Комплексные числа: коротко и понятно - Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп 

Всем, кто хочет узнать, что же на самом деле написано в Библии (ну, вдруг), нужно прочесть трилогию: - "Анализ молитвы "Отче наш", - "Доказательство мифологичности Иисуса Христа", - "Четвероевангелие атеиста" В. Пантелеева Общий объём 1.5 млн зсп.

Специалисты, разрешите наивный вопрос. В ролике понятно объясняется произведение дву комплексных чисел. По умолчанию это скалярное произведение. А возможно ли определить векторное произведение комплексных чисел?

​@@user-ns1zi8hh6wя, конечно, не специалист совсем. Но вот что-то про векторам помню, что произведение векторов может быть числом, а вот произведение чисел, вектором никак.

@@user-ns1zi8hh6w В результате скалярного произведения векторов получается число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Произведение комплексных чисел - это снова комплексное число (вектор), у которого модуль (длина вектора) равен произведению модулей, а аргумент (угол) равен сумме аргументов перемножаемых комплексных чисел. А векторное произведение комплексных чисел - это векторное произведение векторов, которые эти комплексные числа представляют.

1.Я не люблю математику потому, что ее часто объясняют так, что кажется, что специально хотят, чтобы я ничего не понял. Было бы замечательно, если бы вы стали таким редким(а может быть и первым) математиком на ютюбе, который объясняет понятно. Понятно не для тех, кто это уже знает, а для тех кто не знает, для обычных людей. Я не говорю, что вы плохо объясняете, я еще не оценил, видел только ролик про деление на 0. 2.Этот ролик я не посмотрел, потому, что в комплексных числах нет ничего интересного для меня. 3.Я, бы вам рекомендовал сосредоточиться на самом интересном и самом востребованным в жизни обычного человека разделе математики на ютюбе, а именно: Теория вероятности и математическая статистика. Вот это было бы круто.

8))

А ещё комплексный обед включает в себя первое действительное и второе мнимое )

В каком смысле? Борщ- + Салат + второе с мясом + компот/морс клюквенный + булочка?

@@LEA_82 Борщ без мяса+второе из тухлой тушеной капусты, перловки и головой хека, плюс компот из одной дольки сухофрукта за 60 советских копеек. И после такого обеда контрольная по ТФКП. За это ненавижу математику.

@@barackobama2910 А зачем было это есть? Чай, желудок не казенный.

О подвигах 300 спартанцев помните? Их предводитель цар Леонид, когда пришли послы в Спарте просить помощи против персов, и затянули витиеватую речь, ответил так: "Ваша речь была настолько продолжительной, что пока дошли до середине, я забыл начало, а когда закончили, я забыл и середину." Это по сути был отказ. Многие математики как этих послов и выражаются, а чтобы понять краткие записи с кванторов и др. нужно прочитать довольно много. Поэтому Вы их и не понимаете. Кстати, чтобы понять математику, лучше читать акад. Зельдович и Мышкис, Смирнов, Погорелов, Выгодский, Эйлер, Колмогоров, Краснов, Микусински и Сикорски и ... прошу прощения что не называю всех.

Ну рассмешили Вы меня,спасибо.

​@@sasaal1459 не хочу читать. хочу, чтобы такой чувак мне так прикольно рассказывал

Это не комплексный, а лживый. Настолько заврались, что уже даже азов не понимают.

Скорее материально об абстрактном...., просто-сложно это тоже абстракции не материальные... (В звуке и графически на доске..) Ничего личного, просто люблю логику и философию.

Братик, я могу сложно о простом. Это как тебе такое?

​@@user-qk6fw6bz4lэк тебя торкнуло... Можно почитать Теорию функций комплексного переменного, или для "отпускания" Т.Ф.Д.П. Там проще... Не так эффектно но проще, если в Анализ не заглядывать. Хотя там тоже КРАСИВО.

это значит, что человек очень хорошо понимает то, о чем рассказывает

Я тоже жду, особенно хочу узнать, где ударение будет😅

@@user-cs1wt9wf4u Ударение будет по башке.🤣

@@user-cs1wt9wf4u Ударение правильное на первый слог. Но есть много людей сознательно коверкающие произношение слов чтобы казаться якобы умнее (компле'ксный, ато'мный, рапо'рт)

Как счастливы гуманитарии, у них на любую математическую вселенную найдётся вселенная вселенных, то есть они всегда мощнее. ;-)

Математика, это наркотик, доступный только избранным. Как же на него ,,подсесть,,?

По одному из определений комплексные числа это такие, что любой многочлен с комплексными коэфициентами представляется в виде (x-a0)(x-a1)..., где a0, a1... это все нули многочлена. Это самое полезное определение и по сути ровно то что сделали итальянцы в 16 веке. А если взять немного шире, тоже свойство распространяется не только на многочлены, но и на некоторый класс функций - тн произведение Адамара, откуда например вытекает важность нулей зета-функции. Да, математика требует много усилий на освоение, но это лучший антидепресант! Если хотите изучать математику - начинайте с Евгения Дашкова и будет вам счастье!

@@LWWWP Не хотелось бы меряться пиписьками, но теорема Гёделя о неполноте формальных систем любую вашу "мощность" перебьёт.

@@alexlinde6695 Ой, а я разве? Я как раз наоборот, полностью за. Судиться можно либо бесконечно, либо "по понятиям", то есть искать значение в цепи определений, либо принять значение приданное извне. Это вот, кстати, нужно законодателям рассказать, но, боюсь, это займёт бесконечное время.

Тоже 1 курс?

@@rustam46297 нет. Просто кучу технологий не разработать без этих чисел.

Поинтересуйтесь, что такое множества Жюлиа и Мандельброта.

Тут дело не в правде и убеждениях, а в принятых правилах и соглашений. Если оставаться в рамках вещественных чисел, то корней чётной степени из отрицательных чисел и не будет. Если принять за правило, что i равно корню из -1, то это корни из отрицательных чисел появляются, но это уже в рамках других соглашений.

​@@Dronzord так суть тут в другом. Он говорит, что тебя вгоняют в одни рамки, но при этом тебе ни слова не говорят, что есть другие. И вместо того, чтобы понимать ограниченность системы на данный момент, ты думаешь что вцелом система ограничена, надсистемы никакой нет. Другими словами, формируют искажения. А потом приходят студенты на пары, и у них мозги плывут от того, что: "оказывается можно взять корень из -1????!!! И на ноль делить, если постараться????!!". Учить они эти темы не готовы, они первые пары избавлятся от старой парадигмы, и уже потом готовы к получению новой.

Чтобы нормально ввести комплексные числа нужны некоторые усилия, так легко, как с действительными(в рамках школы), не получится. А так, в принципе, в конце 11 класса обычно дают какие-то поверхностные знания про комплексные числа, по крайней мере почти в каждом учебнике за 11 класс они есть. Проблема в том, что многие учителя не знают комплексные числа достаточно хорошо(а некоторые и просто не знают), чтобы их преподавать, да и особо смысла время на них тратить нет - кто не пойдет на технические специальности, тем они не понадобятся, им бы ЕГЭ на проходной сдать, а тем, кто пойдет, все равно все заново будут объяснять в ВУЗе.

@@randomcraft2345 мы в школе проходили комплексные числа в старших классах. В итоге лично у меня это в итоге вызывало дополнительные вопросы, когда был тот же ЕГЭ или другие экзамены, где спрашивалось: а сколько корней имеет уравнение? Так как я знал про комплексные числа, а в условии не говорилось, что речь о строго действительных корнях, то иногда в ступор вводило. Есть и другие темы за рамками школы. Типа неевклидовой геометрии, где параллельных прямых может не быть. Есть вообще куча отдельных математических дисциплин. И всё это в идеале неплохо бы хоть как-то понимать, но в реальности это только запутает большинство учеников, да и студентов.

@@Dronzord не запутает, если систему реформировать. Наше образование не менялось с тех пор, когда большинство дисципилн только зарождались. Есть сделать реформы, организовать цельную систему, а не просто в старьё пихать новое, то и работать это будет лучше. Сразу возникает вопрос, а как делать реформы, если это сложно? Требует много средств. Ответ простой: чем раньше начать делать, тем меньше объем реформы потребуется в краткосрочной и с реднесрочной перспективе; реформы, так и или иначе, всё равно нужны, математический аппарат далеко вперёд шагнул, а обучают ещё старому, фактически в школах нет смысла (кроме социального), т.к. все знания там поверхностные и задрачиваемые. Ну и самое главное, у нас в стране на систему образования приходится больше 4 многоэтажных зданий, где люди фактически ничем не занимаются, поувольнять и освободившийся бюджет направить на найм высококвалифиуированных специалистов и на реформу. Сейчас, единственные действия системы образование - попытки впихнуть новые наративно подходящие под политику государства предметы - всё, предметы даже не проробатываются (тоесть просто имитируют бурную деятельность).

А какие примеры из физики?

@@Andrei_S708 ну, гармонические колебания, теория дифракции света, квантовая физика, давно это было. Сейчас я - биологией занимаюсь. 😀

@@Andrei_S708 Траектории движения тел вокруг массивного гравитационного центра - эллипс, парабола, гипербола. В идеале.

@Andrei_S708 электротехника. трёхфазные напряжения и токи через них описываются.

Спасибо за ответы! Даже не знал что комплексные числа настолько полезны

С наскока только шишки на лбу растут

А можно теперь такой же ролик с короткими и понятными пояснениями на ролик с короткими и понятными объяснениями комплексных чисел?

Вы, сударь, гурман! Согласен полностью.

А уж сколько комплексных чисел перемалывается при распаковке видео и аудио и выводе данных изображения на экран и звуковую карту, когда вы смотрите это видео - вообще ни в сказке сказать, ни пером описать.

Как Вы вставили формулы в коммент?!

@@Rexsinger греческая раскладка + доступ к символам юникода в браузере Хром.(правый клик > смайлы и потыкайте кнопки). Ещё если в ютубе окружить текст звёздочками, то он станет жирным, а если минусами, то зачёркнутым: *АМОГУС* , -АМОГУС-

@@nartoomeon9378 Строго говоря, браузер здесь ни при чём, хотя если доступ есть, можно и так. Греческие буквы и символы математических операций берутся из любого справочника Unicode, включая оригинальные таблицы стандарта. И для Windows и для Linux имеются приложения типа Character Map.

@@Micro-Moo Edge имеет функцию ввода символов юникода через меню по правому клику. Эта функция теперь уже давно есть в хромика. С него печатал. Ещё есть клавиатура StylishText такое зелёное - даёт возможность на андроиде создавать свои раскладки клавы с символами юникода. Суперполезное, но просит рекламу смотреть за это.

А мне вот, как раз именно подача не понравилась. Противнейший типок, чОкающий и несущий местами полнейшую ахинею

Чё там понимать? Комплексное число это двумерный вектор, вот и всё. А дальше работа с векторами по теореме Пифагора. Всё.

@@KpeBegko Семён Семёнович абсолютно прав. Это обычные векторы, для которых ввели одну дополнительную операцию интересным способом: умножение. Действительное число можно легко представить как вектор на прямой с началом в точке 0. Умножение действительных чисел - это растяжение длины одного числа кратно длине второго числа: 2*3 = 2+2+2. А умножение комплексных векторов - это 1. растяжение длины одного вектора на длину другого вектора и после этого дополнительный 2. поворот угла первого вектора на угол второго вектора. Почему и как так случилось, что алгебраическое умножение чисел вида (a+bi) и (с+di), с принятием i*i = -1 с одной стороны и умножение комплексных векторов через операцию "кручу-верчу" с другой стороны - дают один и тот же результат? И при этом без исключений - это происходит всегда, т.е. они абсолютно идентичны. Как такое возможно: эти 2 операции - алгебраическая и геометрическая, как представляются на первый взгляд абсолютно из разных опер, а возможно даже из оперы и балета?! Ответ простой: повезло. Повезло, что в этот день на сцене были и танцоры балнта и оперные певцы - вместе они поставили спектакль нового формата - так появился мюзикл. Повезло, что синусы и косинусы углов суммируются определённым способом - причина того, что сложная гемотрия так легко поддалась простой алгебре кроется: 1. в формулах cos(a+b) и sin(a+b) 2. не важно какой из векторов повернуть (можно повернуть первый вектор на угол второго или второй на угол первого): а+b = b+a, здесь a и b - углы векторов. 3. если есть три вектора, то не важно с какого вектора начнём операцию умножения, т.е.: (a*b)*c = a*(b*c), здесь a, b, c - комплексные вектора, а * - операция растяжения вектора с последующим поворотом. А могло бы не повезти и не получилось бы комплексных векторов. Например, комплексные вектора в трехмерном пространстве не существуют именно по причине номер 3. Там нет полной ассоциативности. А вот в 4-мерном ассоциативность опять появляется. Для того, чтобы комплексные вектора стали для Вас абсолютно "своими в доску" на доске проделайте следующую операцию: 1. возьмите два вектора, 2. умножьте их между собой по правилу "кручу-верчу" 3. по правилам суммы углов через синусы и косинусы найдите координаты получившегося вектора; 4. сгруппируйте получившиеся выражения (они очень длинные) по координатам 5. сравните с получившейся алгебраической формулой и вуаля - они совпадут! Проделайте это с векторами длины единица (и тогда Вы не покинете окружность радиуса единица - вычисления станут проще; а получить любой вектор из координат единичного - тееорема Пифагора). По этой формуле можно также идти и справа налево: т.е. простое алгебраическое умножение, переходя через формулы суммы углов, и есть поворот одного вектора на угол второго вектора. В математике, как в достаточно сложном языке, много совпадений и ещё больше несовпадений (вторых должно быть больше - из следствия теоремы Гёделя). Например, ab - двузначное число, к примеру 23, если вычесть из ab его составляющие a и b, то обязательно получится число делящееся на 9. Совпадение? И да, и нет: ab = a*10 + b ab - a - b = a*10 + b - a - b = a*9 В этом и заключается работа математика: неявное сделать явным. Это позволяет разрешить парадоксы, например, один из простых - "ошибка выжившего". К комплексным векторам это искажение восприятия вполне применима.

@@vitalysarmaev Мощный коммент!

Ещё комплексный ток и напряжение в электротехнике

Интересно как чат GPT отреагирует на зарос "абсолютно бесполезные математические фокусы"

вы про какие-то численные методы

@@nartoomeon9378 Да, это всё в большинстве случаев сводится к вычислению какой-нибудь иррациональности. Дело не в этом, дело в красоте. Я пока не знал суть метода, не понимал откуда из многочлена появляются арксинусы, а они могут. Если Алексей Владимирович расскажет нам лекцию как это бывает, то это тоже будет замечательная лекция.

@@LWWWP я видел формулу корней для уравнения 5й степени через специальный тэта-функции от коэффициентов. А уже они наверное могут быть получены тригонометрическими рядами.

Трушин труу 🤘

А как тогда быть с числом -j? Его квадрат тоже равен -1

@@user-qr9is8xw9s, а что с ним не так? Если за j взять -j, то ничего не поменяется, просто все отразится относительно оси реальных чисел. Математика от этого не поменяется.

@@aranarus не так то, что вашему определению соответствуют два числа, а не одно

@@user-qr9is8xw9s, у вас нарушена логическая цепочка. Чтобы понять что такое -j нужно сначала определить что это такое j. И в этот момент вы путаете причину и следствие. Вы пытаетесь воткнуть в определение j агрегат, вытекающий из j.

«Именно история проблемы и ее осмысления быстро движет к пониманию обнаруженного, в конце концов, истинного положения вещей. Это всегда так.» Вот только не всегда это так. В традиционном школьном преподавании химии исторический подход только запутывает.

Это смотря как видеть историю проблемы. Вся масса накопленных знаний в области химии, ко времени Менделеева уже явно подталкивала химиков к пониманию существования системы. Надо было только ее увидеть.@@Micro-Moo

@@andreyshnt3637 «Вся масса накопленных знаний в области химии, ко времени Менделеева уже явно подталкивала химиков к пониманию существования системы.» Я не об этом. Пример неудачный. Вот, например, в школе преподаётся понятие валентности таким образом, как будто атомистики и теории связи ещё не существует. Химиков это такой валентности аж корёжит. Это примерно как изложить почти всю астрономию на основе геоцентрической модели, а потом сказать, ну вот, а вообще есть ещё геоцентрическая модель, более продвинутая и современная, поэтому излагаем её после. В то время как излагать понятие о химической связи с современных позиций, со всякими электронными облаками и логичнее и проще. В своё время да, валентность была великим изобретением, хитрой абстракцией, позволяющей более или менее предсказывать поведение элементов в реакциях без знания о свойствах атомов, такой инвариант. И при этом нужна куча оговорок, мол, валентность это константа, но вот такие-то элементы обладают и такой и такой валентностью, это их хитрая особенность. Но зачем сейчас-то проходить такие зады? Им место на кружке по истории химии. Просто традиция такая сложилась.

К примеру, атом водорода. Электронное облако находится в "энергетической яме" за пределами которой вероятность нахождения электрона равна нулю. Так как энергия является штучной вещью, электрон не может терять ее постепенно и по этой причине не способен упасть на ядро. Схабав же конкретную штуку энергии, просто улетает куда-то вдаль. Получаем ион водорода. Вас не интересует, как в голову могла вдруг прийти мысль, что энергию правильнее всего измерять в штуках?@@Micro-Moo

И теория колебаний

Электротехника, сплошные комплексные числа

Ну да, что там такого. Даже в университетах пропускают построения целых, рациональных и вещественных. Переходят сразу к множеству комплексных

@@romanh219 «Даже в университетах пропускают построения целых, рациональных и вещественных.» Не верю. Или это какой-то совсем ублюдочный университет. Или вы что-то пропустили?

Мне тоже так кажется, всего пара шагов. Вот попробуйте и напишите, что получилось, будет очень интересно узнать. К сожалению, у меня в данных момент никаких шестилетних граждан под рукой не имеется.

Предпоследний шаг это объяснить почему минус на минус дает плюс. Не помню где вычитал, но вот хорошая аналогия: В комнату входит добрый человек, доброта комнаты увеличилась. Входит злой человек, доброта уменьшалась. Добрый человек выходит, доброта уменьшилась. Злой человек выходит, доброта увеличилась.

@@Darkness_7193 «В комнату входит добрый человек, доброта комнаты увеличилась.» Какие же благоглупости! Вспомнил, как-то встретил школьника, который рассказал, что его учительница, очевидно полная дура, «объясняла» это так: «друг моего друга мой друг, враг моего врага мой друг...», ну, все сочетания. Наверное, если перебить всех педагогов и оставить одних учителей, математика расцветёт. 🙂

Так с него и начали - решение кубических уравнений.

Да, мне тоже интересно послушать более подробно про комплексные части корня кубического уравнения, почему они должны взаимоуничтожаться, давая только чисто вещественную часть.

@@FastStyx там оказывается от корней к углам переходят

@@FastStyx то есть танг угла фи равен мнимая часть поделить на действительную.

@@FastStyx m.ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-4ttNyeqLdHY.html&pp=ygU60YHQsNCy0LLQsNGC0LXQtdCyINC60YPQsdC40YfQtdGB0LrQvtC1INGD0YDQsNCy0L3QtdC90LjQtQ%3D%3D

@@RuslanKamchatka, да вот про это и хотелось поглядеть - о каком ролике речь?

Как известно, киллеру математика нужна, чтобы правильно подсчитать патроны. Рэкетиру - чтобы подсчитать оптимальную дань с коммерса. И по вашей части найдется, где талант применить. Например, оптимальную температуру и глубину погружения паяльника.

Или требуемую площадь подошвы утюга, для достижения точки екстремума, в функции слива информации.@@sobolzeev

Полнота множества комплексных чисел автоматически следует из полноты множества действительных.

Нет.

русский еще учить надо

Судя по построению фразы этот ученик ещё в прошлом тысячелетии школу закончил. В советском союзе

Можно доказать, что каких-то интересных трёхмерных чисел определить не получится, у них будут не очень хорошие свойства (например, делить на ненулевое число не всегда будет можно). Вот четырёхмерные интересные числа есть, называются кватернионы a+bi+cj+dk (i, j и k дают в квадрате -1). Кватернионы некоммутативные, то есть в них ab не всегда равно ba. Для большего конечного числа измерений будут теряться и другие свойства. (А вот бесконечномерные расширения вещественных чисел могут тоже обладать хорошими свойствами).

@@clopendoor поражают люди, которые во всём этом могут разобраться.

хороший вопрос в комплексной плоскости это уравнение имеет решение, т.е. новых чисел не требуется для его решения таким способом (т.е. требуя чтобы это уравнение имело решение) за пределы комплексных чисел не выйдешь

0,71-i0,71

Ан-нет, досмотрел. Всё на месте)

@@vp_arth Это вы классно выступили. Вот и я так же: начинаю писать комментарий, на фоне этого слышу аудио канал видео и вдруг понимаю, что пишу зря. 🙂(Но чаще получается, что не совсем зря.) Лучше не удаляйте ваш комментарий, он хорошо смотрится.

непрерывность и плотность числового ряда не зависит от от комплексных векторов никак. они могут применяться вместе, но друг на друга влияния не имеют - т.е. одно из другого никак не вытекает. как варежки и валенки. их можно носить вместе - будет теплее, но можно и по отдельности - смотря какая прогулка.

@@vitalysarmaev а аналитическое продолжение? Я в этом мало что понимаю , тем более, Римана.)))

@@user-ju9bv4sd2j поле комплексных чисел является плотной (в топологии задаваемой метрикой длины вектора). Т.е. плотность определяется топологией (метрикой) комплексных векторов, а не самими векторами как объектами, наделёнными свойствами манипуляции над ними "умножение через кручу-верчу". n.b. очень длинное nb. Правда при рассмотрении функций комплексных переменных и значений появляется как минимум одна особая точка - "бесконечность" - её можно представить как вершину шара, а саму поверхность шара как комплексную плоскость. Что это такое: положите голбус на стол северным полюсом строго вверх, соответственно, южный полюс касается стола - и это единственная точка соприкосновения со столом - эту точку примем за начало координат как на столе, так и на глобусе. И представьте что стол - это комплексная плоскость. Теперь в воображении протяните луч от северного полюса к любой точке стола (посветите лазером из северного полюса в сторону стола). Если вы нарисуете луч строго вниз, то Вы попадёте в начало координат, т.е. южный полюс, если же протянете под углом, то при прохождении от северного полюса до стола луч обязательно проткнёт глобус в какой то точке (луч начинается внутри глобуса а заканчивается снаружи - на столе). Таким (не-)хитрым способом можно плоскость полностью спроецировать на поверхность шара. При этом близкие-сосдение точки будут спроецированы на близкие- соседние точки, т.е. такая проекция будет непрерывной. А теперь возьмём любое направление на столе от начальной точки и проведём луч на столе в бесконечность от начальной точки. У нас получились 2 луча: один лежит на столе и уходит в бесконечность - он фиксирован, а другой луч проективный - он начинается на северном полюсе и заканчивается на столе. Если проводить проективный луч к любой точке фиксированного на столе луча, то получится картина как в шпионских фильмах: когда луч лазера проходит от начаьной точки и устремляется в бесконечность - лазер установленный на северном полюсе (это проективный луч) убегает по фиксированному лучу на столе от точки соприкосновения глобуса со столом в бесконечность. А точка, где лазер в любой момент времени протыкает глобус - это и есть проекция комплексного вектора на поверхность шара. Посмотрите что происходит тогда, когда мы всё дальше и дальше отдалились от центра - луч будет протыкать глобус все ближе ближе к северному полюсу, и когда уходит (стремится) в бесконечность на столе, то луч лазера становится строго горизонтальным, т.е. в этот момент луч протыкает глобус в самой точке проецирования - в северном полюсе. Это значает, что бесконечному удалению по следу конкретного луча на столе, соответствует сам северный полюс. Т.е. северный полюс и проецируется в бесконечность. Далее ещё интересней: на обычной числовой прямой только 2 бесконечности: налево и направо, т.е. минус и плюс бесконечности. А на комплексной плоскости бесконечностей бесконечно много - берём любой направление от центра и уходим вдаль - а там своя уникальная бесконечность. Проецирование на шар позволяет это бесконечное количество бесконечностей собрать в одну осязаемую точку на шаре - на северный полюс глобуса. Так как в каком бы направление мы не уходили в бесконечность, то все равно при проецировании лазерным лучом в итоге придём к северному полюсу. Это и есть особая точка комплексной плоскости - проецирование на глобус позволила весь бесконечно удалённый горизонт собрать о одну точку. С этой точкой, несмотря на то что она вся такая сборная и вся такая фельдипёрсово-бесконечная, можно работать как с обычной точкой (она ничем не отличается от других точек на глобусе). Эту штуку тоже ввёл Риман. nb окончено. А теперь перейдем к аналитическому продолжению: ... продолжение следует 😊

@@user-ju9bv4sd2j продолжение. аналитическое продолжение (в парк! в зоопарк!): в поле действительных чисел, если функция достаточно хорошая (а лучше даже, чтобы оооочень хорошая и возможно прихорошенькая - т.е. достаточно много, а лучше всего бесконечно дифференцируема), то её можно представить в виде ряда Тейлора: т.е. зная значение функции в конкретной точке и зная все производные в этой точке можно в пределе узнать точное значение функции в любой точке. Это кажется фантастикой на первый взгляд. У нас есть функция и есть значение этой функции и всех её производных в данной конкретной точке, предположим в начальной точке x=0. И теперь мы можем не двигаясь с места сказать какое точное значение функции будет при x=10⁹ или x=10⁵⁰⁰. Это как если бы Вы сидя дома удобно на диване считывали бы мысленно свойства объекта на Марсе или на Юпитере. Но ничего магического и/или парадоксального в этом естественно нет, даже ловкости рук не нужно. Будет время "на пальцах" объясню в чем там дело. Магии нет, но факт есть. Мы можем, зная значение "достаточно хорошей" функции и её производных в данной конкретной точке, расширить эту функцию на всю числовую прямую и быть уверенными что исходная функция и наша расширенная с конкретной точки на всю прямую функция совпадают один в один (совпадение даже больше чем Галкин в Жириновского). Это и есть прообраз аналитического расширения на комплексной плоскости (в данном случае слово прообраз - это форма речи, а не математический термин). Т.е. если комплексная функция достаточно хорошая, то можно, не покидая нашу любимую точку, сказать, что же там творится с функцией на дальних окраинах. Но есть засада ... И это засада называется особая точка функции. Особая точка - это точка в которой она не определена по какой-либо причине (например, принимает значение бесконечность или принимает любое значение - бесконечно много значений, такое тоже бывает). Функция 1/x в точке 0 имеет особенность - она там уходит в бесконечность. Так вот, для такой функции просто так аналитическое расширение не построить. "Достаточно хорошенькая" функция так себя не ведёт - не уходит в несознанку/в бесконечность ни в одной точке комплексной плоскости. А 1/x по субботам уходит в точку 0, и ей там крышу сносит: видели ночь, гуляли всю ночь до утра. n. b. есть сексисткий анекдот и он тут очень в тему: - чем отличается хорошая девочка от плохой девчонки? - хорошая девочка умеет то же самое, что и плохая девчонка, но очень хорошо. Так вот, тут все наоборот плохая функция умеет то же самое, что и хорошая, но очень своеобразно. Что же это такое, почему это произошло и как теперь с этим жить? продолжение следует...

Да сколько угодно... Стоит только немножко подумать.

Альтернатив много может быть. И даже чисел со знаком. Используя гомоморфизм сколько угодно альтернатив создаётся.

@@rubcovovy «Альтернатив много может быть. И даже чисел со знаком. Используя гомоморфизм, сколько угодно альтернатив создаётся.» Совершенно верно. В таких случаях я говорю: «дурное дело нехитрое». 🙂

гиперкомплексные числа, такие как кватернионы, октонионы, седенионы, дуальные числа, дуальные кватернионы и прочее. А еще можно вспомнить про различные системы счисления - хоть там цифры в виде символов те же самые, но числа устроены по-другому.

Комплексных хватает для решения всевозможных уравнений вида f(x) = 0, где f(x) есть функция вещественнозначная, а x переменная, которая изначально выглядит как вещественная, но при решении уравнения ищется в комплексной плоскости. Например для решения уравнения sin х = 5.

зависит от уравнения. есть уравнения на функции, которые и в комплексных сложно решить. Фактически остаются только те проблемы, которые либо нерешаемы без расширения основ математики, либо невозможные. *Но есть в этих числах изъян - нельзя построить порядок.* То есть - нормальной системы сравнения "больше/меньше" -- не построить, никогда. Даже не пробуйте. Уверен, для части от всех может и получится, но не для всех.

Если занудно: комплексные вектора - это поле - там действуют правила раскрытия скобок как в обычных числах - это называется поле - т.е. куда не кинь - везде посевы. А все что выше размерности - это тела и ещё более слабые системы, там скобки просто так не раскроешь - в этом вся трабла.

@@nartoomeon9378 «Но есть в этих числах изъян - нельзя построить порядок.» Тоже мне изъян. Во-первых, в общем случае рассматриваются не упорядоченные множества, а частично упорядоченные. И тогда в комплексными числами всё в порядке (каламбур ненамеренный). 🙂Во-вторых, «те проблемы, которые либо нерешаемы без расширения основ математики, либо невозможные» - это не по теме. Вопрос был не о расширении основ математики, а более конкретно, о расширении множества чисел. И здесь даже всякие там кватернионы ни при чём. Комплексные числа можно рассматривать как обобщение действительных чисел для решения уравнений в вещественных чисел. Аналогия с обобщением положительных чисел путём введения отрицательных просматривается. А с кватернионами - нет. Или я её не вижу.

Комплексные числа - это как феи - понять можно, но понятия с нулевым объёмом, фикция. Есть инновационный метод ГРАФИЧЕСКАЯ КАРТА ПРЕДПРИЯТИЯ. ТАМ ПРО ПРОДАННУЮ ДОБАВЛЕННУЮ СТОИМОСТЬ (е +), необходимую для получения прибыли (П). Рекомендую для понимания базовой экономики

Суммируются не части комплексного числа, а комплексные числа, у каждого из которых одна из компонент нулевая. Комплексное число можно запиcать через запятую, но можно и через сумму. Например, (5,7)=5+i*7, здесь записано, что число (5,7) это сумма двух чисел, (5,0) + (0,1)*(7,0). При записи через сумму используются обычные действительные числа вместе числом i=(0,1). Такой способ записи позволяет избежать использования запятых, потому что запятые могут смутить читателя - что же тут эти запятые означают ...?

Ну так поймите сначала, потом переходите. Вы куда-то спешите?:)

Математика это разговор не о цифрах, буквах или других "мифических" символах, бывших, существующих и будущих, это разговор о взаимосвязях

@@user-wk3pr9dn3xПолагаю, вы правы: будучи гуманитарием, для меня различные языки человеческого общения как минимум структурно понятны, однако язык математики остаётся за пределами понимания. =} Из школьного набора приобретённых знаний в области математики пользуюсь только таблицей умножения и пропорциями в повседневной жизни, на этом всё )). Никаких формул или теорем ).

=) Я знал, что в комментариях под этим роликом должны найтись жертвы Льва Бессонова!