¡Hola a todos y todas! En este vídeo se obtiene el valor exacto para una sucesión de raíces encajadas de forma sencilla. ¡Espero que os guste! Instagram: @mates.mike Twitter: @mike.mates
*Me:* *Russian speaker who doesn't know Spanish and hates mathematics *RU-vid:* "Here, get a Spanish math video. How would you rate this recommendation?"
Yo antes pensaba ingenuamente que obtener un resultado finito era suficiente para justificar que un límite convergía, pero no es así porque si diverge, puedes emplear manipulaciones injustificadas que den algo finito, con lo cual realmente no "obtienes" algo finito. Un ejemplo es el truco de resolver x^x^x^… = 2, que puede escribirse como x^2 = 2, o bien x=√2. Pero es que si escribimos x^x^x^… = 4, con el mismo truco también nos da x=√2, lo cual no es posible porque entonces 2=4, que no es verdad. Lo que ocurre es que en el segundo caso, esa pila de potencias no converge, con lo cual no la podemos identificar con un valor finito como 4.
Que canal tan genial. Es como MindYourDecisions pero en español y por supuesto, tiene lo suyo. Espero que subas mucho más contenido de este tipo con problemas interesantes como este.
Podrías hacer contenido también explicativo? Por ejemplo de integrales, derivadas, sucesiones, límites ... Y, por otro lado, más ejercicios de Olimpiadas Matemáticas. Gracias
la otra manera de hacerlo es asi : E=(1+(1+(1...)^1/2)^1/2)^1/2, E=(1+E)^1/2, E^2=1+E, E^2-E-1=0, aplicando la formula general de x=(+-b+(1-4ab)^1/2)/2a , te da el resultado: E=(+-1+5^1/2)/2, pero la resolucion aplicando analisis matematico es correcta de igual manera y explicado a profundidad. .
Me imaginaba que iba a salir el número áureo, yo trabajo haciendo cuadrados portaretratos y de pinturas y a la mayoría de los clientes les gusta esa proporción en las dimensiones de los cuadros.
Te la piden por la "fama" del número áureo y proporción. Si le dieras algo ligeramente diferente ni lo notarían o incluso algunos quizá les gustara más. Es lo que habrán oído/aprendido
@@nuassul no. Escogen algo parecido. Que la proporción aurea se acerque es otra cosa. No es que les guste la proporción áurea en si, si no que la proporción áurea se acerca a las proporciones que les gustan. Sin saberlo no escogerán la proporción áurea. Escogera una proporción, la p. Áurea se acercará, pero muy difícilmente será la que haya escogido. Entonces, les gusta la p. Áurea o simplemente la p. Áurea se acerca a sus gustos (que no quiere decir 'SEAN sus gustos'p
Me salió la respuesta en 3 minutos pero yo asumí que era el límite superior ya que probé reemplazándolo y no se me hacía sentido que saliera negativo ya que se tienen solo sumas. Tu demostración con límites me permite sustentarlo. Buen vídeo.
Hola, como estas mike? tengo una pregunta que me surge viendo tu video. En el minuto 2:42 cuando dices de elevar ambos lados del igual al cuadrado, por qué al lado izquierdo del igual solo elevas el a sub n? si elevas a ambos lados, al lado izquierdo debería quedarte un binomio al cuadrado, es decir an^2 + 2an +1. Corrígeme si estoy pasando algo por alto por favor, y muchas gracias! excelente video!
Gracias por el vídeo, no se me ocurrió como plantear una sumatoria, ni una pitatoria, por eso me causó curiosidad. Podrías traer cosas interesantes con matrices :D?
Siempre resolví ese problemas simplemente reemplazando parte de la ecuación infinita por el resultado y luego elevando l cuadrado pero nunca puse en duda si efectivamente el limite existía.
Interesante forma de resolver este ejercicio. Toda la belleza de la matemática expresada en este ejercicio es lo que más me ha encantado. Muchas gracias.
Una pregunta, por qué en el 2:39 en la expresion de la izquierda solo se eleva al cuadrado el "a sub n" y no junto con el 1? O es que hay algo que se me está escapando? Llevo bastante sin dar matematicas y suelo pasarme por tus videos de vez en cuando porque me parecen entretenidos, pero no puedo parar de preguntarmelo 😅
El 1 que mencionas solo representa la posición del término. O sea, el primer término es a sub 1, el segundo es a sub 2, el que está en la posición 30, es a sub 30... El que está en la posición n, es a sub n, por lo tanto el que está en la posición n+1, es a sub n+1, y ese el el término del lado izquierdo. Entonces al elevar, estás elevando el término que está en la posición a sub n+1 al cuadrado. Por eso queda el término de la izquierda sólo al cuadrado y en la derecha se eleva toda la expresión.
La solución, el adorado número áureo. Me recuerda que en la Copa del Mundo de fútbol celebrada en España en 1982, todos los terrenos de juego se limitaron a las mismas dimensiones: 105x65 metros. La proporción corresponde con mucha aproximación al número de oro.
Pues la raíz infinita se puede expresar como a = √(1 + a) Ya que sustituyendo a en el miembro derecho de la ecuación sale la expresión de la raíz infinita. Lo curioso es que esa ecuación tiene 2 soluciones, dependiendo a si se refiere a la raíz cuadrada principal o a la otra. Esta solución no requiere de saber límites para poder responderse, sin embargo tiene una especie de confianza ciega en que la pregunta tiene sentido. Debido a que si se quiere usar para conocer la suma infinita 1 + 2 + 4 + 8 + .... Sale que la suma es -1, lo cual no tiene sentido :P (la ecuación sería a = 1 + 2a)
Yo lo solucioné así: x=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+…))) x^2=1+sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+…))) Como x ya la habíamos definido como x=sqrt(1+sqrt(1+sqrt(1+…))); Podemos decir que: x^2=1+x x^2-x-1=0 (Aplicamos Fórmula General) x=(1+-sqrt(5)):2 Descartamos resultado negativo; x=(1+sqrt(5)):2 x= Φ
Este video me encanta, porque me recuerda a algo que hice hace unos años. Me propuse encontrar una expresión cuyo límite fuese π, pero usando sólo el teorema de Pitágoras. El resultado fue muy bonito: lim_(n→∞) 2ⁿ * √(2 - √(2 + √(2 + √(2 + ...)))) = π Esta expresión viene de calcular la mitad del perímetro de polígonos regulares de 2ⁿ lados, inscritos en una circunferencia de radio 1. Para n=1 tendríamos un cuadrado de lado √2. Para n=2 tendríamos un octógono de lado √(2-√2). Para n=1 tendríamos un hexadecágono (16 lados) de lado √(2-√(2+√2)). Nota: Dentro de la raíz tiene que haber n doses. Para n=1, la raíz es √2 Para n=2, la raíz es √(2-√2) Para n=3, la raíz es √(2-√(2+√2)) Y así sucesivamente. Buen video!!
Podrias haber llegado al resultado en solo dos lineas: nota que lo que dentro de la raiz externa lo que esta sumando al uno es lo mismo que lo que queremos calcular, asi que A=(1+A)^(1/2), y ahi resolves y encontras A. O esto no es matematicamente riguroso? Un fisico lo resolveria de esta manera que dije.
No entiendo nada de los videos pero soy feliz viéndolos
Месяц назад
Yo arranqué llamando H a esta ecuación en honor a mi hija Helena. Luego elevé ambos miembros al cuadrado por lo que de un lado me quedó H² y del otro se cancela la raiz con el exponente quedando 1 + la ecuación infinita, o sea 1 + H. Reorganizando todo de un lado queda H² - H - 1 = 0 y de aquí ya todos sabemos como llegar a ɸ.
que ocurre si agarro y escribo raiz de 1 + el numero de oro. ¿en ese caso no estaria generando un valor superior y por ende haciendo que la suma dejara de converger?
Hay un paso q no queda claro. Para resolver la ecuación cuadrática supuso que an y an+1 es la misma x, pero an+1 es la raíz encajada más un término adicional a an. Puedes Mike justificar esto en el infinito?
Aún más rigoroso sería considerar el caso en donde a(0) es un número real arbitrario en el dominio de la función f : {x : x = -1 o x > -1, x en R} -> R con f(x) = raíz(1 + x), & demostrando que el conjunto de valores de a(0) para el cual a(n) diverge tiene mesura Lebesgue 0. En este caso, hay que tomar en cuenta que f(x) = x implica x^2 = x + 1, & por ende, x = φ o x = -1/φ. Ya que f(x) > 0 o f(x) = 0, x = φ es el único punto fijo. Ahora vale considerar el caso x > φ. Esto implica que f(x) > f(φ) = φ, puesto que f es monotónicamente creciente en x. Por otra parte, esto también nos dice que x < φ implica f(x) < φ bajo el mismo argumento. Estos argumentos nos indican que si a(0) < φ, entonces a(n) < φ implica a(n + 1) < φ, por lo que se puede concluir que a(n) < φ es cierto para todo n natural. El mismo argumento implica que si a(0) > φ, entonces a(n) > φ para todo n natural. Ahora lo único que hay que demostrar es que si a(0) < φ, entonces a(n) < a(n + 1) para todo n natural, & a(0) > φ, entonces a(n) > a(n + 1) para todo n natural. Considera g(x) = x - f(x). Entonces g'(x) = 0 implica 1 - 1/[2·raíz(x + 1)] = 0, implicando 2·raíz(x + 1) = 1, equivalente a x + 1 = 1/4, equivalente a x = -3/4. Si x < -3/4, entonces 2·raíz(x + 1) < 1, así que g'(x) < 0. Si x > -3/4, entonces g'(x) > 0. Así que g(x) < 0 para x < φ, & g(x) > 0 para x > φ, equivalente a que x < f(x) para x < φ, & x > f(x) para x > φ. Directamente, esto implica que si a(0) < φ, entonces a(n) < a(n + 1) para todo n natural, & en combinación con que a(n) < φ para todo n natural, esto implica que lim a(n) (n -> ♾) existe si a(0) < φ. Adicionalmente, si a(0) > φ, entonces a(n) > a(n + 1) para todo n natural, & combinado con que a(n) > φ para todo n natural, esto significa que lim a(n) (n -> ♾) existe si a(0) > φ. Por ende, lim a(n) (n -> ♾) para todo valor de a(0) en dom(f). Entonces, ya que lim a(n + 1) (n -> ♾) = lim f[a(n)] (n -> ♾) = lim a(n) (n -> ♾), & ya que f es una función contínua para todo x en su dominio, se puede concluir que lim f[a(n)] (n -> ♾) = f[lim a(n) (n -> ♾)] = lim a(n) (n -> ♾). Ya que el punto fijo de f es x = φ, esto implica que lim a(n) (n -> ♾) = φ.
hace casi 50 años participé en la oloimpiada matemática. No me fue mal del todo, pero al final me decidí por una Ingenieria. Hoy, aun jubilado, sigo jugando con matemáticas. Yo hubiera hecho E = SQR(1+ Sqr (1+...) etc. Con elevar al cuadrado tenemos E2 =1+E, ecuacíon de segundo grado cuya raiz positiva es, precisamente (1+sqr(5))/2 Sería incorrecta esta resolución? Saludos
Pregunta. ¿Es posible obtener una fórmula para el término general "n" de esta sucesión sin recurrencia, es decir, sin que dependa del término "n-1"? Gracias por la respuesta
Ses, pero lo que te permite hacer eso es la rigurosidad expuesta aquí :v, es decir, si el límite no existiera, no podrías solo hacer eso: Ej. (x^x^x^x^...) = 4, se puede notar qu x^(x^x^x^x^...) = 4, lo que está entre paréntesis también es igual a 4, luego x^(x^x^x^x^...) = 4, x^4 = 4, x^2 = 2 , x = √2 Eso esta muy bien, pero ahora intenta con x^x^x^x^.... = 2, usando el mismo truco de que x^(x^x^x^x^...) = 2, y pues esto significa que x^2 = 2 x = √2 Emmm.. ¿que paso con llamar a toda la expresión x? ¿Porque ambas dieron el mismo resultado? Por razones como esa hay que ser riguroso. Solo puedes "Reemplazar" si ya sabes que el límite existe
Es exactamente lo que hizo, pero como se saltó una parte importante de la demostración, después volvió a la parte más interesante: demostrar que el límite (tu y) existe mediante el teorema de series estrictamente crecientes y acotadas.
Cómo probarías que y=√(1+y)?, Tendrías que probarlo para hacer ese gran paso, aunque es lo que comúnmente se hace para resolver este tipo de problemas.
Estuvo correcto el Análisis Matemático del Problema, aunque para la pregunta "Cuánto Vale √(1+(√1+(√1+....)))" fue Interesante pero muy Innecesario. Mejor se hubiera formado la Ecuación Cuadratica y aplicacion de la Fórmula General. Buen Ejercicio para aplicar el Razonamiento Crítico. Espero que te pases por mi Canal, también resuelvo Ejercicios Interesantes de Matemáticas y Física. 🇵🇪📚👍
he visto que muchos tienen esta duda. cuando vemos an+1, ese n+1 es un coeficiente. Asi a_(n+1). imaginen como la parte chiquita que esta abajo a la derecha de una variable.
Si definimos S como la sumatoria, cuando tiende a infinito la forma más simple probablemente es plantear el problema como (1+S)^0,5 = S, cuya solución en los reales es S = (1+5^0,5)/2. Menos elegante pero funciona igual.
El video ha estado muy interesante, pero para resolver eso existe una manera mucho mas facil: Supongamos que N=√(1+√(1+√(1+√(...)))) Entonces le sumo 1 y a todo le saco la raiz cuadrada √(N+1)=√(1+√(1+√(1+√(1+√(...))))) Pero le de la derecha sigue siendo N asi que reemplazando √(N+1)=N Al elevar al cuadrado: N²=N+1 N²-N-1=0 Al final despejando se obtiene una cuadratica y usando la formula general obtienes el mismo resultado.
Hizo exactamente eso si no te fijaste bien, el problema es que tú asumes que N es un número, y como bien lo explicaron en el video, hay que demostrar que el N no es infinito, es decir, que el límite existe
Como que el limite cuando n infinito de an+1 al cuadrado igual a limite cuando n infinito de 1+an es igual a x al cuadrado igual a 1+x???? Si el limite de n infinito de an es x. No entiendo.
Una pregunta. No entendí la parte en la que aplicando los límites de n tiende al infinito de ambos lados de la igualdad da una ecuación cuadrática. Alguien me ayuda porfa?
La idea es que el límite converge por más que sigas la serie, es decir, a_n y a_(n+1) son iguales o prácticamente iguales cuando n es un número grande (infinito). Él define ese límite como 'x' de manera que si haces el límite de cualquier 'a_(n+algo)' para una 'n' grande (pongamos 1000 o yo que sé) este da 'x' sin importar mucho el valor del 'algo'. A la izquierda tiene lim n->inf de (a_n+1)^2 que será ese valor que buscamos 'x' al cuadrado: x^2 A la de recha tiene lim n->inf de (1+a_n) que será '1+x' ya que por mucho que crezca 'n' 1 sigue siendo 1 y el 'a_n' pues lo mismo que antes pero ahora no tiene cuadrado. Entonces: x^2=1+x
Se que el video es antiguo. Antes de ver el video lo que yo haria es igualar a x como es infinita termina quedando sqrt(1 + x) = x y solo despejo y me queda el numero aureo.
