Цикл лекций по Теории Галуа в ИМЭИ ИГУ, 2013г. Алексей Савватеев- Профессор имени Фонда «АЛКОА», доцент кафедры математических методов в экономике, доктор физико-математических наук, кандидат экономических наук.
очень умен, интересно слушать. Про теорию Галуа наслышан, ибо с помощью нее доказывается неразрешимость трех классических задач древности о трисекции угла, удвоении куба и тд с помощью циркуля и линейки
Спасибо. очень полезные лекции! Особенно сильно нравится то, что не просто даются скучные формулы, которые не всегда запомнить можно, а метод получения этих формул (что с лёгкостью можно повторить в будущем). Этого, зачастую, и не хватает в школе (по крайней мере не хватало мне лично, даже при хорошем учителе)
В любом случае, ты же когда решаешь даже например квадратное уравнение. Ты же не пишешь, сначала разделим на a, потом b/a * x превратим в квадрат получится квадрат суммы (x + .....)^2 = -c/a и так далее. Ты сразу считаешь b^2-4ac, а потом x1, x2, по формулам. Но конечно ты чуток прав, выводить формулы довольно таки увлекательно.
08:42 вот тут бы хорошо б это визуализировать это на доске простым понятным примером, чтобы сформировался образ. Не все могут так быстро со слов понимать абстракции минуя визуальный образ
Спасибо, но на наш взгляд при выводе формулы Кардано (методически, во всяком случае) несколько неверно говорить, что на альфа и бетта мы можем наложить два условия. Можем наложить ещё только одно, поскольку первое у нас уже есть - это данное кубическое уравнение после замены в нём y на альфа плюс бетта. Надо видимо произнести так: Наложим на альфа и бетта условие: сумма их кубов равна 2q. Тогда в силу исходного уравнения произведение альфы и бетты = p. А в силу формул Виета кубы альфы и бетты будут корнями квадратного уравнения Z**2 - 2qZ + p**3 = 0. и т.д.
Отличная лекция. Кстати, на ноль делить можно. Напоминаю, что в математике если хочется, то можно. Есть "нестандартная математика", в которой есть бесконечно малые.
Алексей, расскажите про дифуры. Мы их в универе проходили, но я не понял совершенно. Сейчас по работе в матлабе считаю, но хочется понимания того, что там происходит.
На edx есть замечательные курсы по дифурам. 4 штуки: Введение в дифуры, системы 2х2; системы NxN и линейная алгебра; Ряды Фурье и дифуры в частных производных. На английском, правда.
Когда лектор сказал, кто был первым обоснованно догадавшимся и написавшем о том, что нет конечной формулы для 5-ой степени, у меня сразу в голове заиграла эта песня: m.ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-GwDClnIBUIg.html
Алексей вроде бы неправильно записал формулу на 17 минуте) У mathologer-а по-другому она выглядит ( в первой строчке должно быть не a_2^3/9a_3^3,а a_2^2/9a_3^2)
В поле для каждого элемента должны быть выполнены следующие условия: коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, левая и правая дистрибутивность, существование противоположного и обратного элементов, существование единицы и нуля
У меня вопрос: а почему общее решение уравнения 5-й степени нужно искать непременно в радикалах? Виет, насколько я помню, искал решение кубического уравнения в тригонометрических функциях, конкретно, в арккосинусах. Почему никто не доказывает, что уравнение 5-й степени нельзя решить в арккосинусах? А вдруг можно!
@@АлексейАндреев-ы5щ, спасибо, кэп! Но я ведь именно об этом и спрашивал. Почему вопрос стоит именно о разрешимости уравнений в радикалах, а не о разрешимости в принципе? Кстати, разрешимость в принципе доказывается обычным построением графика. Здесь никакая теория не нужна. Но почему именно радикалы, а не синусы/косинусы?
@@rupertjunior2070 потому что это такая математическая проблема-«разрешимо ли уравнение в радикалах». Как, например, в учебнике может быть задача решить квадратное уравнение графическим методом, То его надо будет решить именно графическим методом, хотя мы прекрасно можем решить его через дискриминант
с 38:29 не понял переход к квадратному уравнению с корнями альфа в кубе и бета в кубе((( реально фокусы какието, крутим вертим, чтото окудато само появляется берётся, и оппа, сошлось, правда цепочка рассуждений порвана в нескольких местах(((
ออ ซํา , согласен. Хотя он потом, чуть позже 41:46, говорит, что это теорема Виета для приведённого квадратного уравнения: сумма *корней* у него как раз равна коэффициенту перед _x_ в первой степени взятому с обратным знаком, а произведение как раз таки свободному члену. И он выводит такое квадратное уравнение. на основе этого наблюдения возможен переход от "Виетовской" записи корней к традиционной записи через дискриминант, т.к. в обоих случаях альфа и бетта в кубах будут решениями такого уравнения. грубо говоря, на основе условий 36:08 он преобразовал сумму кубов и их произведение к другой форме записи (42:18), как если бы альфа^3 и бетта^3 были корнями какого-то уравнения. А так да, это по сути, математическая интуиция, как он сам сказал на 44:24, и надо умудриться это увидеть! Он про это говорит на 44:40
Теория чисел - довольно сложный раздел. Неуютно становится в районе "рассмотрим идеал кольца как обобщение понятия простого числа". Это - уровень XIX века. Кольцо - это нечто среднее между группой и полем. Ибо есть сложение, вычитание и умножение, но не деление.
К сожалению, не видно ничего, что профессор пишет на доске. А воспринимать на слух для человека недостаточно подготовленного (как я, например) невозможно.
@@FeelUs я что-то никак не пойму, в чем проблема. Возьмите формулу Кардано и решите с помощью нее ваше уравнение. И убедитесь, что везде под радикалами находятся натуральные числа (т.е. частный случай рациональных чисел). Потому что у вас коэффициенты являются целыми числами. А кроме коэффициентов в уравнении ничего нет, это и есть начальные условия задачи. Ну еще там будет мнимая единица под радикалом - это что ли вас смущает?
@@FeelUs , такое решение вас устроит? x=cbrt(1+sqrt(-7))+cbrt(1-sqrt(-7)). Здесь sqrt(x) - квадратный корень (от слов square root), cbrt(x) - кубический корень (от слов cube root). Вот, действительный корень уравнения выражен в радикалах рациональных чисел. Кроме радикалов и рациональных чисел, здесь больше ничего нет. Ну, еще арифметические действия.
ппц дикарство в комментах - вам обратили внимание на привычку, а вы начинаете драться с источником, вот так вот Ассанжа и схватили, с такой же культурой бить
В теории групп ученики обычно обламывают зубы на смежных классах. То есть, второй лекции из шести. Дальше, обычно - непролазный матан. Посмотрим, как справится Савватеев...
Блин, Савватеев, вы издеваетесь, что ли? Нафига эти длиннющие формулы из википедии, да еще и без вывода??? Неужели тут можно что-то понять? Итальянские математики решали уравнение x^3+px+q=0, к которому можно свести любое кубическое уравнение. Как об этом можно было не сказать?
Строго говоря мнимые числа это не числа, а математические комплексы "операция+число" (Операция * Элемент) где операция это квадратный корень а число - некая отрицательная величина. Операция возведения в квадрат является обратной к извлечению квадратного корня, поэтому возводя такой комплекс в квадрат мы в соответствии с теорией групп в силу ассоциативности получаем Операция(-1) * (Операция * Элемент) = (Операция(-1) * Операция) * Элемент = Элемент. То есть возводя мнимое число в квадрат прямая и обратная операции сокращаются и мы получаем саму отрицательную величину. Комплексная математика работает безукоризненно именно в силу этой симметричности прямой и обратной операций. Просто надо помнить что мнимая величина это не просто число, а комплекс "операция+число" и не имеет значения что значение этого комплекса не может быть представлено в виде действительного числа.
Речь идет о мнимой единице а не а комплексных числах, которые являются комбинацией действительной и мнимой части и представляются либо в виде пары действительных чисел, либо в полярных координатах. Я имел ввиду что не существует действительного представления числа "i". То есть какое бы вы не выбрали представление числа "i" вы не сможете отмерить линейкой "5i" метров веревки или отвесить "250i" граммов колбасы в магазине.
Муторно даже вникать в такого рода определения =) По моему мнимая часть чисел это очень хорошая иллюстрация внешнего измерения. Вот пока мы мнимое число не умножим на еще одно мнимое, мы не проявим число в нашем мире. Оно останется где-то в параллельных мирах, и даже хрен знает, большое оно или маленькое. Оно просто невозможно в нашем мире. Очень интересные рассуждения о мире и своем месте в нем можно раздуть из этих мыслей, и вылить не одно море воды по данной теме =) Мне кажется, это достойная тема разговора для дружеских пьянок умных и порядочных людей =)
Глупо пытаться объяснить мнимую величину с позиции вещественных чисел. Это абсолютно иная конструкция, которая живет по своим правилам. Это тоже самое, что пытаться объяснить геометрию Лобачевского с позиции евклидовой геометрии.
Alex Petrov, раз уж вы решили притянуть физику, то отчего же нельзя? весами взвешивайте колбасу, а i-весами взвешивайте i-колбасу. И ни в коем случае колбасу с i-колбасой не кладите в одну сумку, колбасу кладите в сумку, а i-колбасу в i-сумку.
практичных применений бесконечно много, ведь это решения уравнений, которые очень важны в физике, программировании, да даже в экономике думаю найдутся уравнения с n > 5
Уравнения такого типа встречаются очень часто. В частности большое количество квантовомеханических задач сводятся к решению т.н. векового или характеристического уравнения, которое как раз и является уравнением указанного типа. Вот только теорема Абеля - Руффини делу не помогает. А вот группа перестановок это отличная штука, не знаю будет ли он про нее говорить.
Савватеев как математик должен понимать, что если где-то прибыло, значит где-то убыло. Если есть школьники, которые изучают теорию Галуа, то должны быть школьники, которые не умеют складывать дроби. Если бы Савватеев не тянул свой край ввысь, то и противоположный не уходил бы вниз. А самоутверждаться на сирых мира сего - это недостойно ни математика, ни ученого. Они существуют только потому, что есть противоположный убогий край. Математик как-то должен соображать в диалектике.
