Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной  

"Самое сложное на мой взгляд - это Теорема Пифагора" до слез))))

Как же это круто! Борис Викторович, вы просто гений! С Вами я действительно понял, что математика именно про мышление, а не про тупую зубрёжку формул и фактов.

Люблю такое "баловство" с цифрами, углами и сторонами. Чувствуешь себя повелителем Вселенной, когда выведешь таки какую-нибудь формулу)

Здравствуйте, Борис! На 23 минуте Вы получили формулу, в которой квадрат биссектрисы равен: l^2 = ab - xy. Теорема косинусов, конечно, мощный инструмент. Но, как альтернатива, - можно было описать около данного треугольника окружность. И продолжить биссектрису, из вершины С треугольника, до точки К пересечения биссектрисы с описанной окружностью. И соединить получившуюся точку К с вершиной треугольника, что напротив стороны b. Возникает несколько подобных (по 2 углам) треугольников. Соответственно, из получившейся "бабочки треугольников" можно выразить отрезок от точки К до точки пересечения биссектрисы со стороной с: из подобия этот отрезок получается равен = ху/l. А из подобия других двух треугольников отрезок CК = аb/l Тогда длина биссектрисы: l = CК - ху/l = аb/l - ху/l, и домножив обе части равенства на l, получим: l^2 = аb - ху.

Всегда восхищаюсь Трушиным, какой умница.

Спасибо, Борис! Полчаса бальзама на уши. Полувековая любовь к математике не ржавеет. Учителя были хорошие.

Хочу выразить вам, Борис Викторович огромную благодарность за всю вами проделанную работу на этом канале , вы по-настоящему привили мне любовь к математике, я даже перевелся в мат.класс ,Спасибо огромное

Господи, вы спаситель! Особенно благодарна за Менелая с Вариньоном!🙏🙏

идея для видео: в чем секрет крутости золотого сечения? почему оно возникает то тут, то там, хотя никаких предпосылок как правило не видно? Было бы очень интересно послушать!!!

Классная нарезка в начале, как всегда :D

Борис Викторович,Вы просто гений! На многие вещи открываете глаза даже учителям.

Спасибо за ваш труд! Всегда парился именно по этому поводу, особенно с медианами

Привет. В одном видео показали простую формулу для биссектрисы. В обозначениях автора Lв квадрате равна a*b - x*y. Помучился с выводом. Полчилось. Ну красивый способ - нашёл сам. Не зная готовой формулы так придумать - это гений делал когда-то.

Всегда был интересен факт про биссектрису, спасибо вам большое

Такими темпами можно заботать геометрию до ЕГЭ

Спасибо большое))

Шикарно!

Спасибо за объяснения, никак не мог запомнить эти формулы, как и фоомулы по тригонометрии. Благодаря Вашим объяснениям теперь могу сам на экзамене их вывести.

Самое сложное для меня - это теорема Пифагора 😂😂😂😂😂

Заботано. Спасибо, очень уверенно, про параллелограмм соотношение не знал, впечатлило .

Понравилось... ) Лаконично, просто.

Длину биссектрисы проще и красивее выводить через подобие треугольников вписав исходный треугольник в окружность и продлив биссектрису до пересечения с окружностью. Тогда формула длины биссектрисы выглядит компактно и легко запоминаемой.

Боря, Ты лучший!

Расскажите , пожалуйста, про метод симметричных корней для решения параметра

Спасибо большое, даже не думала, что так легко доказывать и можно не только учить

Борис Викторович, если в ур-ие, получившееся от вычитания двух предыдущих (для избавления от косинусов) подставить вх = ау (из х/у = а/в) , то левая часть преобразовывается: вхх - ауу = аух - вху = ху(а - в). Обе части ур--ия сокращаем на (а -в) и получаем квадрат длины бисс. равен: ав -ху, а длина биссектрисы: корню квадратному из ( ав - ху ).

Блин, как же я ржу с нарезку в начале 😂 Лучший ❤️

Thank u so much 😊

Теорема косинусов - это мощь

Скоро не Саватеева будут знать как главного популяризатора страны, а Трушина

Спасибо

Есть ведь ещё проще формула, где квадрат биссетрисы угла равен разности между произведением прилежащих к углу сторон и произведением высекаемых этой биссетрисой отрезков, лежащих на третьей стороне

А если у нас есть треугольник ABC: |AB| = c, |BC| = a, |CA| = b; задача - найти длину биссектрисы угла, внешнего к углу ACB, то длина этой биссектрисы равна sqrt(ab(c^2 - (a - b)^2)) / |a - b|

Замечательное видео! Как еще один вариант, формулу для медианы можно вывести и с помощью векторов :)

КРУТО! А ещё, ваше произношение l, получается очень испанским!

Еще можно для биссектрисы d^2=ab-xy, где x и y - отрезки, на которые биссектриса d делит противолежащую сторону.

Спасибо большое ты крутой

Мне кажется, что можно было сначала получить формулу l^2=ab-xy... Продолжить биссектрису до пересечения с описанной окружностью, z будет тогда расстоянием от основания биссектрисы до точки пересечения, записать подобие треугольников: a/l=(l+z)/b => ab=l^2+lz По теореме о пересекающихся хордах lz=xy. Чтд. ...а потом подставить значения для x и y, если надо. Просто в меньше ходов получается.

можно ли не выводить эти формулы на региональном этапе ВСОШ ?

Спосибо , я из Узбекистана 👍✊

Поговорите о симедиане.

Интересно! А можно ли тут высоту найти через проекции сторон на основание треугольника, как четвертый способ нахождения высоты, спасибо за видео самый лучший контент для школьников и абитуриентов!!!

Тот момент, когда можно применить теорему Стюарта. Она, конечно, не знаю как выводится. Но доказывается она через две теоремы косинусов. Позволяет найти, например, биссектрису.

19:56 почему х=ка , у=кв ? Что-то я не попал в рассуждения. Вывод без "к" понятен , а как эти равенства получились ?

А получается ли красивая формула биссектрисы (медианы), если её выразить через высоту и медиану (биссектрису)?

Рационально ли выводить формулы на ограниченном по времени экзамене, по типу егэ?😶

Добавьте, пожалуйста, геометрии!

Здравствуйте, Борис Трушин! Хочу показать еще одну формулу: Мы же знаем, что x = (ac)/(a+b) и y = (bc)/(a+b) . Теперь, если умножить x*y, получим x*y= (a*b*c^2)/(a+b)^2, и это равенство можно подставить в равенство, показанное здесь 22:50 , и получить , что l^2 = a*b - x*y.

Если для биссектрисы теорему косинусов записывать через смежные углы между биссектрисой и основанием - получается поизящнее. Заодно и теорему Стюарта докажем между делом )

С бисектрисой чё-то сложно. Попробовал найти альфу из т. косинусов(нашёл 2 альфа и поделил), из системы нашёл Х и У и воспользовался только одним треугольником(со сторонами х, а, l), из т. косинусов выразил бисектрису, решил квадратное уравнение, и да, такой способ не проще. Но чем больше способов, тем веселее.

TEOREMA Синусов, косинусов, некоторые условия, теорема пифагора = 90% планометрии? Невероятно..)

Здравствуйте! Большое спасибо за разумное видео! Есть еще простая формула для длины биссектрисы: l=sqrt(a*b-x*y). Подскажите пожалуйста как ее вывести ?

Найти площадь треугольника, если две его если медианы равны 9 и 12 и площадь четырехугольника образованный отрезками медиан после пересечения и сторонами треугольника равна 16.

Орнул конечно на словах: "самое сложное это теорема пифагора"XD

поставил лайк со второго аккаунта за нарезку вначале

16:15 биссектриса

Длину биссектрисы можно было найти так: Расписать площадь треугольников через синус(al*sin)

25:20 А в математике часто так бывает, что сократили (значит а не равно б) а потом раз, и для этого случая тоже работает?)))

У вас очень точно выходит. К сожалению не могу понять, когда вы выводите алгебраические соотношения, переходя 3-4 шага. Трудновато.

спасибо

Есть пару простых формул для биссектрисы. Одна формула: l^2=a*b-x*y , или с учетом x=ka, y=kb => l^2=ab(1-k^2). Вторая формула l=2abcos(альфа)/(a+b)

В самом начале можно было рассмотреть большие треугольники, там тоже уголочки в сумме 180. Зато никаких Дэ/2

В конце вроде (4а^2 - с^2) /4 Это уравнение должно быть под корнем

Борян

Формула Стюарта?

Согласен! Но это касается детей более продвинутых в математике... , а это очень маленький %

Такое ощущение как-будто вы это придумали

теорему пифагоры можно даказать без тригонометрий

Как найти сторону бисектрисы?

Всегда ору с этих вставок в начале

Я бісектрису за такими рівняннями:

На ЕГЭ нужно их выводить? Формулы

Борис Викторович, выводить формулу для биссектрисы как-то сложно и неприятно. вот медиана и высота просто и уже освоено, не так страшно. а вот биссектриса там букв много... и не понятно в какой последовательности... может есть способ проще вывести эту формулу? буду рад, если ответите

Как же так получается, что мы как будто делим на ноль, но в итоге от этого ничего не страдает..

Комент спустя пять лет) 22:35 как сократили? ведь (б-а) остаётся

Нарезочка СЮДЫ!

К примеру, если взять и применить теорему Менелая, то ведь могут и не засчитать решение, сославшись на отсутствие доказательства, а сидеть и выводить саму теорему себе дороже, ведь под конец экзамена времени остаётся совсем мало, тогда спрашивается зачем ребёнку эта теорема нужна....

5:00

Т.к. л^2 = а^2 - (с/2)^2 Подставляя значения для а = 3 с =4 это будет корень из 5 (4а^2 - с^2) / 4 = 5 Видимо в каком-то уравнении ошибка

С выводом формулы длины биссектрисы нехорошо получилось. Две доски формул +7 минут времени на то, что выводится в 2 строчки и за 30 секунд. Теорема косинусов там совсем не нужна(

Нас учил учитель правило про биссектрису , биссектриса это крыса делит углы пополам

Борис, без обид, но эта болтовня первые 40 секунд, оно может и прикольно иной раз. Но когда в каждом видео...

Очень бестолковое решение

Спасибо, Борис! Полчаса бальзама на уши. Полувековая любовь к математике не ржавеет. Учителя были хорошие.