激ムズ数え上げパズルと驚きの解法

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この動画は3Blue1Brownの動画を東京大学の学生有志団体が翻訳・再編集し公式ライセンスのもと公開しているものです。
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Опубликовано:

20 авг 2023

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Комментарии : 123

@user-vx5kx7rk1q 11 месяцев назад

この元アニメーションが完成するまで何ヶ月かかったのか想像もできないすごい動画だ

@applepi314root 5 месяцев назад

ほんとに思う....

@user-ve8hw8fd2m 11 месяцев назад

高校数学レベルでもなんとか解ける方法考えたので書きます。数列a_n,b_n,c_n,d_n,e_nを集合{1,2,3,...,5n}の部分集合の和がそれぞれ5で割って余りが0,1,2,3,4となるものの総数とします。少しの根性と工夫で(a_1,b_1c_1,d_1.e_1)=(8,6,6,6,6)となることを数え上げます。漸化式として次の項を考えると、a_(n+1) = 8*a_n + 6*( b_n + c_n + d_n + e_n ) となることが分かります。(ほかの項も同様) 厳密には数学的帰納法が必要ですが b_n = c_n = d_n = e_n となることと部分集合の総数が2^5nとなることを利用して、 a_(n+1) = 8*a_n + 6*( b_n + c_n + d_n + e_n ) = 8*a_n + 6*( 2^(5n) - a_n ) = 2*a_n +6*2^(5n) となり、この漸化式を解くと a_n=(2^(5n)+2^(n+2))/5と漸化式の一般項が得られます。元の問題はn=400の場合なので、 a_400=(2^2000+2^402)/5 と問の解が得られます。誘導があれば難関大学の入試レベルかと思います。

@kawakawakawakawakawa 11 месяцев назад

小学生でもなんとか解ける方法を考えました。数え上げます。

@test-sh1yt 11 месяцев назад

@@kawakawakawakawakawa やってるうちに卒業しちゃうからできないんだなぁ(

@chachamaru0909 11 месяцев назад

やはり漸化式…！漸化式は全てを解決する…！

@poormanch 11 месяцев назад

元の問題が数オリの問題なので、高校数学でも解ける問題ではありますね（解けるとはいってない）

@user-vj4kk6de8c 11 месяцев назад

一応数3で複素数かじるので動画の方法でも高校の範囲にあるかも。でも、漸化式なら数3やってない人も分かるからいいですね！

@--0-O-0-O-0-O-- 11 месяцев назад

よくこんなアイデア思いつくよな･･･母国語で三青一茶見れるのが幸運すぎる

@yamero_neko 10 месяцев назад

3b1bが漢字になってる表記初めて見た笑

@sofa_mania 10 месяцев назад

賛成っちゃさんせいだけど英語でしか伝わらない臨場感ってものもある。(by英検準２級)

@user-rh3sf1sj4k 10 месяцев назад

@@sofa_mania 臨場感あるか？

@wax1142 10 месяцев назад

@@user-rh3sf1sj4kありますよ、英語の数学表現って美しいです(by TOEFL86点)

@sofa_mania 10 месяцев назад

@@user-rh3sf1sj4k 三青一茶(さんせいいっちゃ)でかけてたんやけど誰も気づいてくれへんw

@user-ys9zi8oi2j 10 месяцев назад

問題の質も考え方の凄さも然ることながら、毎回アニメーションや編集の技術の高さに驚きます

@kuroiyuki210 11 месяцев назад

解説を聞いているだけだと、とんでもなくアクロバティックなことをしているようにも、舗装された道を歩いているだけなようにも聞こえます。数学って面白いですね。

@tortandt 10 месяцев назад

整数の足し算が難しい理由がこの動画に詰まってる気がした多項式にする事で乗算に変換出来るというのも凄い面白い

@taiseisekiguchi2978 11 месяцев назад

アニメーションがものすごくわかりやすい、、

@takao2133 10 месяцев назад

声がいいのでスッと入ってきます。お疲れ様でした！

@user-mt7pf7oq9o 10 месяцев назад

感動しました。母関数の利用は他の本で読んだ事ありますが。もう一回見直します。

@purim_sakamoto 10 месяцев назад

とても楽しくて気持ちいいです　色々遊んでみたくなります!

@Schnee-Kristall-7 11 месяцев назад

この解法を聞くだけでもすごいなあって思うけど、それ以上にこれを思いついた人間が存在したことにビビる

@user-xj2me4np6h 10 месяцев назад

聞いて理解できるのか…

@Ryon_P329 9 месяцев назад

解法が気持ちよすぎる

@user-tj5ih1ko1j 11 месяцев назад

トリックのところ綺麗で声出た

@kaanasuzu4961 10 месяцев назад

無料でこの動画を観られることに感謝しかない

@N-403 8 месяцев назад

数オリ出場者は知識経験じゃなくて、その場でこんな解法が思いつくの？冗談抜きで天才だと思う。どういうプロセスを脳内で経てこれを思いつくのかが知りたい。

@gosuf7d762 11 месяцев назад

すんばらしい！！！

@kenjih1408 11 месяцев назад

２ヶ月半ほど前にくも膜下出血になってしまいましたが、最近やっと退院でき、現在は通院でリハビリに励んでいるところです。一時は後遺症で失語症になり九九や繰り上がりさえ怪しく・・でも、今では大分回復でき、こちらの動画を楽しみにしています。「日常生活で困らない」がリハビリの基本。だから２・３桁の四則演算が出来だらもう算数のリハは終わりだったりするのです。医療制度として当然のことではありますが、個人的には困る・・自分で何とかしないと・・そう思っていた私にとってまさに神！

@Tororosoba10 7 месяцев назад

2、3桁の四則演算に比べれば相当の飛躍だけど…

@user-ii8ov4eo1r 11 месяцев назад

うますぎる

@user-iq5wc5wi7m 10 месяцев назад

OMC167-Fがこれと全く同じ問題ですねそこに二進数を用いた面白い解法があります

@BombMillton 10 месяцев назад

今回もおもしろすぎ！

@r-00x28 11 месяцев назад

根のn乗が5の倍数乗の時だけ一気に偏るの、以前あったフーリエ変換の視覚化と似ている気がする

@user-wn8jp5bp9r 10 месяцев назад

母関数ってフィボナッチの奇数目と等しいと思ってたけど。オイラーの考え方だとゼータの3乗に近いって事なんですね。

@user-ts4ny8ow3r 3 месяца назад

プレゼントしての質が高く、論理的なところに憧れます。

@tsutomoocho 10 месяцев назад

ホントに一昨日この動画知らないでほぼ同じ問題を思いついて一人で苦しんでたw

@FreshP_0325 10 месяцев назад

ゆるいFelixくんの絵がかわいい π₍₎₎

@chicha5358 5 месяцев назад

聞いてる途中で少し賢くなった気がしたけど、最後の「こんな応用ができるよ」の部分で脳が爆発してしまった

@Ryon_P329 11 месяцев назад

πちゃんのイラストかわいい

@pason6998 10 месяцев назад

１回見てみてよくわからなかったという人（その例がまさに私ですが）は１回部分集合の個数を２個みたいに簡単な条件で考えてみてからこれに取り組むとわかりやすいかもしれません！（その場合は 1/5 × ((2^20) + (119053 × (2^3)))になると思います、多分）

@c4kmr9 10 месяцев назад

僕も、動的計画法？と思いました。手計算だと、遷移図を書いて頑張ると p_nは1からnまでの集合の部分集合で5で割った余りがそれぞれ0,1,2,3,4になる場合の数を格納した5×1ベクトル、Aは対角成分が8、それ以外が6の5×5行列として p_(n +5)＝Ap_n が成り立つことが示せます。 p_0＝(1,0,0,0,0）を初期条件にして良いです。 Aのn乗の求め方を忘れたので、A^n＝α_n E＋β_n I 、A＝2E＋6I（ただし、Iはすべての成分が1、Eは単位行列）の漸化式を解くことで導けました。A＾nを使ってp_2000を計算すると、動画と同じ値が出せました。多分他の方のように1,2,3,4で割った余りの場合が同じ場合の数になることを利用するともっと楽に解けそうですね。

@user-fk1pl2bl8r 10 месяцев назад

たまたま最近考えてたテーマで興奮がやばい！複素数は発想思いついたのにあと少しのところでつまずいてたのが悔しい

@modulelele6695 10 месяцев назад

赤チャートやってたおかげで、母関数のあたりで答えにたどり着けた

@hbenpitsu73 11 месяцев назад

おもろいなあ

@user-uu9us1pq7l 10 месяцев назад

あーめっちゃおもろい

@deltablackcat 11 месяцев назад

競プロをかじってるせいで問題を見た途端に動的計画法！と思ってしまった

@asmd-futei Месяц назад

すげぇ！分からねえ！

@user-ku4sy3ku7j 11 месяцев назад

スゲーな天才かよ、なんで思い付く。数学オリンピックはこんな問題が出るのかw

@MedakaNoBoo 10 месяцев назад

母関数の解説をみていて「刑事コロンボの金貨のパズル」が浮かびました。ζ関数につながっていたのかと驚いた、みたいな

@sojilo4860 5 месяцев назад

面白いなあ

@mskhrg2595 10 месяцев назад

ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-FR6_JK5thCY.htmlsi=CT1bW652VojMXvWS&t=1704 ここの部分が同じじゃないけど、ζ^0=ζ^5とみないとですね！

@user-bx5lv6ei4j 9 месяцев назад

見てたら頭よくなりそう

@user-ci1hk2mj2n 11 месяцев назад

もし試験で10までなら1024個の数が 5,10,15,…,45,50,55の11個になるケースを強引かつ地道に数えて時間を大量消費し結局は間違えて他の問題も出来ない奴が出る

@user-pq6sn6xv4s 11 месяцев назад

映画化希望

@fluorescent_tape 10 месяцев назад

最後の=2は、{1, 2, 3, 4, 5}のミニマムな例から逆算する方法を思いついた。綺麗じゃないけど

@user-cz2ni9wm4j 11 месяцев назад

分割数知ってたから解けた

@gomagomaxx 11 месяцев назад

数学にのめり込める程頭のいい人間に生まれたかったね

@user-sh4lq9ij8j 10 месяцев назад

実際、研究レベルの整数論はあらゆる現代数学を使うからなぁ

@ano5041 4 месяца назад

動的計画法で求めた値と (2^2000+4*2^400)/5 が以下の値で一致していた 22962613905485090484656664023553639680446354041773904009552854736515325227847406277133189726330125398368919292779749255468942379217261106628518627123333063707825997829062456000137755829648008974285785398012697248956323092729277672789463405208093270794180999311632479761788925921124662329907232844394066536268833781796891701120475896961582811780186955300085800543341325166104401626447256258352253576663441319799079283625404355971680808431970636650308177886780418384110991556717934409897816293912852988275811422719154702569434391547265221166310540389294622648560061463880851178273858239474974548427800576

@ano5041 4 месяца назад

2つの異なる方法で計算した結果が一致したときの快感がやばいみんなも競プロでこの快感を気軽に体感しよう

@ryuuuk 10 месяцев назад

今回の場合5の倍数でしたが、5ではなく偶数であった場合、どのような結果になるのかも知りたいと思いました。

@magurofly 10 месяцев назад

偶数の場合は 16:03 ですでに説明されています f(x) = Π[n=0..2000] (1+x^n) として (1/2) (f(1) - f(-1)) = 2¹⁹⁹⁹ です

@user-ec3yd7un9t 11 месяцев назад

これって確か5が素数だからできるんですよね。代数学…巡回群？円周群？とかでやった気がするなあ。数え上げを足し上げの和を0として相殺する発想がおもしろい。

@user-yb9kc8lo1z 10 месяцев назад

例えば4の倍数だったとしても同じように1の4乗根を代入して計算すればできません？

@karikarikarisan 10 месяцев назад

@@user-yb9kc8lo1z 出来ない。ordがズレる。具体的に言うと n乗根全体の集合からn乗根全体の集合に対して、全ての自然数kで x to x^kが全単射なってないと今回の議論適用できないやろ？ここの「全単射」が成立するためには素数であることが何より重要。群論的に言うと「素数巡回群は単位元を除いてordが等しい」っていう素晴らしい性質を用いてるんよ。だから素数が何よりも大切やで

@user-yb9kc8lo1z 10 месяцев назад

@@karikarikarisan ありがとうございます．確かにこの動画の議論では x → x^k が全単射であることからk≡1,2,3,4 (mod 5)の場合は和が0になるということを示していますね．しかし4乗根でも結局和が0になるということは変わらないですよね？例えばζ=iとすれば ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 = 0 ζ^2 + ζ^4 + ζ^6 + ζ^8 = - 1 + 1 - 1 + 1 = 0 ζ^3 + ζ^6 + ζ^9 + ζ^12 = ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 = 0 ζ^4 + ζ^8 + ζ^12 + ζ^16 = 4 となりますよね？なので素数でなくても動画と同じようにできるのではないかと思っています．(4以外では試していないので，全ての自然数で同じようにできるかまではわかりませんが) もし何か勘違いなどありましたら，またご指摘いただけると嬉しいです．

@karikarikarisan 10 месяцев назад

それを任意のnで一般化できるんならええんやない？ p^2という珍しい形のnだけ試してだから何？って感じです。複素数のn乗はドモルガンを使えば簡単に表せることは高校生でも知ってる。そしてあなたが例としてあげたπ/4は相当異質なのはすぐに分かるでしょ？例えば6や12。さらに上の高度合成数を具体例で挙げられたらまだ説得力ありますけど、4って複素数世界では相当異質な人ですよ。そんな変な人だけで立派な例になると…？その感覚のほうが不思議です

@user-yb9kc8lo1z 10 месяцев назад

@@karikarikarisan なにか勘違いされているようですが、私は一般のnで全く同じようにできるとは1度も言っていませんよ。(そしてその根拠が4の場合の結果だとも言っていません。) 素数である必要はなく、もう少し広いクラスの数で行けるのではないかと考えただけです。数が大きいと計算が大変なのでできるだけ小さい合成数で4を選んだだけでしたが、素数の二乗だからうまくいっているのですか。それは気が付きませんでした。ありがとうございます。

@user-vy9kl7vf2k 10 месяцев назад

-1を代入した瞬間にピンと来て気持ち良かった

@chaos-uc7ci 11 месяцев назад

途中で出てくる地図がソ連にしか見えない、、、

@ToruEgawa-qu7ro 10 месяцев назад

映像凝ってるなあ

@ontamaudon 10 месяцев назад

最後の4つの問題の翻訳 1.両辺を微分せよ。またこのことを用いて、1～6の目が出る確率が全て等しいサイコロを、1が出るまで振り続けた時、サイコロを振る回数の期待値を求めよ。

@ontamaudon 10 месяцев назад

2.次の級数を求めよ。 (ヒント、(1+x)^nの展開)

@ontamaudon 10 месяцев назад

3.f_nをn番目のフィボナッチ数とし、関数F(x)について考える。次の微分方程式が成立することを示せ。また、この微分方程式をとくことによりフィボナッチ数列の一般項を求めよ。

@ontamaudon 10 месяцев назад

4.f(x)を次のように定める。 f(x)/(1-x)の係数は何を表すか。 (恐らく、f(x)/(1-x)を冪級数展開した時の各係数を数列a_nを用いて表わせという意味)

@peterpiper1747 8 месяцев назад

これって数字が1〜7までとかでも計算でできるんですか？

@zun.d.a 11 месяцев назад

dp[i][j]= iまでのいくつかを選ぶ方法であって、5で割ったあまりがjである場合の数

@user-mj5sk4lu1t Месяц назад

O(N) → O(1)

@shikaishik 5 месяцев назад

タスク管理に数学の手法が使えませんかね？

@karikarikarisan 11 месяцев назад

答え見る前に力技で解いたけど、なるほどなあ。って感想。でも、答え見る前に解いて良かった。多分普通の視聴者の100倍は感動した。

@Lebron06 10 месяцев назад

@ochinpo-bin-binCOMPUTER

@hasumi_kuzusake 10 месяцев назад

ただただ、うつくしい。今回の内容はフーリエ変換を理解するためにも非常に有用ですね。数千年間、世のことわりを追求しようとしてきた人類の遺産である数学。今もなお、より扱いやすく再定義や新概念の吸収を繰り返し進化し続けている。数学は哲学の一つに過ぎないし絶対ではないが、やっぱり面白い。別の宇宙、われわれが知覚できない上位次元の世界があったとして、そこに存在するXは人類の数学とは全く異なる哲学体系を持ってして世の真理を解明しようとしているかもしれない。もしかしたら解明するという概念すらなく、存在Xはすでにあらゆることを"知っている"のかもしれない。そんなことを考えるのもまた、面白い。

@MP3_17kj92 9 месяцев назад

恐ろしいほどに美しい。。

@aoba5849 5 месяцев назад

一つ偉くなりましたが、私の頭程度ではまだテクニックを一つ暗記しただけとも言える。

@3rdbaru492 10 месяцев назад

漸化式で行けそうだと思ったけど一般式が出せやんのかな

@suu0313 11 месяцев назад

サムネ見てパッと見 Π(1+x^k) の x^5n の項の係数の和だから {(1+ζ)…(1+ζ^5)}^400 の実部が答えかな〜と思ったが嘘だった(5の倍数にならないところ全部虚数になってくれと思ってζ_5代入したけど最終的にほかの項と干渉して実数になってしまい) 中身の計算方法も5個足せば上手く打ち消し合うのもキレイで好きすぎ問1 は ∑5/6^n になって1/(1-5/6)で 6 問2 は二項定理で 3^n 問3 おもしろい階乗部分と打ち消しあってちょうど微分が1つ項をずらすのと同じことになるんですね問4 はよくみる累積和と同じになるやつ

@todaetayumenotsuduki 10 месяцев назад

FPS だ～

@Sophia_HANSHIN 10 месяцев назад

これ2000の約数なら同じことをして 10の倍数なら(1/10)・2²⁰⁰⁰ 16の倍数なら(1/16)・2²⁰⁰⁰ 25の倍数なら (1/25)・(2²⁰⁰⁰+24・2⁸⁰) みたいにすぐわかるけど 2000の約数の倍数ときにしか使えなくない？ 2000の約数の倍数じゃないときどうするのか気になる

@koichirosuzuki1718 10 месяцев назад

5が素数で良かった

@L3ss_Kabos_GG 5 месяцев назад

文系数弱ワイ、大学で数Ⅲ履修を決意

@Himajin_Taichan 8 месяцев назад

問・問題(トイ・プロブレム)

@user-rg8cu7xr8y 10 месяцев назад

微分で無理なんかな

@MR-pq7he 4 месяца назад

数学おもろ

@user-xq8pp1bm9y 10 месяцев назад

2の256乗でも馬鹿デカいのに、2の2000乗なんてとんでもない数だな

@user-sb6lt3zv3h 10 месяцев назад

僕でもパソコンを使ってもいいなら解けるよ

@hitsuki_karasuyama 11 месяцев назад

もし大学入試で出たら母関数と原始5乗根を代入させるところまで誘導ないと無理、何をすればいいのかすらわからずに部分点も取れない最初に1〜5までで実験してみて、なんかオイラーの異分割の問題に似てるなとは思うけどそこから母関数まで思いつくかというかオイラーの分割恒等式を知っていることを前提に問題出すのはダメでしょ。進学校は知らないけど、うちの高校では習わなかったぞ(寝てただけかもしれないけど)