Биссектрисы трапеции | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин ! 

Осторожно, спойлер! Биссектрисы трапеции Если вы хотели, но ещё не успели посмотреть шестое занятие курса по подготовке к заданиям 12-19 ЕГЭ по математике -- foxford.ru/courses/940/landing?ref=p308_yt& -- не смотрите это видео!

Борис Викторович, у меня к вам просьба. Я в последнее время очень часто вижу, как некоторым школьникам бывает трудно в школе. Они хотят учиться, но не могут. Выходом в подобной ситуации было бы перейти на семейное образование. Но дело в том, что, во-первых, многие об этом не знают, во-вторых, для этого требуется разрешение родителей. А родители чаще всего либо относятся к этому скептически, мол, все в школу ходят, а ты в компьютер будешь играть, либо категорически против. Не могли бы вы записать видео про это? Вы бы поучаствовали в просвещении граждан России насчет видов образования, а школьники, которые знают об этом, могли бы показывать вас своим родителям, как авторитетное мнение

Как же здорово! Даже школьная геометрия завораживает...)

Шикарно! Спасибо большое!

Я решал другим способом. Обозначим требуемое расстояние между левой и правой точками пересечения биссектрис через х. Используем тот факт, что любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Это значит, что левая точка пересечения биссектрис равноудалена от левой боковой стороны и от верхнего основания, а с другой стороны она равноудалена от левой боковой стороны и от нижнего основания, а значит, она равноудалена от верхнего и от нижнего основания, т.е. отрезки, соединяющие эту точку с основаниями трапеции равны по половине высоты трапеции каждый равны расстоянию от этой точки до левой боковой стороны трапеции. По той же причине правая точка пересечения биссектрис равноудалена от оснований трапеций и от правой боковой стороны трапеции, и эти отрезки равны тоже по половине высоты трапеции каждый. А это значит, что все шесть отрезков (расстояния от левой точки пересечения биссектрис с основаниями и с левой боковой стороной и расстояния от правой точки пересечения биссектрис с основаниями и правой боковой стороной) равны между собой и равны половине высоты трапеции. Обозначим это расстояние через y. Теперь соединим левую точку пересечения биссектрис с вершинами углов при левой боковой стороне и правую точку пересечения биссектрис с вершинами углов при правой боковой стороне, а также левую и правую точки пересечения биссектрис. Получим, что трапеция состоит из двух треугольников и двух трапеций, значит, сумма площадей всех этих фигур равна площади исходной трапеции. У левого образованного треугольника одна из сторон равна с - левой боковой стороне исходной трапеции, а высота, проведённая к этой стороне, равна y. Значит, его площадь равна S1 = (1/2)cy. По той же причине площадь правого треугольника равна (1/2)сy. У верхней маленькой трапеции основания равны a и x, а высота - y. Значит её площадь равна (1/2)(a + x)y. По той же причине площадь нижней маленькой трапеции равна (1/2)(b + x)y. Поскольку высота исходной трапеции равна 2y, то площадь исходной трапеции равна (a + b)y. Если составить уравнение, связывающее площади всех фигур, то в нём y сократится, а из оставшегося линейного относительно х уравнения лего найти x = ((a + b) - (c + d))/2.

Как все просто и красиво получается! Получила удовольствие от просмотренного видео! Спасибо, Борис, что делитесь такими понятными и простыми объяснениями!!!!

Шикарно, спасибо!

Все на высшем уровне. Было бы неплохо на самом деле разобрать сложные задачи из ЕГЭ,прям запас смертника

Спасибо , интересная задача !

Спасибо, Борис Викторович, классненько

Борис - красссссавчик!!!

Весьма занимательно, что если сумма боковых сторон трапеции равна сумме ее оснований, то все биссектрисы этой трапеции пересекутся в одной точке

Глядя на мир, нельзя не удивляться. Козьма Прутков. Спасибо, Борис, за доставленное удовольствие!

Класс!

Спасибо, а я не так решил. п. 1. Пусть дана трапеция ABCD, построим биссектрисы углов A и D, пусть точка их пересечения F, так как любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла то точка F равноудалена от сторон угла BAD, но в тоже самое время точка F равноудалена и от сторон угла ADC из чего, в свою очередь, следует что точка F равноудалена от оснований трапеции AB, CD и её боковой стороны AD, а так же принадлежит её средней линии MN. Аналогичными размышлениями доказываем факт и для точки G, в которой пересекутся биссектрисы углов B и C. п. 2. В процессе доказательства п. 1. мы уже построили расстояния от точек F и G к основаниям трапеции. Так как основания являются параллельными прямыми то мы получили некоторый прямоугольник, в котором нам требуется найти отличную от высоты трапеции сторону, назовем её х. Переместим все элементы треугольника GBC, параллельно MN таким образом что бы F совпала с G (на величину отрезка х). Тогда мы получим некоторую трапецию AB_1C_1D, в которой C_1D=СD параллельны, а основания равны AB_1=AB-x, C_1D=CD-x, но, так как в получившейся трапеции все 4 биссектрисы пересекаются в 1 точке, то она описана и суммы противоположных сторон равны друг другу: DA+BC=AB-x+CD-x => x=[(AB+CD)-(DA+BC)]/2. Касательно модуля, с одной стороны я с Вами согласен, но отрицательное значение полученного отрезка показывает нам что треугольники образованные биссектрисами пересекаются, а положительное, что нет. То есть, в данной конкретной формуле, помимо числового значения заложен дополнительный смысл, потому в ответе модуль должен быть однозначно, так как требуется найти величину отрезка, а вот в самой формуле я бы модуль не добавлял. Спасибо за задачу.

Спасибо, господин Трушин

Круто

Биссектриса проходит через центр вписанной в угол окружности. И это значит что ее центр находится на средней линии трапеции

Здравствуйте, Борис Викторович, не могли бы вы посоветовать какое-нибудь хорошее пособие для подготовки к 19 задаче ЕГЭ?

Привет, можешь в каком-нибудь видео рассказать о том где ты учился и чем занимаешься? Очень интересно будет посмотреть)

Просто вариант: продолжить верхние биссектрисы до пересечения с b , получатся равнобедренные треугольники со сторонами с и d, еще более все очевидно.

То чувство, когда тебе в 9 классе дают такие задания решать, но в школе не объясняют

А, это работает в обратную сторону?ну, типа: если диагонали трапеции пересекаются под прямым углом, то диагонали есть биссектрисы углов трапеции.

Почему средняя линия ромба проходит через точку пересечения биссектрис ромба?

2:50 почему эта точка находится в середине ромба?

Отвратительный звук дисклеймера.

Настоящая грловоломка..????