Задача от подписчика. Найдите sin9°. 

изумительная игра ума. более 15 лет назад закончил школу, никаких экзаменов мне уже сдавать не нужно - смотрю этот канал как развлечение для ума. спасибо автору!

Алгебра - гимнастика для ума. Тригонометрия - акробатика.

Я , старый 1947 г.р. олимпиадник , с удовольствием смотрю ваши выпуски и даже что-то пробую решить.

Когда нашли соотношение a/b в конце четвёртой строки, можно было дальше не выражать одно через другое и подставлять, а просто перевернуть дробь - нам же надо было найти b/(2a), а мы уже получили a/b как (√5-1)/2. Двойки сократятся, и получим тот самый 1/(√5-1) = cos 36°

Всегда хочется написать "Браво" под каждым видео! Спасибо за вашу работу!

Теперь я понял, для чего изобрели калькулятор ....

Математика, алгебра, геометрия, тригонометрия... Как же это интересно!!!! Жаль, что осознаёшь это через 19 лет после окончания школы...

Спасибо. Интересно и поучительНО. НО можно иначе. 2*36=180-3*36. Получаем : cos(2x)=-cos(3x). Расписываем косинусы двойного и тройного аргумента, получаем: 2*t^2-1+4*t^3-3*t=0 ( t=cos(x) ). 4*t^3+2*t^2-3*t-1=0. (4*t^3+4*t^2)+(-2*t^2-2*t)-t-1=0. (t+1)*(4*t^2-2*t-1)=0. t=-1 соответствует х=180град. , получаем t=cos(36)=(1+sqrt(5))/4. sin(9)=sin(45-36)=......... А необходимый (sin(36))^2=1-( cos(36) )^2=(5-sqrt(5) )/8. Но вообще-то, это всё на большего любителя. С уважением, Лидий.

Очень красиво решено, но догадаться вряд ли реально на каком либо тесте, если не знать идею

"Попробуйте решить самостоятельно"

Комментарии к видео не менее интересны, чем само видео. Большое спасибо!

решение изящное, но до него гораздо сложнее догадаться. Мне больше нравится вариант с поиском сначала sin18. Тут хотя бы можно поиграться с тем, что 90 = 9*10 = 18*5, 90-18*2 = 18*3 и так далее. Аналитически тут хоть понятно куда копать. При этом если 18 = x, то надо решить уравнение sin2x=cos3x. А далее уже находим sin9, как у вас. У вас безусловно все очень элегантно, но последнее, что бы мне пришло в голову - это рисовать р/б треугольник с углами 72, 72 и 36 =)

Подумать не мог, что можно найти значение не табличных углов. Очень интересно

Valeri Volkov! Вы Выдаюший гения вокруг всяких сферах математики ( елементарних и вышшей математике)- ета сенсация!!!!!!

Улётно. Космическое решение!)) Благодарю.

Ну Валерий не могу найти слов. всё на высшем уровне. спасибо вам.

Невероятная благодарность советских учеников Вам, уважаемый автор!! Дух захватывает!!!!!!! Удовольствие от решения задач,конечно-по геометрии!!!.Невозможно хотелось бы Вы ам пожелать много хороших дней 🌿🌿🌿😉😉😉😉😉😉💕💕💕

Спасибо за подробное, красивое решение.

Очень здорово! Спасибо за оригинальное решениее1

Девять градусов это примерно одна шестая радиана. Синус малых углов равен самому углу (в радианах). Приблизительный ответ равен 0,17.

Интрига тянулась почти до конца. Еще теплилась надежда на то, что ответ будет не трехэтажным. Но нет... Не представляю, кому это может понадобиться, но для неких прикладных нужд в отсутствие подручных таблиц Брадиса и инженерного куркулятора, приблизительное значение sin π/10 ~= 1/6.4 с округлением до десятых.

Синус 9 градусов?Очень изящное решение! Особенно мне понравилась фраза ,,решим кв.уравнение относительно а: в ,, С 97года не работаю в школе, и сейчас эти задания для меня звучат как музыка .Спасибо Вам Валерий.

Красиво, ничего не скажешь!

Класс, спасибо за решение!

понятное обьяснение, спасибо

Очень интересно. Спасибо!

треугольник - это интересно. можно еще получить sin18 как решение уравнения sin(2x) = cos(3x)

Очень интересно Сложная задача, такую не каждый учитель по математике решит.

Неожиданно вернулся к этой задаче - решил проверить величину погрешности расчёта, если считать угол 9° малым. Ведь тогда sinX ~= X. И что же? Sin 9° = sin (π/20) ~= π/20 ~= 0,157. Погрешность около 0,1%.

Я нашел более простое решение, без всякого треугольника: sin36=cos54 далее записываем для 36 формулу двойного угла, а для 54 формулу тройного угла. после сокращения, получаем квадратное уравнение для sin18, находим sin18, а дальше как у вас

Симпатично и очень хорошо объясняет, почему школьники обычно любят тригонометрию немного меньше, чем зубную боль. :). Добавлю, что решение чуть-чуть упростится, если принять a за 1.

Sin 18 и Cos 18 (равно как и sin 9) можно получить и аналитически, но этот способ равнобедр. треугольника - очень красивый метод... Спасибо...

Здорово... Особенно понравился вынос 0.5 из под корня...

Завидую я вам белой завистью, комментаторы! Как же я жалею, что забивал на точные науки .. 20 лет прошло со школы. Молодцы! И автор молодец!

Гениально!

Истинное наслаждение! Институт закончил в 1970м!

А можно чуток помедленнее, я тут записываю...

Спасибо большое!

Здравствуйте. Спасибо за видео. Подсксжите, какую программу вы используете для того чтобы писать решения как -будто на доске?

Интересный дополнительный эффект от решения этой задачи; используя их можно при помощи только циркуля и линейки разделить окружность на 5 частей, то есть построить пятиконечную звезду

Спасибо!

Красивое решение, но неочевидное :)

красиво и мощно

Проще это можно вычислить, используя первый замечательный предел, выразив угол в радианах: 9 градусов - это 0,157 радиана, следовательно синус 9 градусов равен этому числу.

35 лет назад сдавал вступительный экзамен по математике, а у девочки в ответе стояло "5"(( полтора часа ждали завкафедрой для решения спорного вопроса, математика победила)) очень долго потом дружили с завкафедрой) удачи каналу!

Учусь в 7 классе, ничего не понятно, но очень интересно.

Интересно просмотреть на вариант приближенного решения с сходящимся рядом

Классное решение, а можно пожалуйста 24 задачку из 100

Круто!

А что насчёт формулы перехода от градусов к радикалам? a=(a*p)/180, получается же (9*p)/180, сокращаем и p/20, когда сверяя ваш ответ с моим предполагаемым решением приблизительное(Там же неточное) значение получается одинаковое. Может быть я что-то не вдупляю? Может формула не та, но решение на пять секунд(Объясните утопающему😆), но за такое сложное трехэтажное нечто однозначно лайк! Никогда бы не додумалась рисовать треугольник

Спасибо за чёткоё решение. Синус в 9 градусах найдены, то можно найти и sin3° и sin1°. То есть sin3a можно выразить через Sina да.

Браво!

Ну а чтобы посчитать корни нужно просто-напросто разложить в ряд, уместно это сделать с помощью синусов или косинусов. Немножко не дописали. Ну и конечно эти все хитрости на фиг не нужны, они для неучей, не знающих математики . Просто проводим через все точки параллельные прямые. На пересечениях получаются симметричные углы и суммы углов по 360 градусов. Из чего строим систему уравнений первого порядка и по матрице считаем. Так решается любая задача на плоскости.

Ни чего не понял, но очень интересно, если быть в курсе, я это очень давно не практиковал, теперь понимаю как на меня злились одноклассники.

Валерий, а зачем вы закрыли доступ к видео "Как находить синусы и косинусы нестандартных углов" у Вас на канале? Эта та ссылка, которая скрыта в шапке под этим роликом.

как называется программа "доска" в которой вы работаете?

Красивое решение

рассмотрим равенство: sin72=sin108, 2sin36cos36=3sin36-4(sin36)^3, делим все члены на sin36 и получаем 2cos36=3-4(sin36)^2 , по основному тригонометрическому тождеству переходим к квадратному уравнению относительно cos36. Решив его, получим cos36=(1+sqrt(5)):4

Хорошо, что задача остановилась на 9 градусах - а то конца бы ей не было... Кстати, 72 градуса - это центральный угол пентагона, и если эту задачку немного поскрести, можно получить формулу для стороны пентагона, выраженную через радиус описанной окружности и корень из пяти. Корень же из пяти легко строится "циркулем и линейкой" - отсюда получаем метод Эвклида (или, если угодно - его доказательство) деления окружности на пять равных частей. Дополнительный бонус следуя примете "где есть корень из пяти, там ищи Золотое сечение (здесь это напрямую дробь a/b)", легко убеждаемся, что пятиконечная звезда буквально "набита" этим Золотым сечением..

Можно найти синус приблизительно. По пропорции. Исходя, что синус 30 градусов равен =0,5. Пропорция 30/9= 0,5/х . Х = (9×0,5)/30=4,5/30=0,155. 5 тысячных- это поправка на криволинейность функции, так как расчет вели на прямолинейность. Надо брать известную величину,как можно ближе к неизвестной.

видел нахождение sin36 у presh talwalkar , дальше не сложно было догадаться как найти sin9, но если бы я этого не знал, то врядли решил задачу

Можно ли найти следующим образом: π/6=1/2 π/20=? И найти

Полезно

В решении полно сложной тригонометрии, "многоэтажых" алгебраических выражений, "радикальной" арифметики, нет только математической красоты и изящества. Одна гениальная мысль - учетверить угол, а дальше рутина без права на ошибку.

Оригинально

Идея состоит в том, что мы легко выразим в радикалах sin(x) и cos(x), зная cos(2x). Следовательно, для определения sin(9) нужно попробовать найти cos(18) или cos(36) или cos(72) и т.д. Замечаем, что: 1) 5*18=90 2) Тригонометрические функции нечетных кратных углов, выражаются через многочлены от одноименных функций, содержащие только нечетные степени. В нашем случае cos(5x)=A*cos(x)^5+B*cos(x)^3+C*cos(x), причем если cos(5x)=0, а cos(x) отличен от 0, для cos(x) получим биквадратное уравнение. Эти рассуждения говорят о том, что cos(18) может быть найден из биквадратного уравнения, и мы можем начинать решение по этому пути. Сначала найдем выражение cos(5x) через cos(x). Это можно сделать различными способами, из которых я привожу самый элементарный, но не самый короткий (удобнее использовать степени exp(ix), но это требует знакомства с комплексными числами ). По известным школьным формулам: sin(4x)=sin(2*2x)=2sin(2x)*cos(2x)=4sin(x)cos(x)*(2cos(x)^2-1) cos(4x)=2cos(2x)^2-1=2(2cos(x)^2-1)^2-1 cos(5x)=cos(4x)cos(x)-sin(4x)sin(x)=(2(2cos(x)^2-1)^2-1)cos(x)-4sin(x)^2*cos(x)*(2cos(x)^2-1)= =(2(2cos(x)^2-1)^2-1)cos(x)-4(1-cos(x)^2)*cos(x)*(2cos(x)^2-1)= раскрываем скобки и приводим подобные cos(5x)=16cos(x)^5-20cos(x)^3+5*cos(x) Следовательно, чтобы выразить t=cos(x) через cos(5x), нужно решить уравнение (16t^4-20t^2+5)t=cos(5x). При произвольном значении x мы имеем ур-е 5-й степени, которое в общем случае в радикалах не решается. Но если x=18 градусов, 5x=90, то cos(5x)=0, а ( cos(45)

Именно так вычислялись приближенные значения в таблице Брадиса? ))) У Брадиса было много свободного времени однако. Но решение супер!

Спасибо

Одним словом, офигеть! Надо такую задачку на муниципальном этапе по математике в 11 классе дать, пусть школьники развлекаются! 😂😂😂

Практически во всех прикладных задачах можно сказать, что ответ примерно π/20

Решение хорошое

Теперь я знаю всё! ;-)

Интересно

У меня была стратегия решения значительно сложнее: выразить через формулы синуса суммы и косинуса суммы значение синуса 45-ти градусов, т.е. формулу бы пришлось применять 5 раз.

ответ 0,157, поскольку угол 9 гр малый значит sin9 = углу 9 гр = 9 :57.3= 0,157. Нужен практичный подход

Другой способ. По моему легче.

Здравствуйте. В какой программе у вас так коасиво получается писать буквы и цифры?

Раз уж так повелось, то можно и через производные приближенное значение посчитать :)

Про то как из букв сделать цифры))

вывод cos18 последнее действие не понятно , придётся лист взять расписать .. Получилось. Как Вы это в голове делаете ?!

Валерий, каждое ли число вида sin(π/n), n натуральное, можно выразить в радикалах?

Кажется кстати тоже без мягкого знака.

Классный способ! Я через дифференциал приближённо посчитал, но разница не очень большая, у вас - 0,1564...., у меня - 0,1570.....

В идеале конечный ответ можно было бы упростить до √(6-2√2)/4

Тоже решал через треугольник. Получил уравнение 4sin18cos36=1, откуда cos36=-0,5. Подскажите пожалуйста, где ошибка

Все логично, ничего сложного ведь

Надо уже было тогда сразу sin(3) находить это самый минимальный базовый угол, через который можно найти все алгебраические косинусы (можно показать, что все такие углы кратны 3)

так просто, но надо додуматься

Я не понял самое последнее преобразование. Они же одинаковые. Куда подевался корень из двух?

Какие-то мудренные и решение и ответ. Если бы передо мной поставили такую задачу, я бы разложил синус в ряд Маклорена.

Решение понятно. Непонятно, как додуматься до использования треугольника 😉

я не знаю правильно ли, но я бы так решил: 9 градусов = 1/10 от 90 градусов = (1/10) * пи/2 = пи/20. Если вбить наши ответы в научный калькулятор, то у меня примерно 0.157, а у вас примерно 0.156

Это просто золотой треугольник

Занятно, что в очередной раз используется (SQR(5)-1)/2 - то бишь Золотое сечение.

Да ... Математика - это поэзия)

А не проще ли 45 - 36?

Математические технологии!

Синус малых углов равен углу (в радианах) с высокой точностью. Для 9 градусов (pi/40) ошибка в районе 4 тысячных.

Можно найти синус 3 градусов - равен синусу разности 18 и 15 градусов! А синус 15 гр из синуса 30 гр.

sin9 это абцисса единичного радиус вектора, нарисуйте круг с радиусом 1 отмерьте 9 градусов сделайте проекцию на ось и будете иметь число которое равно синусу 9 градусов, и зачем вам все эти корни.