Артем Бояринцев прислал решение в комменты к ролику Геометрия Задача-ловушка.
Обозначим левую точку как A, а правую как B. Задача: построить центр M отрезка AB циркулем.
Для начала попробуем построить ещё одну точку на прямой AB.
Построим две окружности с центрами в точках A и B и радиусами AB. Эти окружности пересекутся в двух точках (назовём нижнюю точку F, а верхнюю - G. Проведем из точки F окружность радиусом FG. Эта окружность пересекает окружность с центром в точке B в двух точках (одна из них - G, другую обозначим как C). Докажем, что C лежит на прямой AB.
Очевидно, что искомая точка M является центром отрезка FG, а FG перпендикулярен AB (треугольники ABF и ABG - равносторонние с общей стороной AB, а FM и GM - их медианы и высоты, соответственно FM = GM). В треугольнике FGC, FG и FC являются радиусами одной окружности c центром в точке F. А если построить окружность с центром в точке G и радиусом GF, тогда FG и GC будут радиусами одной окружности. Следовательно, FG = FC = GC, а треугольник FGC - равносторонний. MC - высота треугольника FGC, поскольку является его медианой. AB и MC - перпендикуляры к одной точке одной прямой FG, значит лежат на одной прямой, и C принадлежит AB.
Построим окружность с центром в точке C и радиусом CA. Она пересечёт окружность AB в двух точках. Обозначим верхнюю как D, а нижнюю как E. Построим окружность с центром в точке D и радиусом DA и окружность с центром в точке E и радиусом EA. Эти окружности пересекаются в точке A и ещё одной точке (обозначим её как M'). AE = AD (радиусы) и DM' = EM'. Треугольники ADM' и AEM' равны по трём сторонам, соответственно равны и их высоты, а значит D и E равноудалены от AB, и M' принадлежит AB.
Треугольник ADC равнобедренный, так как AC и DC - радиусы одной окружности. Треугольник ADM' также равнобедренный, так как AD = DM' (радиусы). У треугольников ADC и ADM' общий угол при основаниях, соответственно они подобны. AD относится к AC так же, как AM' относится к AD, при этом AC = 2(AD), поскольку AC = 2(AB). Значит, AM' относится к AB как 1 к 2, то есть M' и есть искомая точка M.
20 сен 2024
