Von der Ableitung zur Extremalstelle von x^x | Klausuraufgabe | Analysis 1

Подписаться 476

50% 1

Titel: Von der Ableitung zur Extremalstelle von x^x | Klausuraufgabe | Analysis 1
Titel Thumbnail: Klausuraufgabe
Gemeinsam werden wir Schritt für Schritt herausfinden, wie man mithilfe des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion e die Ableitung dieser Funktion bildet. Wir werden erkennen, dass die Funktion x^x tatsächlich ein globales Minimum bei x=1/e besitzt.
= Quellen ================================
↦ (1) Aufgabe 6: analysis.math....
↦ (2) Ableitung x^x: • Schwere ABLEITUNGEN - ...
↦ (3) Kettenregel (Satz 4.4): www.mathematik...
↦ (4) Produktregel (Satz 4.3, b): www.mathematik...
↦ (5) Grenzwert von Funktionen (Definition 5.1): mediathek.htw-...
↦ (6) Folgenkonvergenz Definition (S.1): www.uni-frankf...
= Empfohlene Videos =======================
↦ Der rechtsseitige Grenzwert von x^x ist 1: • Der rechtsseitige Gren...
= Noch mehr Videos =======================
Abonniere "Mathe mit Noel": www.youtube.co...
Willst du mich unterstützen? ===================
Spendenlink: www.paypal.com...
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ÜBER MICH
📝Meine E-Mail: mathe.mit.noel@gmail.com
=======================================
Extremalstellen # e-Funktion # Kettenregel

Опубликовано:

3 окт 2024

Ссылка:

Скачать:

Готовим ссылку...

Добавить в:

Мой плейлист

Посмотреть позже

Комментарии : 2

@MathemitNoel Год назад

Wenn du Fragen hast, kannst du mir diese gerne in den Kommentaren stellen oder du kannst mir auch eine Nachricht schreiben. Die E-Mail-Adresse findest du in der Videobeschreibung.

@gelbkehlchen Год назад

Lösung: y = x^x | logarithmisches Ableiten ⟹ ln() ⟹ ln(y) = x*ln(x) | Ableiten: linke Seite: Kettenregel, rechte Seite: Produktregel ⟹ 1/y*y’ = 1*ln(x)+x*1/x |*y ⟹ y’ = [ln(x)+1]*y ⟹ y’ = [ln(x)+1]*x^x | Produktregel ⟹ y’’ = 1/x*x^x+[ln(x)+1]*(x^x)’ = x^(x-1)+[ln(x)+1]*[ln(x)+1]*x^x = x^(x-1)+[ln(x)+1]²*x^x Notwendige Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle xE ist: y’(xE) = 0 ⟹ [ln(xE)+1]*xE^xE = 0 | entweder ln(xE)+1 = 0 oder xE^xE = 0, was aber nicht definiert ist. Also bleibt nur noch der 1. Fall übrig: ln(xE)+1 = 0 |-1 ⟹ ln(xE) = -1 |e^() ⟹ xE = e^(-1) = 1/e ≈ 0,3679 ⟹ Hinreichende Bedingung für eine Extremstelle an der Stelle xE ist: y’’(xE) ≠ 0 ⟹ y’’(xE) = (1/e)^(1/e-1)+[ln(1/e)+1]²*(1/e)^(1/e) = 1/e^(1/e-1)+[-1+1]²*(1/e)^(1/e) = 1/[e^(1/e)/e] = e/e^(1/e) ≈ 1,8816 > 0 ⟹ An der Stelle xE = e^(-1) = 1/e ≈ 0,3679 ist ein Tiefpunkt, und es ist: y(xE=1/e) = xE^xE = (1/e)^(1/e) ≈ 0,6922