Мальчик Юра! 39 лет. Инженер-математик по образованию. Давно в IT работаю. А задачку не решил без подсказки. Хотя раньше отличником был всегда по всем математикам. После подсказки о коэф подобия конечно решил. Но как заставило работать мозг, какой я СНОВА испытал азарт. Спасибо большое за такие великолепные задачки! 👍👍👍
Мальчик Виталя, 40 лет, ни разу не математик, но в школе и институте знал её и понимал на отлично) Решил неправильно)) Посмотрев понял, что правильный ответ бы не смог найти))
@@mathbox118 такие задачи там нужны в 0.01% случаев. Большинство просто работает с базами, фреймворками и им не нужна ваша математика чтобы рубить бабло
Проводим горизонтально сторону прямоугольника через точку пересечения отрезков. Площадь полученного нижнего прямоугольника 16. Остался верхний. Из подобия выяснили, что его высота в два раза меньше нижнего прямоугольника, а поскольку горизонтальная сторона у них общая, то и площадь будет в 2 раза меньше - 8. Таким образом общая площадь 16+8=24
@@АлександрБ-н3т Опускаем высоту на основание равнобедренного треугольника, который образует два равных прямоугольных треугольника с площадями 4. И обнаруживаем что все 4 полученных треугольника равны. Получаем площадь 4*4=16
В школе очень любил математику. Но уже давно забыл, что в ней есть какие-то коэффициенты, какие-то правила, хитрости. Поэтому , спасибо, что показываете и учите ! Смотрю и наслаждаюсь.
Можно еще проше. Нижняя половина, которая содержит треугольник 8, ее площадь равна 16 (пл. треугольника х 2). Коэфициент подобия 1/2, значит верхняя половина в 2 раза меншьше (по высотам треугольников), значит ее площадь равна 8. 16 + 8 = 24.
Спасибо огромное за Ваши задачи-головоломки, всегда решаются красиво и элегантно. С удовольствием смотрю Ваши видео и погружаюсь в мир математики, хотя и школу, и институт давно окончил!
Если учитывать, что треугольники равносторонние , то задача в уме решается . В конце только корень из 32(ширина) надо умножить на корень из 18(высота).
Если достроить трапецию и воспользоваться известным свойством (площадь боковых треугольников, образованных диагоналями трапеции, является средним геометрическим площадей треугольников при основаниях), получится что площадь половины прямоугольника (как сумма нижнего и одного из боковых) равна 8+√(8·2) = 12.
@@СлавКПСС Если у треугольника и прямоугольника одинаковые основания и высоты, то площадь прямоугольника в два раза больше известной (8+4) площади треугольника. Вот, у меня получилось найти.
А если трапецию достроить до треугольника, то несложно заметить, что линии - медианы(в точке пересечения 2:1). И легко заметить, что площадь треугольника=площади прямоугольника. А потом (8+4)*2
Можно проще, в точке соприкосновения вершин треугольник провести горизонталь, которая делит прямоугольник на две части, площадь нижей части - 8*2 = 16 т.к. Там укладываются 2 треугольника по 8 квадратов. Т.к. Верхний треугольник в 2раза меньше нижнего по линейным размерам, то его верхняя грань = половине верхней стороны прямоугольника. Значит верхний треугольник укладывается в верхней половине прямоугольника 4 раза т.е. Площадь верхней половины = 2*4 =8 Площадь всего прямоугольника складывается из двух частей: 16+8 =24
@@chilokolich175 я её уже скидывал, но может не заметили или не понравилась, она такая немного физического плана, задумка интересная но исполнение не факт что понравится, но старался подогнать как мог 😄 Такая осенняя задачка 😊 Шёл домой с работы высокий и статный математик, с два метра роста (2м как величина). Задумавшись, остановился в нескольких шагах от лужи шириной 2.4 м, в еë отражении увидел свой дом и своë окно 6 этажа, а так же окно своего товарища физика, живущего ниже, на 3 этаже. Так совпало, что границы лужи шли строго на начале одного окна и конце другого. Помогите математику рассчитать, сколько метров ему осталось до дома. Высота окна 1.5 м, расстояние между землёй и первым окном как и между окнами этажей 2 м. P. S. Ответ пока убрал)
второй раз вижу тут задачку, где можно использовать принцип подбора параметров. ведь можно подобрать такой прямоугольник при котором треугольники будут прямоугольны. а там уже в уме можно решить.
@@dmitryzklb4030 вы не решили задачу, если в вашем решении треугольники прямоугольные. Это лишь один частный случай. А не решение исходной задачи вцелом
@@АлександрБ-н3т окей. Возьмем произвольный треугольник, сдвинем его основание от противолежащей вершины так, чтобы площадь треугольника стала равняться 8. построим от этой вершины "вверх" два луча, идущие по боковым сторонам исходного треугольника. линией, параллельной основанию образуем верхний треугольник с площадью 2. построим прямоугольник с одной стороной, равной основанию первого треугольника, и противолежащей равной стороной, лежащей на основании верхнего треугольника. все. все условия соблюдены. при любом первоначальном исходном треугольнике условия те же. то есть треугольник может быть хоть равнобедеренным, хоть прямоугольным, хоть произвольным. по условию площадь его будет одна и та же. иначе же получается что при одних и тех же начальных условиях возможны разные площади. а это уже не задача.
Девочка Лена, 50 лет. Решила сразу и без уравнений. Я просто покрошила всю фигуру на треугольники с площадью 2. В треугольник 8 треугольник 2 укладывается 4 раза. Оставшаяся фигура так же красиво режется. Получается 9 целых треугольников и 6 половинок. Архитектор по образованию. Мне проще чертить.
Из подобия следует, что если вершину большого треугольника поместить на верхнюю грань прямоугольника, его площадь увеличится в 1.5 раза и станет =12. А площадь прямоугольника в 2 раза больше, те 24.
Задача решается для ПРОИЗВОЛЬНЫХ подобных треугольников, главное, чтобы площади были 8 и 2 ! 1ый треугольник с основанием 4 и высотой 4, площадь = 8. 2ой треугольник с основанием 2 и высотой 2, площадь = 2. Высота прямоугольника 4+2=6. Ширина прямоугольника 4. Площадь прямоугольника 4*6=24.
А вот подобная задача по стереометрии. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Внутри него выбрана точка O и проведены прямые AO, BO, CO и DO до пересечения с плоскостью A1B1C1D1 в точках A2, B2, C2 и D2, соответственно. Объёмы пирамид OABCD и OA2B2C2D2 равны 27 и 1, соответственно. Найти объём параллелепипеда. И пусть Земсков обобщит эту задачу для любой призмы.
Эх, Пётр, учитель с Большой буквы, наслаждаюсь всегда вашими видеороликами, вас бы к моей доче учителем математики, да любым учителем, а то тут в Германии (не знаю как в России) детей ничему нормально не учать, берёшь youtoob и сам обучаешся, интереса никакого к наукам не прививают, а жаль. Если сравнить уровень советской школы (звкончил её в 1990г) и то что сейчас дети "учат" , то это как "море знаний" и лужица не знаний. У меня Всё.
@@TROUTASP добрый день. Через точку соприкосновения треугольников провести линию параллельно длине прямоугольника. Получатся два прямоугольника. В нижнем: сумма площадей двух "боковых" треугольников = площади "центрального". То есть, площадь нижнего прямоугольника: 8+8 = 16 Треугольники 2 и 8 подобны. Площадь нижнего больше площади верхнего в 4 раза. Значит, высота верхнего треугольника меньше высоты нижнего в 2 раза (она же высота верхнего прямоугольника) Основания у прямоугольников равны. Значит, площадь верхнего: 16:2=8 Итого 16+8=24
Как только понял, что коэффициент подобия у треугольников 1 к 2, сразу мысленно разделил исходный прямоугольник горизонтальным отрезком на два маленьких, в один из которых треугольник «2» помещается 4 раза, а в другом треугольник «8» - 2 раза. Итого 2*4+8*2=24 🙃
Можно проще. Площадь нижнего прямоугольника = 2 площади треугольника "8" (площадь треугольника же 1/2 высоты на основание, а у прямоугольника просто высота на основание), а верхнего прямоугольника = 1/2 от площади нижнего (основание одинаковое, а высота в 2 раза меньше по правилу подобия) = 8. Итого 16 + 8 = 24
Если провести горизонтальную линию через общую вершину треугольников, получим да прямоугольника с отношением площадей 1/2. Площадь нижнего вопросов не вызывает, верхний вдвое меньше.
/Привет всем любителям от проффессионала. Эх, бумагомараки, вы бы хоть комментарии читали! А то из 10 "оригинальных" решений все 10 перепевки. Кто-то "алгебру" воспевает, а ОБЩЕЕ решение для ЛЮБЫХ s1 и s2 не удостоилось внимания. Кто-то "без подобия" сумел решить и молчит, словно он Перельман неоценённый. Кто-то задачку "для 6 класса" сумел осмыслить только на пенсии (а есть и "инженеры" в полном расцвете сил, которые "не смогли", но им мозги размяли и они восхищены!). Господа, вы недоросли. Ничего личного, без обид, с математическим приветом, любители./
есть еще решение: 1) проводим прямую параллельную основанию прямоугольника, проходящую через точку пересечения вершин треугольников. 2) тогда нижний прямоугольник равняется 8*2, а верхний прямоугольник = половине площади нижнего(это идет подобия треугольников k=1/2) 3)остается сложить площади 2 прямоугольников: 8+16=24
@@MAXIMUS_15 площадь нижнего треугольника склаывается из половины произведения основания на высоту S=(h*a)/2=8, где h-высота, a-основание, S-площадь треугольника; рассмотрим прямоугольник, в котором находится треугольник с площадью 8: одна его сторона равна (h), а вторая равна (a); следовательно площадь прямоугольника: S=h*a, а площадь треугольника: S=(h*a) /2 следовательно площадь прямоугольника в 2 раза больше площади треугольника = 8*2
А я решил эту задачу почти на изи, вспомнив, что прямоугольный треугольник является половиной прямоугольника, стороны которого равны катетам данного треугольника
я вообще алгебру тут не использовал - в пэйнте перерисовал задачу, достроил больший прямоугольник, продлением диагональных линий до пересечения с продолжениями соответствующих сторон длинны "h" данного прямоугольника, получил прямоугольник, поделённый диагоналями на 4 по парно равных (по 2 сторонам и углу между ними) треугольника. Площади вертикальной пары треугольников даны, от верхнего из них линией параллельной основанию отсечён треугольник площадью в 1/4 от всей площади треугольника, вспоминаем, что треугольник делится на четыре одинаковых треугольника средними линиями, следовательно сторона "1/2а" является средней линией, достраиваем ещё 2 ср. лин., проводим высоту в данном треугольнике площади 2 к стороне "1/2а", так же поступаем с треугольником опирающимся на "1/2а" зеркально данному, обращаем внимание на новую пару треугольников, опирающихся зеркально на только что построенный отрезок из двух высот, пощади этих треугольников так же равны двум. Делим, на пример, правый большой треугольник средними линиями на 4 равных треугольника, обращаем внимание, что из этих треугольников тот, который примыкает к месту пересечения диагональных линий, образует с правым треугольником из пары, полученной на предыдущем шаге, параллелограмм, а следовательно равен ему, из чего получаем, что горизонтальные треугольники в большом прямоугольнике так же имеют площади по 8. Смотрим в верхний правый угол построения, обращаем внимание, что верхней стороне, данного в условии прямоугольника, принадлежит высота в верхнем правом треугольнике, полученном делением большого правого треугольника средними линиями, следовательно от этого маленького треугольника сторона прямоугольника отсекает половину площади, то есть единицу, а значит площади неизвестных в данном по условию прямоугольнике четырёхугольников 8-1=7. Суммируем: 8+2+7+7=24.
Решил в кои-то веки размять мозги и сперва реально подумать. Про подобие и коэффициент догадался сразу. Дальше просто: площадь ниже пересечения вдвое больше площади выше его. Просто показать, что "нижняя" площадь равна удвоенной площади большого треугольника - и вуаля: S=24. А про коэффициент подобия мне напомнил лайфхак: чтобы напоить ребенка лекарством, которое он не хочет пить, нужно уговорить его на половину стакана, но стакан взять конусовидный для мартини. При изменении линейных размеров объем конуса изменяется по кубу, поэтому половина стакана для мартини по высоте - это 7/8 по объему. Ну а площадь так же, только по квадратичной зависимости.
Мое решение получилось более геометрическим. Можно достроить до бОльшего прямоугольника так, что бы эти линии стали диагоналями. Разбить треугольники на треугольники с площадью 2 (маленькие подобные большим), а потом вычесть площадь достроенного прямоугольника. При этом вырезанные из боковинок половинки маленьких треугольников разрезанны ровно пополам по площади
Если задача справедлива для любого треугольника, значит и для прямоугольного тоже справедлива. Если исходить из того, что треугольники прямоугольные, то решается за полминуты.
Можно решить и другим способом. Проведëм через общую вершину этих треугольников прямую параллельную нижней стороне прямоугольника. Она разбивает весь прямоугольник на два: верхний и нижний. А теперь самое главное! Площадь нижнего прямоугольника в два раза больше площади внутри лежащего в нëм треугольника с площадью 8 . Почему? Давайте проведëм высоту этого треугольника. Она разобьëт нижний прямоугольник на два: левый и правый. Но в каждом из них сторона треугольника является диагональю, которая разбивает каждый прямоугольник на две равные части. Итого, в большом нижнем прямоугольнике в два раза больше таких частей. Тогда площадь всего этого прямоугольника равна 16. Дальше проводим такие же рассуждения, как из видео, чтобы узнать отношения боковых сторон верхнего и нижнего прямоугольника. Так как у них одинаковые нижние стороны, то их площадь зависит только от боковых сторон, их отношения 1/2, то есть площадь верхнего прямоугольника в два раза меньше нижнего и равна 16 : 2 = 8 . Ну и наконец-то посчитаем их сумму, чтобы найти площадь всего большого прямоугольника: 8 + 16 = 24. Ответ: 24. Как видите, ответ сошëлся. Интересно, а кто-нибудь понимает, что я пишу, кроме ответа к задаче?
Перед просмотром видео попробовал решить самостоятельно. Сразу сказались проблемы с геометрией, прорешал две системы уравнений, чтобы доказать подобие треугольников. 🙈 Хотя там же и накрест лежачие, и вертикальные...
Про коэффициент подобия площадей настолько очевидная штука, что не пришло в голову использовать в решении)) Решал "в лоб" и "вывел" коэффициент. Маленький треугольник - основание а1, высота h1, большой a2 и h2. Они подобны, почему - про углы есть в видео. Запишем что знаем: a1*h1=2; a2*h2=8; a1/a2=h1/h2 сразу обозначим a1/a2=h1/h2=х из первых двух 4*a1*h1=a2*h2 или 4*a1/a2=h2/h1 или 4*x=1/x => x=1/2 А дальше уже очевидно: площадь треугольника a*h/2, а площадь прямоугольника, в который этот треугольник вписан - просто a*h. Проводим горизонтальную линию через пересечение "диагоналей": нижняя часть очевидно 2*8=16. Сверху рисуем два перпендикуляра к нашей горизонтали из точек, где "диагонали" приходят в верхнюю сторону. Квадратик по центру - 2*2=4. Два квадратика по сторонам имеют суммарную длину a2-a1. Но a1/a2=x=1/2 => a2-a1=2a1-a1=a1)) Т.е. они тоже по площади 4. Итого 4+4+16=24. З.Ы. Спасибо, что не молчите! Так гадко видеть молчание от других блогеров, которых уважал((
// Был у вашего конкурента 'Безенчука' из похоронного бюро "Нимфа". Кисть жидковата! У вас веселее. "Нагнём" прямоугольник, чтобы получить параллелограмм с тем же основанием и стороной "лежащей на сторонах треугольников". В нём точнёхонько укладывается 12 треугольников малыхпо2, либо 2 большихпо8 и 4 малыхпо2, ... S = 24 //
Решил проще Если отразить прямоугольник вверх Образуются два треугольника площадью по 1 Значит в нашем прямоугольнике две фигуры 8-1=7 Значит площадь 8+2+7+7=24
Всегда с интересом смотрю ваши видео - у вас очень завлекательная подача информации, не останавливайтесь)) Как-то бы ваши задачи связывать с реальными ситуациями в жизни (Хотя у вас есть интересные видео с примерами из быта), чтоб завлекать молодых людей. Может даже на стримы перейти, поставить красивый свет, организовать фон, запланировать пару-тройку интересных задач и пару раз в неделю например по часу-два стримить. Эти е стримы потом можно в нарезки и на ютуб
Я немного по-другому решал. Поскольку ежу понятно, что треугольники подобны (в следствие того, что углы равны и основания параллельны), то можно поиграться с построением дополнительных линий. Треугольник 8 точно умещает в себя 4 треугольника 2, значит можно вокруг восьмерки достроить ромб и пересечь его по горизонтали, а отсюда вытекает длина основания треугольника 2 равная половине основания треугольника 8. Далее от пересечения исходных треугольников можно смело провести горизонталь и получить еще 8, а от верхних пересечений кинуть пару косых линий до пересечения вертикальных границ прямоугольника и горизонталей, чем отделится еще 2 по 2. И оставшиеся треугольнички будут ничем иным, как ровно половинами треугольника 2. Итого получаем 8+2+4+4+2+2+1+1 = 24.
Ну, инженеры не ищут изысков, решают в лоб. Но да. 24. А почему? Инженерам не важно, что параллелограмм стал прямоугольником. Им не важно это. Да и задачи у них другие, ум проще площадь прямоугольника найти, чем искать треугольники. Но лайк - поставлен.
У задачи есть ещё более простое решение без каких либо формул. Геометрическое построение + подробность треугольников. Действие 1) дорисовывает квадраты до известных треугольников и понимаем что квадрат с площадью 16 это 4х4 значит катет нашего треугольника 4; у верхнего таким же способом получаем катет 2. 2 действие) Рисуем в тетрадке с клеточкой правильные пропорции 2 клеточки по диагонали и 4 клеточки по диагонали 3 действие) Дорисовываем наш изначальный прямоугольник до квадрата 4 действие) после построений видим подробность треугольников 5 действие) общая площадь полученного квадрата минус 3 треугольника с площадью 2 и две половинки этого же треугольника. 2*4=8. Общая площадь квадрата 8*4=32. 32-8=24. И никаких формул.
Я вообще не так решил, но ответ совпал. Площадь прямоугольник а*h, а площадь большого треугольника a*(2/3)h пополам, из этого следует, что площадь прямоугольника равна площадь большого треугольника умножить на 2 и на 1,5.
/Привет всем любителям от проффессионала. Эх, бумагомараки, вы бы хоть комментарии читали! А то из 10 "оригинальных" решений все 10 перепевки. Кто-то "алгебру" воспевает, а ОБЩЕЕ решение для ЛЮБЫХ s1 и s2 не удостоилось внимания. Кто-то "без подобия" сумел решить и молчит, словно он Перельман неоценённый. Кто-то задачку "для 6 класса" сумел осмыслить только на пенсии (а есть и "инженеры" в полном расцвете сил, которые "не смогли", но им мозги размяли и они восхищены!). Господа, вы недоросли. Ничего личного, без обид, с математическим приветом, любители./
Подскажите, пожалуйста, а почему Вы во время решения применили формулу площади для равнобедренных треугольников? Нигде же не озвучивалось, что линии проведены под одинаковыми углами..
Гарик, да из него художник от слова худо! Впрочем, поэт тоже. Разве что певец. Объясняю: на рисунке нарисован ПАРАЛЛЕЛОГРАММ похожий на прямоугольник, также на рисунке два произвольных, НЕ равнобедренных(!) и НЕ прямоугольных треугольника, только похожие на прямоугольные и равнобедренные. Как ты задачку нарисуешь - так она и поплывёт! /Вот, Пётр Александрович, и результат вашей небрежности. Откуда на рисунке "равнобедренные"? И коэффициент подобия к=2. Это же ГОМОТЕТИЯ!/
Добрый день. Народ - выпускники ФМШ на эту задачу страшно почему-то возбудился ))) написали разнообразных решений: и через тригонометрию, и через линейные функции, и через вектора. Везде получилось 30. И очень просят узнать решение автора. Почему у него не 30? И вопрос - куда можно прислать предложенные решения? (если это интересно...)
Я решил эту задачу иначе. Поскольку большой треугольник в 4 раза больше маленького, то для ясности впишем в большой треугольник эти 4 маленьких треугольника с площадью 2. А раз мы можем вписать все четыре треугольника в один большой, то маленький треугольник является равносторонним треугольником. Изобразите и вы все поймете. Основание маленького треугольника будет равна средней линией треугольника и равна половине основания большого треугольника Примем основание большого треугольника за "х", тогда основание маленького х/2 Высота большого треугольника равна по теореме Пифагора х/2*sqrt(2) Другая сторона треугольника например равна "у" и равна сумме высот маленького и большого треугольника Высота большого треугольника h, а высота маленького в 2 раза меньше. т. е. y=3/2*h. Площадь большого треугольника равна 1/2*х*h=8, то бишь получаем хh=16 Теперь подставляем в это выражение высоту h=x/2*sqrt(2), откуда получим х=512 Проверяйте сами. Далее из уравнения 512*h=16 находим h=1/32 Подставляем в уравнение 3/2*h=y Высоту и вычисляем у=3/64 Все теперь находим площадь прямоугольника переумножив 512*3/64=24 Как вам решение?
Я согласен с вами. Меньший треугольник с площадью равной 2 будет являться равнобедренным треугольником. А не равносторонним. Это моя ошибка.Введем обозначение. большой треугольник АВС, где АС - основание равное х. Треугольник ВЕF меньший треугольник с основанием ЕF. Здесь задача решается просто доказать, что треугольники подобны по трем углам (два угла САВ и ЕFВ, а также два угла АСВ и ВЕF равны как накрест лежащие при секущей, а третий угол ABC и ЕВF равны как противоположные углы. Следовательно они подобны. Поскольку коэффициент подобия равен 1/2, то отсюда следует площадь маленького треугольника 1/2*h2*EF , где h2 высота маленького треугольника равная 1/3 h. h - сторона прямоугольника. ЕF основание маленького треугольника равное половине основания большого треугольника. Т е получаем Площадь маленького треугольника равна 1/2*h2*x/2=2 Домножим на 4 получим h2*x=8 или 1/3*hx=8 Откуда площадь прямоугольника равна hx=3*8=24
@@leha257tochi_cvou_nozhi И снова "ДВА"! По условию задачи треугольники ПРОИЗВОЛЬНЫЕ по форме. НО можно ДОКАЗАТЕЛЬНО (!) перейти к задаче с РАВНОБЕДРЕННЫМИ треугольниками. Если мысленно " передвигать " по горизонтали точку пересечения, то меняется только форма треугольников, размеры прямоугольника не меняется. Также не меняются и площади треугольников, ...
@@chilokolich3971 , я могу Вам объяснить данную задачу через скайп, но только не здесь. Ибо здесь полноценно описать данную задачу в деталях нереально. В скайпе я вам покажу наглядно отправлю фотографию и покажу как я изобразил три средние линии в большом треугольнике.
@@leha257tochi_cvou_nozhi вам же уже сказали - нет там ни равнобедренных, ни равносторонних треугольников! Если вы опирались на эти факты, решение ваше неполноценно ))
Задача легкая, перед тем как посмотреть ответ я тут сначала напишу, потом проверю :-) Итак, два трехугольника с одним углом, с переворотом с половинной ширины их можно переделать в два прямоугольника. Когда оставляем пропорции одни но понижаем площадь прямоугольника в четыре раза, высота и ширина понижаются в два: p=2(a+b) p=2(a/4+b/4) p=(a/2+b/2) p=a/2+b/2 Пусть h будет высотой пусть b будет шириной, а w -- шириной разделенной на два пусть х будет высотой верхнего треугольника Составьте три уравнения и подставьте: w(h-x)=8 (wx/2)=2 h/2=x wh-wx=8 wx=4 h=2x w*2x-4=8 w*2x=12 b/2*h=12 b*h=24
