Длина параболы и спирали Архимеда: что у них общего? 

спасибо за отзыв! рад, что понравилось!

сейчас пока не планировал из этого раздела делать.

да, именно так в определении интеграла. но у меня ж тут не строгий вывод, а "набросок", для интуитивного понимания, я опустил эти моменты для краткости :) кого заинтересует, всегда найдет более строгие выводы в книгах.

@@Hmath а разве это не одно и то же: количество хорд стремится к бесконечности, или длина наиболее длинной стремится к нулю?

ну не совсем, представьте, например, что сначала взяли хорду на половину дуги, а на 2ой половине взяли бесконечное число хорд - тогда все вместе тоже будет бесконечное число хорд, но явно же что-то не то :)

можно вообще обойтись без хорд, взять курвиметр

можно вообще обойтись без хорд, взять курвиметр

c площадью поверхности есть разные видео: 1) площадь поверхности вращения: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-7RYOAuZY5gk.html 2) более общий пример на площадь поверхности: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-i3Z3PzNzYig.html 3) более простой пример с площадью части сферы внутри цилиндра: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-n7FPImQvvyQ.html

@@Hmath В тех видео, насколько я помню, Вы используете готовые формулы. Может быть, как-нибудь, если получится, расскажете про вывод этих формул (или частного случая для прямоугольной системы координат)... Просто предложение....)) З.Ы. Про третий том Фихтенгольца я знаю. Хотел услышать от Вас.

"Антипроизводная" и "первообразная" - это просто разные обозначения одного и того же понятия: первообразная - такая функция, производная которой на всей области определения равна заданной

По определению, не более. Функция F является первообразной функции f, если производная F - это функция f. Иными словами: если мы возьмём функцию, как-то вычислим первообразную (интеграл), затем от неё возьмём производную, то получим нашу же функцию. На основе этого определения выводятся формулы интегралов некоторых функций (просто перевернутые формулы производных), подобным образом выводятся и методы интегрирования (посмотри про "Замена переменной в интеграле" и "Метод интегрирования по частям", если интересно в этом разобраться). А потом доказали, что площадь под графиком функции - это и есть разность значений первообразной на данном промежутке. Есть формальное доказательство, но я люблю приводить достаточо простое: Пусть у нас есть функция y=f(x) Значение производной в точке = Δy / Δx (по определению). Рассмотрим маленький примежуток Δx -> 0 и назовём его dx. Тогда на всём промежутке (потому что он очень маленький) значение производной - dy / dx, а площадь под графиком на этом кусочке: dx * (dy / dx) = dy, потому что dx - ширина, dy / dx - высота этого кусочка (считаем как площадь прямоугольника). Тогда остаётся лишь Δy. Таким образом "площадь под производной" - это "игрек в конечной точке минус игрек в начальной точке". Чтобы найти площадь под нашей функцией нам всего лишь необходимо найти такую функцию, чтобы наша была её производной (как раз таки то, что ты и спрашиваешь, найти первообразную), а затем посчитать F(b) - F(a). И вот как раз это свойство (что площадь - это интеграл) можно расширять, вот показанным автором методом можно находить длину кривой и т. д.

это определение первообразной. как оно может быть "доказано"? :) это просто то, что означает само слово "первообразная". т.е это как справшивать: "почему кошка называется кошкой?" да просто потому, что так решили называть и всё :)

@@vintik1688 да спасибо, то что нужно было. Перед вопросом стоило погуглить доказательство формулы Ньютона-Лейбница, извиняюсь(

Первообразная, функция и производная это по сути тоже, что бабушка, мама и дочка. Мама - функция. От кого она произошла ? От бабушки - от первообразной. От неё кто произошёл - дочка, производная. А если дочка рано родит, то будет производная второго порядка.

да, я сначала сделал видео и выложил, а потом уже подумал, что этот результат можно обобщить на довольно произвольную функцию :) Но, как видите, только через почти 2 года кто-то мне такой комментарий написал :)

Как получить криволинейку: Деформируйте линейку на некоторый угол альфа..