【超球面】4次元の球が3次元に現れると…数学の面白い話【ゆっくり解説】 

四次元超球を数学的に表現すると、W²＋X²＋Y²＋Z²＝r²（一定）になります。 変形してX²＋Y²＋Z²＝r²‐W² Wを動かすと右辺が変わるのも判り、左辺すなわち三次元の普通の球の大きさも変わります。

エヴァンゲリオンの使徒のひとつが、四次元超立方体（だっけ？）で、３次元空間を横切るような形の変化をしていましたね。

4次元世界に生きる人のRU-vidは3次元の立体ってこと?

動画お疲れ様です。3次元人なのにイメージが難しい3次元球面の解説もあると嬉しいと思います。

こういう話も、ガキの頃ブルーバックスの「4次元の世界」で読んで面白く思ったものです（奇跡的に発掘できたので見てみたら、「図形の交わりは次元が1つ下がる」という例のあとに「四次元球が行く！」というイラスト、その次のページが鏡に映った不等辺三角形を平面から引っぺがして裏返すイラスト。（その次は以前の動画にもあった正多胞体や超立方体の幾何学） 著者は物理学者なので、次の章で非ユークリッド幾何学を紹介したあと、後半は相対性理論や宇宙の話になって、急に難しく…ｗ

ブルーバックスからは「二次元の世界」という本も出ていた。 後半で、三次元の球が二次元に降臨して、四次元についても色々と語る。 それはさておき二次元の世界では 角が多いと偉いが、二等辺三角形は身分が低いかわりに貫通力があるとか 世界観が独特

2次元の住民にとって立体の球をイメージするのが難しいのって、私ら一般人が病院でMRI写真を大量に見せられて、立体の心臓の形をイメージしてくださいって言われるようなもんか

これ、５次元、６次元・・・と次元を上げていくこともできる。 これで次元を頭で想像できるようになった後、何気にひも理論の記事を読んだ際、ひも理論が次元をどうこう言っている意味がわかって感動した。 （ひも理論を理解したわけではない。何を議論しているのかがわかるようになったというだけ）

実はこの話には誤りがあります。 もちろん投稿者もそのことは知っていて作成されているとは思いますが、2次元の住民には円や正方形などの形は見ることができません。円や正方形などの面の形はある程度の高さから見る、つまり3次元からしか見えません。2次元の住民が見えるのは線のみです。 ですので、3次元空間から立方体や球が通り抜けても、2次元の住民からは最初に点が現れて、それが線として伸びていき、ある長さまで来ると縮み始め、点になり、その後消えるだけです。

中学生くらいのとき「もし四次元生物がいたら三次元空間ではぐにゃぐにゃの不定形生物に見えるよなぁ」とぼんやり考えていました もちろん数学的な裏付けがあったわけでなく2次元空間と3次元空間の対比から想像を膨らませた程度ですが 当時の妄想のおかげか「4次元球が現れたら小さい球が大きくなって、その後小さくなって消えるだろう」という推測も出来ました 今回の話は当時の妄想が腑に落ちた感じがしたので楽しく見ることができました。楽しい動画をありがとうございます

球体が突然現れ消える・・・　素粒子が空間に現れ消えるのに似ていますね。 やはり、宇宙は4次元（以上）空間の中にある3次元空間なのかな。

変な例えかもだけど、次元が増えるというのは動画編集でできる操作と似ている。 上下に動かすのも　左右に動かすこともできるし　手前奥に動かすこともできる。 拡大縮小もできるしタイムラインで前に進めることも逆回しで戻らせることもできる。 ということは今度は透明度をいじるとか　レイヤー分けされてるとか　コピーが容易など 上の次元では出来るんじゃないかな～と思ったり。

ただまぁ結局、我々は「空間中にいきなり球が現れて、大きさが変わって、消えていく」というような現象を目にしたことはない。 世の中には、高次元の物体の断面が見えていると考えるとうまく説明できる現象が何かあるのかな？

斜めから見た図として2次元上に3次元のものを描くことはできるので、 「4つのすべての軸の斜め方向から見た4次元立体」を3次元上に描くこともできるのでは、と考えてるんだけど 人間の視野（網膜）がそもそも2次元なのでできたとしても視認で把握するの難しそうだなぁ

3次元の我々は空間に｢時間｣という軸を新たに設けることによって擬似的に4次元を思考するが、4次元ではその｢時間｣軸がもうひとつの｢空間｣軸として同時に存在できる世界なのね

ビックバンがひとつの点から始まり、今もこの宇宙が広がっているとすると、、、 4次元が3次元を通過している時に僕らが住んでいるのか？ ならいつかは点に戻ってしまう？

おもろッ！ 一応次元間のやり取りはできないってはずだから、4次元の住民に3次元を観測するすべはなさそうって思ったけど、 突如現れて大きくなって小さくなって消えていく物体使えば、4次元にから3次元へものを伝える行為は可能に思えてきた。 UFOねぇ…

この手の話を聞くたびにいつも思うのは、「二次元の住民は自分と同じ平面にいる図形を見ることはできないのではないか？」ということなんですよね。 （私は三次元に住んでいるのでこうやって重箱の隅を突くことができるわけです）

宇宙はただの一点から始まって今も膨張しているらしいけど、もしかして宇宙は4次元の泡のようなものが移動していて、私たちにはそれが3次元の空間の広がりに見えてるのかも？

動画の配信を、ありがとうございます。

w軸は、時間として考えると辛うじて理解できる。一時間前の球体と、今の球体みたいな。

ほんと、そのまんまだけど4次元球初めて知りました。

わかりやすいです

それを実際にやって３次元世界を二次元であらわしてるのが、アニメーションだな。 あれを見てる時、視聴者の我々は、四次元世界を３次元世界として認識している。 でも実際に見てるのは、二次元で表現された３次元世界の切り口の連続であり、あれこそが実験で実演されてる３次元から見る四次元そのものだ。

二次元の人は高さがわからないのに球体が通ったときに円ではなく線に見えるのでは

この世界は三次元で認識できるから、四次元以上の空間なんじゃないかって考えてたことあるんすけど、自分でもまとまらずによく分からなくなりました。

鏡と同じ姿を実現可能という表現が素晴らしくわかりやすかったですね。

三次元の住人は二次元の物体を目線を動かすだけで全要素を確認することができる ということは４次元の住民は目の前にいる女子高生のスカートの中を下から覗くことなく見ることができる…？

神や幽霊といった存在は降りてきた高次元生物を人間がたまたま見てしまったという説もあるんだよな…

厳密に言えば、 2次元の物体を３次元で反転することや、なんなら2次元で回転する様子すら3次元から見ないと見ることは出来ないですよね。 さらに言えば、反転させるには2次元物体の表と裏がないと反転出来ないので、 そもそも2次元物体は反転できないと思います。 出来る場合、表と裏があるわけですので、その時点でその物体は3次元になってしまうのです。 と考えると、 3次元物体を4次元に持ち上げて反転させるには、3次元物体に表と裏がないといけないため、 反転出来た物体はそもそも4次元物体なのでは？ということになってしまうと思います。 じゃあ、3次元物体の表と裏とは何か？そのことが4次元への理解そのものになってくるのです。

思想の左右で人々が対立することが低次限なことだと良く分かりました

ポッキーは3次元だから、存在 出来ないと思います。🥺(真摯な眼差し)

同じように考えて4次元の人からは金庫破りも可能ということが分かる 我々の内臓も丸見えである

BCIが実用化したら従来の感覚の模擬だけでなく 高次元世界の知覚も出来る様になるんだろうか…

四次元を簡単に把握するなら、 「三次元グラフ」を一つの点として、直線を描けば四次元になります。 この方法で6次元までは、直感的に把握する事が可能です。

x^2 + y^2 + z^2 = √(1-w^2)

球が遙か後方から遙か前方へ移動することを考えると、確かに我々には、球が何もない（ように見える）ところに現れてだんだん大きくなり、ある一定の大きさになった後だんだん小さくなりいずれ消滅するように見える。それは3次元空間を移動しているが、当然時間という4次元方向にも移動しており、この現象は空間上のw軸と時間軸の関連性を考えるヒントになるかもしれないなとちょっと思った。

次元の考え方は、桁と同じですね。 1桁の住人には2桁の値が理解できない。 でも2桁の値をバラしてやれば1桁の住人にも 見る事ができる。 後は繰り返しで 2桁の住人には3桁の・・・・。 プログラムの配列も同じ様に考えます。

そうかUFOは4次元から来たんだな。 すぐ納得してしまうオレ。

3次元は実質全方向に対応する無限次元という気がするなぁ。 4次元目があるとすれば、やはり時間軸。 例えば一つの球がある。これが円を描いてゆっくり周回している。地球のように。 これを何万倍も遅い時間軸から見ると、超高速に周回するので一つのリングとして捉える事が出来る。 さらに遅い時間軸から見ると、そのリングが直角方向に自転していて、今度は球体として捉える事が出来る。 さらに遅い時間軸から見ると、その球体が円を描いて周回運動をしている。 というように、球とリングを無限に繰り返して、同じ物体が時間軸によって大きさと形の異なる物体として同時に無限に存在している、と考える事も出来るんじゃないかな。 そう考えると、素粒子の運動からなるこの世界は既に無限の次元から出来ていると考えて良いように思う。

不確定性原理って高次元の存在を３次元で切り取って見るからなんじゃって気がします。

人の目で物体が急に出てきて〜を確認できない以上、宇宙人がいるにしても別のWレイヤーにいる3次元空間の住民ってことになるんじゃね

エヴァのラミエルの変形は高次元体の移動によるものだったんだなぁ

3次元に生きる我らが4次元を理解できないように、2次元に生きる彼らに3次元は理解できないんだろうな

4次元は距離と方向に干渉するから ある一点から球が順々に大きくなって最大値以降また小さくなるのは至極当然のこと

そんな空想的なモノじゃなく、回転（四元数）や力や勢い等の物理方面に行くんじゃないのかな？

サムネの、は？が好き。

つまりwが別の距離にあるパラレルワールドがあるかもしれない

インターステラーの最後のほうのやつやね

UFOは5次元から来た

1次元のものは2次元では見えない

数学的帰納法ですね

3Dアニメーションの編集って4次元なのかな

4次元を2次元で表現ってだけで大変

その4次元の球体を見たことあるんだ ある日の夜、部屋の中では私一人、プレステの電源を入れようとしたら急に眉間に強い衝撃で私は後ろに倒れた、その時目の当たりにしたのは、私に衝撃を与えたと思われる物体、それは空中に浮かぶ白い球体、その球体は2秒掛けて小さくなって消えた。 いろんな可能性を検討した結果、あれは4次元の球体が何らかの原因で我々の3次元を通過した。そう結論づけるしかなかった。 同様な経験をした人がいたら返信頼む

え。4次元的表現は球が転がるのでT軸で良いのでは。 5次元的表現はシュレディンガーの猫的表現でA(Ability)軸で十分。

3次元空間に4次元体が通過すると、雲のように見える気がする 突如現れ消えていく感じ ひょっとしたら幽霊と言われる存在も？？

霊夢ちゃんはド文系じゃないね😂

これたしか『正解するカド』で出てたな。 球じゃなかったと思うけど。

すいません4次元は観測できないにしても、2次元を観測したいところですよね、素人考えですけど、3次元からなら2次元を観測できるはずなんですもんね？

4次元ポテトチップスとして生きていく

鏡の向こうの空間やARやMRで投影されるものを〝虚〟と捉えるならw軸は時間くらいしか浮かばないのですが、〝実〟と捉えるなら確かに次元は増えますね。 ドラえもんの四次元ポケットはこっちの軸のほうが想定しやすいです。

2次元=円 3次元=球 のように4次元球は球以外の専用の用語が用いられるようになるのでは？

2次元世界の人からは１次元に見えて、円じゃなくて線に見えるんじゃね?

宇宙の始まりと終わりみたい

三次元の球体（パチンコ玉）が、整然と並んでいる。その間を時間軸が直線で、通る。虚数空間内に時間軸はある。

四次元空間での回転を裏返しって解釈したけど、これでええやろか？

4次元どころか3次元も見たことないのよ人間は 3次元見えるやつは4次元を想像できるのかもな

５次元、６次元。もし解明されたらルパン三世は大喜びね。ジゲンだけにね。

え・・ この世次元が今の次元時空とどう違うのかわからなくて困ります。 私たちは常に動作する体積なので子供は大人になりますしあらゆる体積はいずれ朽ちます。 専門知識は全くないので多分頓珍漢なことを言っているのでしょうが・・ 色々見ていつか理解できるといいなと思います！

この動画は3次元。立体動画は4次元。

4次元には幾何異性体が無いのかな

ｂ・ｄでの３次元の説明絵おかしくない？ 画面という平面に対しての高さなんだから、この場合解説で描くなら本のページをめくるみたいに文字を手前か奥に文字を立ててから反対側に倒すから反転するんでしょ？

2次元の人が見れる次元は1次元だと思うのですが😅

人には認識不可能だけど数式で表せてるから4次元って情報次元じゃないの？

かなり長文注意！しかも私（厨二病）の妄想です！ w軸座標の方向を時間の進む方向だとします。なので、時間の方向を一つの次元とみなすというわけです。（ここ重要）そうした場合、例えばあなたの見ている画面は、時間が経ってもその場から消えたりしないので、四次元的な広がりを持っていると言うことができます。もしこの世界の全ての物体が三次元的な広がりしか持っていないのであれば、一瞬だけ現れて、すぐに消え去ってしまいます。しかし、我々に知られている全ての物質はそのような不可解な現象を起こしません。ここからは（というかここまでも）よくわからないのですが、アインシュタインの特殊相対性理論というものによると、光というのは、どうやら時間というものに深く関わっているみたいですね。ですからもしかすると、光というのは次元を超えた特殊な広がりを持っていて、超ひも理論（でしたっけ？）というのは、本動画で仰っていた「切り取り方」による一種の違和感から生じたものなのではないでしょうか。 更にもう一つだけ、本動画で触れていた、「ひっくり返す」という概念についてです。いわゆる対称性というものなのですが、「時間」というものは、普通逆方向、すなわち過去には進みません。しかし、四次元空間内では「重ね合わせられないように（dをbにするように）」反転させることが可能です。そのため、我々の知らない世界では、時間が逆に進み、絶対に重ね合わせられない自分がいるのかもしれません。 と、少々オカルトっぽくなってしまいましたね。これを読破したそこのあなた、未成年（なんなら中坊）の戯言に付き合っていただき、嬉しい限りです。長文失礼いたしました！

やっぱり、全ての粒子が時間と共に巨大化してるんじゃないかなぁ。重力が引き合うんじゃなくて、狭くなってるんじゃないかなぁ。僕らは言うなれば次元を上昇し続けていて、振動数の共鳴する地点において不思議な現象は起こる、なんてのはメルヘンすぎるかしら。

5次元チェスってなんなんだろ

こないだの四次元の動画に書き込んだ僕のコメントを再現したようなサムネw

そもそもこの世界は本当に三次元なのでしょうか？

わからん(笑)

そもそも３次元と言うのは神とかではなく人間が縦横高さ（奥行）の３要素で勝手に決めたものなので４次元なんて想像の世界ってイメージです。

４次元のモノが３次元を通過しているってことだよね？ 簡単に考えようか…(;´Д｀)