Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной  

ХАХААХАХХААХ

Зхахаах

Хахахаххаххаххха

#TrushinStyle

я в 9 классе не знал ни одну теорему по геометрии кроме теоремы пифагора и решал на контрольные на 4-5 ))

@@kekel107 в 11 классе почти ничего не поменяется. чтобы решать 14 номер еще т. о 3-х перпендикулярах надо знать и всё.

теорема пифагора и подобие треугольников)

ха ха

@@numaliku3565 Пифагор велик но у Эйлера тоже есть теоремы

Ждите, на этой неделе будет )

Спасибо )

@@trushinbv Борис Викторович, добрый день! Очень хочется, чтобы вы сделали видео, в котором разобрали бы довольно редкие факты про окружность и доказали бы их. Например, угол между касательной и секущей, касательной и хордой. Разобрали бы факт, который говорит, что квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть и прочие не самые часто встречающиеся вещи, но довольно важные для общего понимания геометрии окружности и всей геометрии в целом. Уверен, не только я буду Вам очень благодарен.

clgiroux 28 мне кажется, все это есть )

@@trushinbv некоторые факты есть, но все разбросано по разным видео(((

Это уже есть: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-oDBLJA-RDc8.html

Борис Трушин спасибо, как-то проглядел.

Спасибо, приму к сведению

Я в 11 классе) до егэ меньше месяца, что-то читать честно говоря лень, а вот посмотреть видосик 20-30 минут можно

Fanatik Allods на ЕГЭ есть диофантовые уравнения? 0_о

19 задание (в основном пункт "в")

NSJР оо, ясно)

@@ahady6327 о Боже,как же я тебе завидую,ты уже на 3 курсе

через интеграл можно

Объем шара - тройной или объемный интеграл. Тут снова идет разбиение шара на мелкие кусочки (их число бесконечно большое, а иъ объем бесконечно мал). Затем суммируется все.

В зависимости от условия задачи

Андрей К т.е. теоретически возможно её можно использовать?

Если найдешь функциональную зависимость... Уверен, что биекцию ты вряд ли отыщищь... Ну, а если найдешь, то можно. Однако нужно прибегнуть к неравенствам (Среднее Арифметическое, дедуцирующиеся из Йенсена). Выводятся они легко.

Андрей Подойницы всегда можно как-то замудрить и впендюрить все что угодно

sergei ivanov звучит интересно, узнаю об этом больше, спасибо)

типичные следствия из теоремы синусов. Более того, даже формулы Мольвейде суть следствие теоремы синусов. Действительно, Если имеет место теорема синусов a/sin A = b/sin B = c/sin C, то пользуясь свойствами пропорции: (a + b)/(sin A + sin B) = c/sin C, отсюда (a + b)/c = (sin A + sin B)/sin C. Осталось преобразовать правую часть. Так как sin A + sin B = 2sin(A/2 + B/2) * cos(A/2 - B/2), но A + B + C = 180, поэтому A/2 + B/2 = 90 - C/2, а sin(A/2 + B/2) = sin(90 - C/2) = cos C/2. Наконец, пользуясь тем, что sin C = 2sin C/2 cos C/2, приходим к (a + b)/c = cos(A/2 - B/2)/sin C/2. Аналогично (если не складывать, а вычитать): (a - b)/c = sin(A/2 - B/2)/cos C/2.

Ну, и раздели теперь первую формулу на вторую (а че нет-то): (a + b)/(a - b) = cos(A/2 - B/2) cos C/2 / sin(A/2 - B/2) sin C/2 Слева все понятно, а вот справа не ясно че делать. Во-первых, нетрудно заметить, что справа у нас произведением котангенсов. Поэтому наше равенство будет: (a + b)/(a - b) = cot(A/2 - B/2) cot C/2. Теперь если внимательно глянуть на второй котангенс, то, ввиду того, что A + B + C = 180, откуда C/2 = 90 - A/2 - B/2, становится ясно, что он представляет собой тот же самый котангенс, но уже с суммой аргументов, а именно cot C/2 = 1/cot (A/2 + B/2). В самом деле: cot C/2 = cot (90 - A/2 - B/2) = cot (90 - (A/2 + B/2)) = = (cot 90 cot (A/2 + B/2) + 1)/(cot (A/2 + B/2) - cot 90). Так как cot 90 = cos 90/sin 90 = 0/1 = 0, то cot C/2 = 1/cot(A/2 + B/2). Ну все далее вспоминаем, что tan x cot x = sin x/cos x * cos x /sin x = 1 и окончательно пишем трофей: (a + b)/(a - b) = tan(A/2 + B/2)/tan(A/2 - B/2). Mis oligi tarvis tõestada.

Рисуй треугольник (любой, только не равнобедренный, равносторонний и прямоугольный - он должен быть произвольным, т. е. общего вида). Нас интересует радиус вписанной окружности - его и будем искать. Центр описанной окружности находится на пересечении биссектрис данного треугольника. Пусть основание (нижняя сторона) будет a, левая - b, а правая - c. Углы лежащие напротив этих сторон называем так: A, B и C. Опускаем перпендикуляры на стороны треугольника (это так, потому что у нас треугольник описан вокруг окружности, а это означает, что она касается ее, и потому его стороны - касательные, а радиус в точку касания будет перпендикулярен). Сразу понятно, что стороны делятся на какие-то отрезки. Например, основание легко представить в виде x + y, то есть a = x + y. Левая сторона аналогично делится на отрезка (причем первый - тот же x согласно свойству касательных), и поэтому b = x + z. Аналогично, c = y + z. Треугольник разбит, фактически, на много прямоугольных. Смотрим на нижние два Ясно, что его гипотенузу обоих нам не найти. Мы знаем все углы, а биссектриса делит угол пополам. Вспоминаем, что тангенс - отношение противолежащего на прилежащий. Поэтому tan B/2 = R/y. Аналогично, можно рассмотреть левый нижний треугольник tan C/2 = R/x.Теперь смотрим на верхние треугольники (прямоугольные). Оттуда выводим tan A/2 = R/z. Везде мы имеем один и тот же радиус и кучу неизвестных. Следовательно, имеем дело с системой R = z tan A/2 = x tan C/2 = y tan B/2. Теперь осталось заметить, что все наши x,y,z можно выразить через исходные a,b,c. Действительно, нужно решить систему a = x + y, b = x + z, c = y + z. Решаем ее: сложим все равенства: a + b + c = x + y + x + z + y + z = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z), отсюда (a + b + c)/2 = x + y + z А теперь смотри: (a + b + c)/2 - a = x + y + z - x - y = z, (a + b + c)/2 - b = x + y + z - x - z = y, (a + b + c)/2 - c = x + y + z - y - z = x. Обозначая (a + b + c)/2 через букву p (полупериметр) получаем то, что радис вписанной окружности равен: R = (p - a) tan A/2 = (p - c) tan C/2 = (p - b) tan B/2. Задача решена. Осталось добить ее тем, что тангенс - 1 делить на котангенс, да и сортировать все это по алфавиту.

Ну и на последок - что за странное свойство пропорции я использовал при выводе формул Мольвейде. Пусть у вас есть такая пропорция: x/y = u/v = k. То тогда из нее следует, что (x + u)/(y + v) = k. Действительно, та пропорция суть система: x/y = k, u/v = k. Из обоих уравнений: x = yk, u = vk. Теперь подставляем в равенство выше: (x + u)/(y + v) = (yk + vk)/(y + v)= k. Очевидно, что если у вас такая пропорция x1/y1 = x2/y2 = x3/y3 = … = xn/yn = k, то k = (x1 + x2 + x3 + … + xn)/(y1 + y2 + y3 + … + yn).

Да, скоро и про это будет )

появилась из подобия трех прямоугольных треугольников с одной общей высотой, вроде бы

кеш есть разница) sinα/ Α = 2R, а A/sinα = 1/2R

@@lexgoalkeeper7906 он же говорит про обычную теорему, а не расширенную.

Есть такое видео: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-_NNvp9S3nk8.html

корень из a^2 = |a| в частности: корень из 2^2 = 2 корень из (-2)^2 = 2

@@xz8928, опечатка ) исправил

Как ты умудрился доказать теоремы Менелая и Чевы на примере одного частного случая?

Это как доказать площадь прямоугольника через рисования квадратов, а затем площадь треугольника посредством того же метода. В реальности было так: Посмотрел теорему Менелая, использовал ее, увидел, что нечего не дало, прибегнул к подобию, доказал Менелая. Затем Чевы... Наконец, дорисовал треугольник до параллелограмма и добил задачу, - задачу можно найти на канале "математикс" в видео "10 идей для планиметрии".

Хорош...☠️

Это уже есть: ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-6wUcOhBCFlw.html

спасибо, не увидел что-то

Через векторы можно. Допустим у нас есть треугольник ABC, построенный на векторах AB (основание), AC (левая сторона) и BC (правая). Очевидно, что BC = AC - AB (разность векторов). Найдем скалярное произведение вектора BC по отношению к самому себе, тогда имеем тождество BC * BC = (AC - AB) * (AC - AB) = AC^2 - 2 * AB * AC + AB^2 = = AC^2 - 2AB AC cos a + AB^2. Поскольку квадрат вектора равен квадрату его длины, то переходя уже к длинам векторам, получаем BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2AB AC cos A.

Осталось пояснить формулу скалярного произведения. Здесь нужно расположить векторы так, чтобы один лежал на оси Ох, а другой был над ним (выше его). Угол между векторам - альфа. Проецируя оба вектора на ось Ох, получим, что один из них будет таким же (он лежит на оси Ох), а другой будет равен самому себе умноженному на косинуса угла между ним и Ох (угол между векторами в нашем случае). Следовательно: ab = |a| |b| cos a.

Основное тождество - следствие из теоремы Пифагора. Если не знаешь основаное тригонометрическое тождество, то, зная Пифагора выведешь. Действительно, из тождества a^2 + b^2 = c^2 по разделению обеих частей на c^2 > 0 (сторона полоижетельна) получаем (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1. В силу определений синуса и косинуса cos a = b/c и sin a = a/c приходим к этому тождеству (sin a)^2 + (cos a)^2 = 1. Насчет углов: тут нужно самому экспеременитировать. Задавать себе вопросы и искать ответы.

И еще совет: если с тригонометрией плохо, то попробуй осмыслить доказательство всего двух формул: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (сено кос косим сено) cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b. Из этих формул выводятся все другие. Например: сложив две формулы с косинусом, получим равенство: cos(a + b) + cos(a - b) = = (cos a cos b - sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b) = = 2cos a cos b. Отсюда: cos a cos b = (cos(a + b) + cos(a - b))/2. Или, полагая a + b = x, a - b = y, получаем cos x + cos y = 2сos((x + y)/2)cos((x - y)/2).

sergei ivanov Спасибо!

То есть почему |-x| = |x|? Говорят, что это равенство оправдано четностью функцией, ибо, если x = 2, то |-2| = |2| = 2. Если воспользоваться определением модуля, то выходит, что если x >= 0, то данное равенство приобритает вид: x = -(-x) или x = x. Обратно если x < 0, то в таком случаем имеем -x = +(-x) или -x = -x. Концепция введения величины лежит в основе следующих двух утверждений: 1) порой нужно опустить знак и оценить выражение - модуль решает эту задачу, 2) модуль - функция расстояния для симметричных чисел. (Проверить!). Квадраты: тут все просто: (x - y)^2 = (-(y - x))^2 = (-1)^2 * (y - x)^2 = (y - x)^2 >= 0.

Привет из 2024

Синус альфа в этом случае высота/a. Если мы высота/a домножим на a, то получится высота

А что такое матфаковская геометрия?

@@trushinbv Спасибо что ответили! Я еще не учусь на матфаке, но было бы неплохо если бы плейлист с геометрией был "мостом" к вузовской программе (например, той же дифференциальной геометрии).

Каждый день рисует. От 6-12 раз

5_6_7_8_9синф математика дарсликлари беринг

тут без молитвы никак. один Бог помогает

@@lexgoalkeeper7906 , думаю, большинство математиков- атеисты

Дурень))) Тршин оч современно выглядит, никакого... нафталина))

Но, обычно, теорему косинусов доказывают через теорему Пифагора )

Рекомендую учебник "геометрия за 24 часа". Там приведены все основные(и не только) факты с доказательствами, начиная с того, что такое угол

Вы знаете, что такое синус и косинус?

@@trushinbv А, я понял. Прошу прощения. Не думал что это настолько просто. Я мыслил слишком прямолинейно.

А ну скинь видео этого человека. Уверен, проще рассказать не получится

@@dansheldon6955 по факту в этом видео все понятно, но только при условии просмотра предыдущих видео от него же , я когда писал это еще про тему ничего не знал, а видео для людей которые уже что-то понимают в тригонометрии и геометрии