Канал посвящен классной и важной науке - математике!
Но каналов по данному предмету в мире интернета сегодня не сосчитать. Так чем же MathgiM отличается и в чем его особенность ?
Все мы устали от многочасовых скучных лекций из которых полезными мы находим несколько минут, а то и секунд. Поэтому мы решили пойти другим путем и рассказывать сложные вещи максимально быстро в обобщенном виде, тем самым переходя только к сути проблемы - никакой воды! Мы ценим свое и ваше время. А если что-то все-таки останется непонятным, то в комментариях мы остановимся по подробнее на конкретном моменте или выпустим отдельный ролик на темы которые вас интересуют!
Вот когда ты говоришь "поменяем порядок дифференцирования" - надо подробнее объяснять, что ты делаешь. Если ты работаешь на аудиторию студентов - методически такие вещи надо объяснять, потому что не каждый и не сразу врубится, что именно ты делаешь. Я бы сказал так: "А теперь поменяем порядок дифференцирования, т.е. перейдём от дифференцирования по x к дифференцированию по p, причём x будем считать функцией p: x= x(p); тогда получим линейное уравнение относительно x(p) ...... " Если же ты работаешь на аудиторию тех, кто и так всё знает и понимает - то получается, что ты работаешь впустую, потому что математики, профессионалы, кандидаты и доктора и так прекрасно знают этот материал.
Какую то лажу вы нам выпариваете. Ваши прекрасные формулы упрощения радикала неверны, это лишь их приближение, причем там где сумма двух кореей погрешность будет меньше 1/2 лишь при значениях а от ≈-1 до ≈ 15 (десмос в помощь). И конечно же нельзя вот так приравнивать выражения от х^1/3, х, и х^0 = 1 (здесь х заменяет «а» из ролика)
Если мы не пастулируем то, что i² = -1 значит мы должны пастулировать правила сложения и умножения, а то в видео при перемножении мнимых единиц формула перемножения из ниоткуда взялась :(
Автор так объясняет, что только больше запутывает людей. Для тех, кто не понял, формулу кубического вложенного радикала, объясню подробно. 1. Для простоты рассмотрим ситуацию, когда у кубического уравнения ровно один действительный корень. В противном случае нам придется извлекать кубические корни из комплексных чисел, что не айс. 2. У нас будут выражения вида (a+b*c^(1/2))^(1/3). Мы очень хотим, чтобы подкоренное выражение было полным кубом, потому что в этом случае мы сможем сильно упростить ответ. Но когда это выражение есть полный куб? Когда a+b*c^(1/2) = (s+q*c^(1/2))^3. Дальше автор говорит, пусть q=1. Тогда мы раскроем скобки и получим 3s^2 = b - c, a = s^3 + 3*s*c, Оттуда, конечно же, следует 3*a/(8*b+c) = ((b-c)/3)^(1/2). Но логика здесь ровно обратная! Иными словами, если нам повезло, и последнее выражение действительно верное, то мы мгновенно можем извлечь кубичесуий корень в нужном виде. А если нет, ну и суда нет. Но это не отвечат на главный вопрос: а можно ли в итоге собрать полный куб под кубическим корнем или нет? А может быть можно, но q не равно 1? А может быть вообще как-то иначе надо было пробовать? А может быть вообще нельзя?
А ответ на этот вопрос такой. Давайте вернёмся к выражению a+b*c^(1/2) = (s+q*c^(1/2))^3 Тогда a = s^3 + 3*s*q^2*c, b = 3*s^2*q + c*q^3. Фактически, мы должны ответить на вопрос, существуют ли у данной системы решения в целых числах. Иными словами мы пришли от вопроса "существуют ли решения исходного кубического уравнения в целых числах?" к вопросу "существуют ли решение системы кубических уравнений в целых числах?" Только в первом случае уравнение было одно, и перебирать надо было только делители свободного члена, а теперь уравнений два, и перебирать надо вообще всё на свете. Нет, у можно ещё попробовать не в целых числах искать? Но тогда зачем вообще всё это? У вас в итоге соберется полный куб из месева квадратных и кубических корней внутри, вы скинете внешний кубический корень, а проблемы останутся. Я надеюсь, теперь все понимают, почему в учебниках на этот вопрос ответа нет?
@@koleso1v Зато можно сказать что q нужно искать среди делителей b. То есть для ∛(99 + 70√2) формула не сработает, а для ∛(99 + 35√8) уже сработает. По сути это примерно также как находить корни среди делителей свободного коэффициента, только чуть сложнее. То есть среди делителей b нужно найти такой q, что 1) выражение (b/q -cq²)/3 есть квадрат целого числа s 2) значение a равно s(s² + 3c) Тогда ∛(a + b√c) = s + q√c Правда лучше сразу домножить на 2, так как в реальности s и q могут быть полуцелыми.
sqrt[3](44/27 ± sqrt(8/3)) = sqrt[3](44 ± 18*sqrt(6)) / 3 - теперь задача - найти выражение sqrt[3](44 ± 18*sqrt(6)) Известно, что (a + b*sqrt(6))^3 = a^3 + 3a^2 b*sqrt(6) + 18ab^2 + 6b^3*sqrt(6), и надо подобрать целые a и b для раскрытия кубического радикала. Очевидно, что a^3 + 18ab^2 = 44, a^2 b + 2b^3 = 6 (a^3 + 18ab^2)^2 - 6(3a^2 b + 6b^3)^2 = (a^2 - 6b^2)^3 = 44^2 - 324*6 = -8 = (-2)^3 Таким образом, a^2 - 6b^2 = -2 или a^2 = 6b^2 - 2 Решаем кубическое уравнение в целых числах 8b^3 - 2b - 6 = 0 Ответ: b = 1 => a = 2 В итоге sqrt[3](44 ± 18*sqrt(6)) = 2 ± sqrt(6)
А можно узнать первоисточник, где вы нашли формулу для извлечения куб. корня из вложенного радикала? Я посмотрел её док-во из ТГ. Вроде бы на первый взгляд ошибок не видно, но всё таки трудно поверить, (как тут писали), что полный куб, который мы выделяем под куб. корнем не зависит от первого слагаемого a, а зависит только от множителя второго суб-радикала и самого суб-радикала... Видимо дело в том, что в контексте формулы Кардано для куб. ур-ия первое слагаемое "a" (а это на самом деле -q/2) взаимозависимо с выражением КОРЕНЬ(DELTA) т.е. корень из дискриминанта куб. ур-ия в канонической форме, поскольку Delta = (q/2)^2+(p/3)^3 т.е значение "a" в этом дискриминанте учтено, соответственно и в коэф. b*Корень(с), который мы получаем с помощью дискриминанта, оно тоже уже учтено. Значит то, что тут писали про устремление "a" в бесконечность или произвольного его увеличения - не верно т.к. при этом будет увеличиваться одновременно -q/2=a и, соответственно вырастет величина DELTA и КОРЕНЬ(DELTA), поскольку они зависят от a (или иначе от -q/2)! Видимо, это позволяет выделять полный куб и извлекать из него корень без учёта величины "a" т.е. по сути в выражении второго слагаемого вложенного радикала b*КОРЕНЬ(с) переменная "a" уже зашита!
Меня тоже все смущает. Потому что если взять за а х, то есть переменную, а за b и c константы, то мы приравниваем по факту выражение от x^1/3 и от х. Но так нельзя, а со вторым выражением вообще бред: очевидно же, радикал возрастает по а, оно же х, а сумма двух корней вообще константа. Смею предположить, что это лишь приближение такого радикала
@@user-qq8kp5cw8x это не для вообще всех случаев a b c работает, а только для тех, которые бывают в формуле Кардано. Никакого бреда нет, просто автор ролика об этом не упомянул. Хотя мог бы и подоказывать немного, чтобы таких вопросов не возникало...
Ну кагбэ сложный радикал ещё у Джорджа Шубриджа Карра в “A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics” аж 1886-го года расписан. Жаль что мало кто таким интересуется. 😉
При док-ве, что i^2=-1 мы попарно перемножаем слагаемые в скобках и группируем действительную и мнимую (там где мы можем в 2х слагаемых вынести i за скобку) части в отдельных слагаемых. Но тогда не совсем понятно откуда берётся произведение -1*1 в первой скобке (действительной части) т.е. в (0*0-1*1). Если произведение -1*1 получается из произведения 1i*1i= 1*i^2=-1*1 при раскрытии скобок, то тогда получается, что доказывая рав-во i^2=i*i=-1 мы уже принимаем как факт что i*i=i^2=-1 т.е. доказывая исходное предположение мы получается опираемся на то, что оно уже верно?! Или я чего то не понимаю. Поясните, пожалуйста.
Не совсем так. То что i^2 = -1 в комплексном анализе вводится как определение в самом начале. i - это новый объект (мнимая единица) для которого при вычислениях полагается i^2=-1 Используя определение умножения комплексных чисел мы обосновываем данное в начальном определении свойство мнимой единицы.
@@mathgim , немного странно, конечно, если i^2=-1 по определению, зачем мы это доказываем? При перемножении 2х i, представленных в комплексной форме, мы используем свойство i^2=-1 заданное изначально по определению, и разумеется приходим к тому что оно подтверждается. Какая то закольцовка или рекурсия получается, Вы не находите? Т.е. как бы предпосылка i^2=-1 подтверждает равенство произведения i*i=-1 через саму себя. Исходя из того, что вы пояснили выходит мы подтверждаем определение через само это определение😁 This is so weird! 😬😳
@@Realalexandro Это вопрос аксиоматики и чтобы не запутаться вы можете либо изначально ввести по определению, что i^2=-1 и тогда зная это вывести формулу произведения двух комплексных чисел с помощью почленного умножения: (x1+i*y1)(x2+i*y2) = x1*x2+i*x1*y2+i*x2*y1+i^2*y1*y2 = (x1*x2-y1*y2)+i*(x1*y2+x2*y1) Либо изначально ввести определение двух комплексных чисел как: (x1+i*y1)(x2+i*y2) = (x1*x2-y1*y2)+i*(x1*y2+x2*y1) и тогда из этого определения легко доказывается что i^2 = -1 i^2 = i*i = (0+i*1)(0+i*1) = (0*0-1*1)+i*(0*1+0*1) = -1
А будет разбор для случая, где Delta<0 и возникают комплексные числа, а точнее корни из комплексных чисел, выражаемые через тригонометрические формулы? И ещё где можно посмотреть док-во вывода формулы Кардано-Тартальи? Я имею ввиду док-во того, что мы всегда имеем право представлять x=y-z, а потом накладывать такое ограничение на z, что идёт зануление коэфф. перед 2й степенью для получения неполной (канонической) формы куб. ур-ия y^3+py+q=0. А также док-во того что представляя y=alpha+beta (либо y=t-p/3t в другой версии приведения), мы можем в дальнейшем и на них наложить ограничения для получения в конечном счёте квадратного ур-ия относительно t (либо биквадратного относительно t^3, если сразу переходим к t без alpha\beta). Потому что такие ограничения на заменяющие переменные не очевидны! Да и замена y=t-p/3t, которую видел в других источниках тоже никак не объясняется откуда взята. Короче, было бы очень классно показать вывод поподробнее для душнил вроде меня. :)
Зачем вообще давать формулу Кардано? Что за идиотизм? Скажите ученикам замену переменной и пусть решают сами. А когда начнут спрашивать, почему такая замена, а не другая, то проведите урок\лекцию по этому вопросу.
В формулу вложенного радикал не верится: если есть два выражения с разным "a" и если само это выражение не зависит от "a", то два разных выражения (потому что с разным "a") равны, что неправильно
См. мои посты выше и док-во из ТГ автора. Насколько я вижу из этого док-ва, с этой формулой всё верно поскольку a, b, c на самом деле взаимосвязаны через коэфф. куб ур-ия. Поэтому нельзя строить контрпримеры с произвольным подбором значений a, b и с!
@@Realalexandro в смысле ? Автор назвал эту формулу : формула вложенного радикала, при чем тут кубическое уравнение ? Кто сказал, что эта формула работает только для коэффициентов из кубического уравнения
@@OlegLomakin756, а вы вообще, уважаемый, название видео хотя бы читали, начало видео с получением реш. куб. ур-ия смотрели, док-во автора в привязке к куб. ур-ию в ТГ открывали? Я с Вас люди просто худею иногда! )) Главное задвинуть свою точку зрения, ни во что не вникая, ну просто из собственного эго начать её педалировать по типу: "А кто сказал это, а кто сказал то...? А вот автор ничего про это не говорил и.т.д. Вы как персонаж из рассказа "Срезал" Шукшина (почитайте кстати) - главное "прокукарекать", а потом хоть не рассветай, чесслово:) Без обид, как говорится, но имеющий уши да услышит, а имеющий глаза да увидит - и ролик и док-во. Там и в видео и в док-ве формулы всё ТОЛЬКО ПРО КУБ. УР-ИЕ в привязке к ф-ле Кардано, а не про какие то абстрактные радикалы вообще! Мало того, в док-ве особо подчёркнуто, что корень извлекается т.е. формула работает только тогда, когда под куб. корнем стоит выражение, кот. может быть свёрнуто в полный куб т.е. когда у куб. ур-ия есть 1 действительный - либо целый, либо рациональный корень при D>0 (такой критерий во всяком случае утверждает автор!). В ответ на ваш вопрос - А кто вам сказал, что эта формула не работает для решения куб. ур-ия, полученного из его коэффициентов для случая D=(q/2)^2+ (p/3)^3 >0 (т.е. когда 1 действительный корень) и когда этот корень целый\рациональный - видите какое сужение поля "рабочести" формулы Вы упустили! Я вот несколько конкретных ур-ий с этим случаем разобрал у меня каждый раз упрощались куб. корни до целого\рационального. Но утверждать, что это всегда работает, я пока что не могу. Составьте контр-пример, где в куб ур-ии есть 1 рациональный корень и D>0 (это и значит что действ. корень будет 1), но при этом в рамках формулы Кардано извлечь куб. корень из двух радикалов, чтобы получить исходный рац. корень в явном виде (используя формулу автора) невозможно!? Либо докажите в общем виде, что для радикалов в ф-ле Кардано это не работает\не всегда работает\работает только при определённых критериях. Если вы это покажете, я первый Вас поддержу. Другое дело, что мы не всегда можем заранее увидеть, что ур-ие имеет рациональный корень (целый то заметить проще) и потому не будем знать стоит ли вообще пробовать упрощать формуле. А если мы этот рац. корень и так видим то и формула Кардано с извлечением радикала по идее вообще не нужна.
@@Realalexandro там все гораздо проще, автор рассматривает только случай s + √c, но вообще-то нужно рассматривать случай s + q√c при q не только равных 1. Например, для уравнения x³ + 15x - 2954 = 0 нужно упростить радикал ∛(1477 + 603√6) который равен 7 + 3√6. Или для уравнения x³ + 21x -50 = 0 нужно упростить радикал ∛(25 + 22√2) который равен 1 + 2√2.
Люди в комментариях не понимают, что формула работает только если можно извлечь куб корень из a+✓c, а также зная что корень извлекаеться нацело, мы можем выразить а через b✓c, так как а если бы было слишком большым то и b✓c было бы больше, и значение а единственное
Если посчитать на калькуляторе, то действительно получается ровно 1 💖 Но к формулам на 4:35 есть вопросы, т. к. простая постановка произвольных чисел (например, 1; 1; 1) тут же опровергает равенства ;) К тому же параметр а не может исчезнуть.
А нет таких формул. Если выражение под кубическим корнем есть полный куб, то корень получится убрать. Если нет - нет. в данном случае 44 + 18*sqrt(6) = (2 + sqrt(6))^3. Потому и извлекается хорошо кубический корень.
Подскажите,пожалуйста: в переходе t^2 * [(t+2)^2] = t^2 + 2t^2 используется свойство a^n * b^n = (a*b)^n ?? Не очень понятно,ибо у t переде скобкой вторая степень,а в скобке первая - степени не одинаковые. Если "раскрыть" скобку,получится (t^3+2t^2)^2,а тут получилось так,будто скобку умножили на t^1...Спасибо
Если я правильно понял ваш вопрос про раскрытие скобки путём умножения t^2*(t+2) и в дальнейшем возведения ВСЕГО произведения в квадрат, то так делать нельзя т.к. по приоритету арифм. операций возведение в степень стоит выше\раньше операции умножения. Т.е. если вы хотите раскрыть скобки умножив вторую скобку на t^2, то сначала ДОЛЖНЫ раскрыть эту вторую скобку, произведя возведение (t+2) в квадрат и только потом умножать, а иначе получается, что вы под второй квадрат (как бы общий) вносите t^2 вместо t т.е. самопроизвольно домножаете всё произведение на t, что не верно! Отсюда правильно раскрывая скоби получите многочлен 4й степени, который при сворачивании в обратную сторону будет являться полным квадратом выражения [t*(t+2)]: t^2*[(t+2)^2] = t^2*[t^2+4t+4]= t^4+4t^3+4t^2 = t^2*[(t+2)^2]= [t*(t+2)]^2 = (t^2+2t)^2. Поэтому у автора всё правильно написано.
4:29 не верится. Слева кубический корень, справа квадратный. Подставив a=b=c=1, получаем слева ∛2, а справа 3/9+1. Иррациональное число равно рациональному? 4:34 и оба они ещё и равны единице, а из выражения исчезла буква a.
Число c должно быть не извлекаемым из корня. У вас же с равно 1, а корень из 1 равен 1. А значит у вас будет корень(a+b), так как с уходит. Поэтому у вас и не получилось
@@HopeOfMankind_ , зачем доказывать, когда док-во и так уже опубликовано автором в ТГ? Достаточно просто поискать в нём ошибку! ;) Тут народ никак не может понять, что a, b, c для этого "хитрого" извлечения куб. корня из вложенного радикала НЕ ПРОИЗВОЛЬНЫЕ параметры!!!, которые можно менять не зависимо друг от друга. a, b и с получаются из коэф. куб ур-ия, и их величины взаимозависимы, поэтому бессмысленно строить контрпримеры на конкретных цифрах, если эти цифры (a, b и с) не посчитаны на базе коэффициентов p и q для куб. ур-ия канонич. формы y^3+py+q=0 (которое всегда можем получить из общего вида ax^3 + bx^2 + cx +d =0 через замену x = y- b/3a). Короче говоря, пускай сомневающиеся ищут ошибки в общем док-ве, потому что играть произвольными значениями a, b, c в данном случае не корректно :)
