✓ Комплексные числа. Введение | Ботай со мной  

сдал егэ, поступил в вуз, продолжаю смотреть. Спасибо.

Все ,кто пришёл сюда после первой лекции по ВышМату, Удачи нам)

Я один смотрю Трушина и радуюсь жизни? На лекциях нифига не понятно, а тут вжухххх, АААА, спасибо, побольше видисов по вуз программе)

Мне почти 50 и вуз закончен кажется в прошлой жизни, но как интересно слушая ваши объяснения конкретно врубаться в то, что лишь смутно понимал будучи школьником и студентом. То что вы делаете бесценно, так разжевывать материал... Браво, вы Преподаватель с большой буквы! Респект вам от многих тысяч жаждущих познаний!

Борис, спасибо, что наконец-то объяснили. Я всегда подозревал, что -1=1, и вот сомнения развеяны.

первокурсникам привет

Спасибо вам за то, что безвозмездно рассказываете об этом

Смотрю и так радостно что такой контент есть на ютубе. Спасибо вам большое!

Очень рад этому видео! После видео с формулой Кардано успел закончить школу и поступить в ВУЗ, но все равно знал, что рано или поздно дождусь и комплексных чисел.

Борис, спасибо! Я Вас люблю, Вы прекрасный человек 💎

Очень понравилась ваша подача материала с любовью с душой и знанием темы изложения. Благодарю вас за ваш просветительский труд.

Спасибо Вам огромное, вы так легко объясняете, я на эту тему готовлю исследовательскую работу, спачибо Вам

Спасибо большое за лекцию) Прошла на одном дыхании!

Спасибо, Борис Викторович

Огромное спасибо за объяснение материала! Понадобились знания по этой теме для понятия переменного тока и импеданса в электронике, и вы мне помогли с этим, благодарю!)

Хорошее объяснение) Спасибо!

Борис, огромное Вам спасибо за всю Вашу ценную деятельность на RU-vid. Очень хотелось бы видео на тему НЕРАВЕНСТВО МЮРХЕДА. Благодарю за внимание.

Молодец, Борода, острый ум.

О боже... Как же это прекрасно... Это прекрасное чувство получения новых знаний... В этом году перешёл в новую школу, типо более крутую (другой корпус той же школы) но... К сожалению осознаю, что в прошлой школе был куда более классный учитель математики, сейчас у нас тупая зубрежка, учитель решает на уроке все сам, все теоремы доказывает сам- не даёт подумать ученикам самим, а в прошлой учитель постоянно давал нам задачи повышенной сложности, над которыми надо было подумать самим ученикам... И это было реально классно, на каждый урок математики было радостно приходить, а сейчас... Только ваши видео спасают, спасибо вам!

Спасибо большое за полезное видео!

Вот было у меня недовольство тем, что числа существуют в одномерном пространстве - от минус бесконечности до бесконечности на одной прямой. И хотелось бы, чтобы у чисел было больше возможностей и... Вот же оно! То, о чём я мечтал. Спасибо большое! Интересно и доходчиво!

Спасибо вам , дядя Борис

Отличное объяснение. Спасибо.

Спасибо. Теперь я нормально понял, что такое i в комплексном числе да и вообще стал лучше их понимать. Я не учусь, я радиолюбитель. И эти числа мне нужны в работе.

Спасибо огромное, очень доступно объясняете материал

Всем, кто пришёл сюда после слов о том, что в ЕГЭ-2022 могут быть задания на комплексные числа: привет, я с вами.

Борис Викторович, пожалуйста сделайте видео про известные неравенства и их применение

Спасибо большое за видео Благодаря вам я понимаю и люблю математику

Спасибо!

Этот канал - моё спасение

Вау, спасибо большое 👍🏻

Классное объяснение!

Ровно 2 года назад вышло это видео) Какое странное совпадение,я его смотрю спустя ровно 2 года!! 18 ноября 2020!))

намного благодарен дорогой Борис Трушин

Супер!!!!!! Спасибо!!!!!!!!!!!

Хорошо. Понравилось.

Спасибо

-1=1 спасибо, теперь я видел все!

вы лучший!

Хоть физтех уже давно закончил, но Трушина до сих пор смотрю 😄

Борис Викторович, хотелось бы наглядно увидеть, как применять комплексные числа в формуле Кардано и решить все-таки то уравнение из выпуска. Спасибо)

Класс!

Крассавец :) Мне 40 и учился в прикмате, но рассказ интересн даже мне :)

Кажется, что люди забывают, что действительные числа - это такая же абстракция, как и комплексные. их так же нет в природе. с этой точки зрения вообще нет никаких проблем с пониманием) и то, и другое - просто выдумка, которая как-то помогает нам жить, просто одна из них менее привычная

*Cпасибо*

спасибо

Все правильно и доступно, но..., ИМХО, немного лихо и почти в духе ЕГЭ (в плане объяснять ученикам, что решать задачи ЕГЭ просто и надо всего лишь хорошо подумать). Однако человечество медленно и мучительно приближалось к комплексным числам. Надо сказать, что во времена Кардано и Тартальи (1530-1550) не только мнимые числа, но даже отрицательные не воспринимались просвещенной публикой от слова совсем. Сам Кардано называл отрицательные числа "чисто ложными", а комплексные "поистине софистическими". Еще следует добавить, что Виет ввел современнную алгебраическую символику на полвека позже (1591). И лишь самые смелые и отчаяные из исследователей пользовались этими числами. Впрочем уже пару веков спустя, например, Муавр (1667-1754) или Эйлер (1707-1783) весьма лихо оперировали комплексными числами. Но, столь просто и небрежно сообщенная Борисом Трушиным геометрическая интерпретация комплексных чисел появилась еще через полвека в работах Весселя (1799) и Аргана (1806), а стала щироко известна только после работы Гаусса (1831). Где-то вот так.

Эххх, вот насоольгия, после этого видеоролика я углубился в изучение комплексного анализа, пройдя интегральную теорему/формулу Коши и кучу интересных тем, и щас подступаю к гиперкомплексным числам

Топчик

ты лучший

Борис, вы действительно сокровище) будет ли микрокурс по ИИ и нечеткому множеству?

Я учусь в 8 классе. Недавно прошли квадратные уравнения и дискриминант. Меня бесит ответ, если Д меньше 0,то ответ нет корней. Нам учитель, когда рассказывал тему ,говорил "Есть конечно комплексные числа и корень из минус 4 это 2i,но это вам расскажут, когда встанете взрослыми и будете учиться в университете". В какой то степени нас вводят в заблуждения ,говоря, что можно продолжить, если посчитать комплексные (мнимые) корни, но при этом говоря, что правильный ответ - нет корней. Да, возможно так и есть, но не совсем так. На самом деле более правильно бы звучало "нет действительных корней". Я думаю, что нужно детей с 8 класса приучать, что можно найти мнимые (комплексные) корни. Ничего сложного. Например уравнение 2х квадрат + 6х + 9 =0. Дискриминант будет -36,пишем нет действительных корней, далее пишем корень из -36 = 6i. И дальше по формуле. Это все приведет к ответу, если не ошибаюсь -1,5 плюс минус 1,5i (считал в голове просто, могу ошибаться). Я не говорю, что надо изучать прям полностью комплексные числа - там когда уравнение переходит в систему вещественных и мнимых уравнений(смотрел ролик на ютубе, там один мужчина говорил о таких уравнениях),а хотя бы дать детям азы и не вводить их в заблуждения, чтобы в университете не переучиваться

BRAVO

Борис, я не знаю преподаете ли вы где-то, но если так, вашим ученикам повезло. Очень доступно, много точных и нужных замечаний и отступлений, грамотная концентрация и акценты на основных вещах (круто что для тех кто интересуется вы как в лучших традициях сериалов остановились и сказали что: далее геометрический смысл комплексного числа ...to be continued). Как жаль что у меня было все иначе, когда я проходил данный курс в университете (Зверски убитого 30 октября 1905 года, кто слышал тот поймет отсылку). Работаю не по специальности, но мимо пройти не смог, инженерное начало заставило освежить память, спасибо огромное. Очень круто, подача материала на лучшем уровне. Еще раз спасибо.

Я объясняю необходимость комплексных через аналогию с отрицательными: Отрицательные числа, хотя и привычны, на самом деле не описывают никакие реальные объекты. Что такое минус три яблока - бессмыслица. Отрицательные числа это некая абстракция включающая в себя величину и направление с точностью туда-сюда. А комплексные числа в свою очередь некая абстракция, включающая в себя величину и направление на плоскости. С помощью этих абстракций просто удобно решать задачи соответствующих математических моделей.

В физике просто "абстрактное" комплексное число, является вполне осезаемым обычным вектором, коим не всегда удобно пользеваться в тригонометрической форме. По этому и используют комплексный его аналог для перевода в алгебрическую запись.

Главное место применения комплексных чисел это энергетика. Там их используют даже ПТУ-шники.

В чем прелесть комплексных чисел, так это в том, что сколько бы лекторов про них не говорило, все эти лекторы могут рассказывать одно и то же совершенно разными способами, и не повторяясь между собой.

Вся проблема студентов, осваивающих Высшую математику, заключатеся в том, что они не чувствуют прикладной нааравленности изучаемого материала...как только человеку дать инструмент имея который, он будет иметь выигрыш и он его ощутит, то сразу появляется сильнейший мотив к освоениюи познанию.

Простите за многословность. Для понимания комплексных чисел нужно разорвать шаблон и понять, что мы измеряем и складываем. Мы с готовностью используем натуральные числа (2 яблока, 3 вороны) и вещественные положительные (2,75 тонны щебня, даже корень из 2 метров доски для укосины). При этом с лёгкостью путаем величину и количество (известная проблема, рассматриваемая и решаемая неоднократно на разных уровнях развития мысли). И как-то неожиданно мы стали даже натуральные числа рассматривать как ОТРЕЗОК на абсциссе длиной в количество яблок. Но разве количество яблок измеряется длиной отрезка? Не будет ли правильнее сказать, что количество яблок мы обозначаем точкой (!), расположенной на расстоянии количества яблок от нулевой точки? И тут проблема: производя сложение яблок, мы складываем НЕ точки, А расстояния. Два километра яблок? Нет, конечно! Но и не две точки яблок! Этакий дуализм: мы для обозначения количества яблок откладываем расстояния, но ставим точку. И для сложения мы складываем не точки, а расстояния, измеряемую характеристику количества яблок. Неожиданно, для комплексных чисел важно не только расстояние, но и направление. «Как можно сложить две комплексные точки»? Да никак точки нельзя складывать, их условный размер равен в пределе нулю. Точки нельзя складывать и для действительных чисел. Складывать можно измеряемые характеристики в парадигме измерения. А для комплексных чисел измеряемой характеристикой является одновременно длина и направление, вектор. Система едущего по прямой автомобиля будет в нашем понимании действительной, а характеристика летящего снаряда будет комплексной. А на вопрос «как терминами прямолинейного движения популярно объяснить параболическую траекторию снаряда», ответом будет простое слово: никак.

Очень хотелось бы узнать ваше мнение касаемо суммы натурального ряда и значения, которое ей приписывают (-1/12)

Роботический голос Бориса великолепен.

Спасибо Вам большое! Мне, например, в 8 классе рассказывали, что мнимая единица - это корень из -1. А тут Вы лихо обочновали, что такая запись некорректна. Вы прям учите думать! Спасибо🤗

вначале озвучена очень хорошая идея, что лучше определить i^2. вчера смотрел Савватеева у которого более новый ролик, так тот просто сказал i=sqrt(-1) и -i = sqrt(-1) тоже. ну и после осознания умножения/возведения в натуральную степень интересно посмотреть что -1 это единичный вектор влево. получается чтобы взять из него корень нужно построить биссектрису (положительное направление действительных и вектор -1+0i) и она укажет ровно вверх с длиной равной 1, т.е. i. c с другой стороны можно взять -i (270) и провернуть еще на 270, получим снова 180.

вау, в егэ комплексные числа могут появиться

Здравствуйте Борис. Хотел спросить Вас за комплексное пространство.

Борис большое вам спасибо за творчество. И у меня тут вопрос появился а придумали ли математики числа для которых нужна третья ось ))

Здравствуйте, Вы даёте индивидуальные занятия по Скайпу? Как можно с Вами связаться

Сделай видео про то, что доказал Перельман.

Слушаю, отдыхаю, спасибо.

Здравствуйте , не могли бы вы выпустить ролик про геометрический смысл производной?)

Спасибо. Оказалось просто. Не понятно лишь в самом конце определение ли это квадрата модуля или это выводится, и почему квадрат модуля равен произведению противоположных мнимых числ?

А с какими перерывами стоит смотреть эти видео?

спасибо за i^2 = -1 почему нам в головы вдалбливают именно i=sqrt(-1) ?!?!?!

Десятый класс, комплексные числа. Ку дарова

Да, понравилось. Подписался.

Да, математика не ограничивается тригонометрией и физикой, математика - это гораздо больше, поэтому i^2=-1 - абсолютно нормально.

Эх, такие бы видео в мое студенческое время) Но в то время и интернета толкового не было, и таких популизаторов математики тоже не было)

здравствуйте, а не могли бы вы объяснить, почему комплексное число нельзя изобразить на прямой, и почему оно обязательно выходит на плоскость?

Есть ли графический способ отображения комплексных корней уравнения (например х^2+1=0) по аналогии с действительными корнями уравнений (например х^2-1=0) ?

Можешь пожалуйста сделать сегодня видео про квадратные корни

Забавно, я в восьмом классе, но все понял, да здравствует Борис Тушин

b может быть, например sqrt(2)?

Если Вас не затруднит, подскажите: log i -1?

Борис, умоляю, можете про комплексные числа рассказать вот в каком разрезе, вот у нас заданно квадратное уравнение, график которого не пересекает ось x, но когда мы пытаемся его решить, то возникают два комплексных корня, а вместе с ними 3 вопроса: что такое комплексная плоскость, как выглядит график квадратного уравнения в комплексной плоскости, и где он пересекает ось х?

В общем понятно. Наверно, это связывются в одну Великую семью: Пифагор, Декарт, Кардано, и кто- то из современников. Наверно школа Колмогорова, Гельфанд и мн. мн. др. Надо пересмотреть "Квант"ы. Их у меня сохранились, кажется с Первого № и до 89 года. В каком-то номере было объяснение КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ, но это было так давно. Много раз слышал это решение может быть представлено через КЧ, но практические задачи мы решали методом проб и ошибок и , хотя было много ошибок результат был приемлемый и то, что было нужно работало не ПЛОХО. Если бы вернуться в 60 - 70 и, да если бы кабы, а чтобы для сдачи минимума, что-бы стать ктн, потребовали бы проявить знания в "КЧ" то выросли бы грыбы. Знающих этот предмет имелись единицы наверно в МГУ и в Сварове. Я не жалею, хотя интересно бы было. Сегодня надо Молодым пожелать ОСВОИТЬ то, что сделали корифеи. А потом какой-нибудь аспирант скажет: а я знаю как возникает магнитное поле... вот его нет, и... вот оно появилось. Чудес в природе есть немеряно! Уперед. Усему своё ВРЕМЯ. А за лекцию спасибо. Но лучше, чем П. А. ВИКТОР лекции по Физике никто не читает. Ни А. Саватеев ни Б. Трушин ни много других препРОдавателей, Они должны учиться методике подачи предмета, антуражу, аккуратности представления графики, формул, схем и т.д и т.п. Не грех поучиться у ЛУЧШЕГО.

Не думал, что вернусь после егэ )))0

Спасибо Вам, Борис. Очень интересно Вас слушать. Но никак не приходит понимание того, что такое комплексные числа, а главное зачем их "выдумали". И, что особенно раздражает, так это понимание того, что проблема-то во мне. Вам ещё раз спасибо.

При делении комплексных чисел нужно лишь комплексно сопряжённое, чтобы в знаменателе не осталось i , нас за это зав кафедры радиотехники бьёт))

Получается, что у нас |z| - это расстояние до числа?

Нас на электротехнике учили делить комплексные выражения через переход в "e"

Подкачаться вам нужно. Спасибо за видео.

-1 = 1

А вот у меня такой вопрос...!!! Комплексное число это пара чисел! А есть ли такие числа которым соответствуют три числа или более? Ну это же естественное продолжение мысли...)) кватернионы? или что то другое

Егэ 2022, привет

объясните ,пожалуйста , каким образом можно отметить i на плоскости ? Проблема в том,что нельзя на линейке отметить расстояние равное i , на то оно и комплексное . Получается вторая ось абстрактная и в отличие от привычной числовой прямой нельзя точно сказать где будет находиться ,например , 2i + 3

Увидел видео в тиктоке, где вычислялся корень отрицательного числа.... Сразу же побежал к вам😂

Комплексные числа это линейная запись двумерных чисел.

Долго- долго пытался понять, что же это за i такое, (или j - в " электрических ВУЗах). Прояснение и понимание пришло только вместе со "сдвигом фаз" электрических колебаний. Умножить на i - значит повернуть вектор на 90° против часовой стрелки. И ВСЕ!!!!! Все остальное- частные случаи, меняющие поворот вектора на угол меньший, чем 90°...

На лекции открыли портал в новое измерение