai bien compris ton raisonnement, tu veux démontrer une inégalité et donc tu le fais par disjonction de cas, selon la valeur de xy. C’est une bonne idée et je suis sûr qu’on peut parfaitement terminer l’exercice avec cette méthode. Cependant ta disjonction est trop grossière, dans le sens où tu as regroupé plusieurs cas différents dans un gros paquet (si xy different de 0). En fait, tu devrais faire des sous cas parce que on ne peut pas raisonner de la même manière pour tous les xy différents de 0. Et c’est ce qui mène à ta première erreur. Tu as écrit -1+xy < 2xy < 1+ xy Jusque là, tout est bon. Par contre, à l’étape suivante, tu passes aux inverses dans l’inégalité. C’est ta première erreur subtile. •Le premier terme est négatif. •Le deuxième terme peut être positif ou négatif, on n’en sait rien. •Le troisième terme est positif. Mais la fonction inverse est décroissante sur ]-inf;0[ et est décroissante sur ]0;+inf[. La fonction inverse n’est pas monotone sur R. Si 3 nombres sont positifs, on peut comparer leurs inverses par décroissance. Si 3 nombres sont négatifs, on peut comparer leurs inverses par décroissance. MAIS si les 3 nombres ont des signes différents, on ne peut pas comparer leurs inverses par décroissance. Il faut faire autrement. Par exemple: -2 < 2 < 3 Pourtant: -1/2< 1/2 > 1/3 Donc il faut forcément faire des disjonctions de cas selon que le 2ème terme est positif ou négatif puis travailler sur l’intervalle de monotonie qui correspond pour utiliser la croissance ou la décroissance. Autre erreur subtile dans la même idée: passer aux valeurs absolues lorsque qu’on a une inégalité. La valeur absolue est décroissante sur ]-inf;0] et est croissante sur [0;+inf[. Si on prend un nombre positif et un nombre négatif, on ne peut pas comparer leurs valeurs absolues par croissance. Exemple: -2

@mousjabie5747 Год назад

@@goblin5003 ah oui tu as totalement raison!!! Je vais essayer de refaire sans erreurs. Je vous tiens au courant. Merci pour les remarques.

@noonelivesforever3835 Год назад

C'est comme la niole des tontons flingueurs : c'est du viril :)

@MaxiMadMatt Год назад

gnôle

@AArrakis Год назад

Bah non, c’est intelligent. La virilité n’a rien à voir là dedans… faut arrêter de penser que le cerveau se trouve dans les c…lles… quoique… pour certains… la question se pose…

@antoinet1304 Год назад

on dit le théorème des gendarmes ;-p

@saromar47 Год назад

J’avais tenté un truc avec un changement de variable en cotangente qui marche je pense mais c’était bcp plus galère c’est vrai que la c’est plus concis

@vince6962 Год назад

c'est pas la cotangeante mais la tanh qu'il faut prendre ;-)

@saromar47 Год назад

@@vince6962 exactement je me suis trompé dans mon com et j’avais pris la tanh d’ailleurs ,je suis débile, merci de rectifier ;)

@vince6962 Год назад

@@saromar47 je trouve au contraire que c'est plus elegant (j'ai poste un commentaire quelque part en ce sens... sur une feuille de papier c'est une ligne de calcul :-) )

@italixgaming915 Год назад

Ou sinon tu as ça, tu ne galères pas comme le monsieur avec ses cas positifs et négatifs : D'abord, on remarque que la quantité est toujours définie puisque le dénominateur ne s'annule jamais : |xy|