证明圆周率是无理数很难吗？充满好奇心的数学家只需要一页纸！ 

最後一步的證明精神，應該是在於：有理數其實是可以無限接近Pi的，但是，只要事先決定了一個有理數p/q, 那麼它跟pi 總有些誤差．那麼建構出來的與n有關的式子在n夠大的時候可以偵測這個誤差．（q 越大越精確，那麼就要找到更大的n)

数学家的一页纸，我的一辈纸

原理完全不懂... 但是，很愉快的看完了... 然後，感覺靈魂得到昇華了！ 突然，還有一種莫名幸福的感覺。

看完後感動得想哭，因為我完全看不出這個證明所有步驟之間的關聯性，這代表著當時證明的數學家不知道究竟是花了多大的苦心歷經了多少個失敗的證明後才想出了這一頁紙的證明。

所以以后就有两个传说级概念了：李永乐老师的“小朋友”和数学家的“一页纸”...

发现我的水平只能理解这“一页纸”的页眉部分，然后死机了。 重启后看到标题是“充满好奇心的数学家只需要一页纸”， 要看明白，光充满好奇心不够，还得是数学家！~~

这个证明是非常妙的，仅仅运用微积分就可以解决这样难得问题。在Ivan Niven的书《Irrational Numbers》里同样的步骤可以证明cos(x)对所有的有理数x都是无理数！书很薄但内容很丰富，读起来是一种享受。

李老师总是强调慢慢看就能看懂，我已经用0.25倍速看了，还是没看懂。

确实是美！最难的是f(x)和F(x)是怎样想到要那样构造出来，一旦有这两个函数其他计算其实都还蛮简单的

先赞后看，养成习惯～

數學系畢業的我覺得太漂亮了，還好出社會好幾年了還看得懂，雖然有些地方需要看兩三遍才能理解 不過難的點應該是在能構造那樣的函數，太神了

π是有理数，圆可以被有限个线段表示，所以这个图形是多边形，不是圆，所以π是无理数。

謝謝李老師的講解，深入淺出、令人振奮。看完之後我也拿出一張 A4 紙，寫下 2021 年的新年新希望。

雖然我是30年前港大畢業的, 數學也算是主修, 但對於李老師知識的淵博仍深感佩服! f(x)和F(x)的構造看起來很奇妙, 考港大的A-Level純數學卷子一般會分拆一步步讓你證明, 最後合成一个總的證明, 進了大學就明白了整個原理 ... 雖然當時學的是英文課程, 現在用中文重温一次也是繞有趣味, 謝謝李老師!

听懂了! 感谢分享🙏

假裝能聽懂，認真看完的舉手

數學確實很美。-----因為一想到數學，我就睏了，然後去睡美容覺。😌

原理完全能理解，挺简单的，关键是构造的函数很巧妙，应该需要长期的数学训练才有这种思路

高二数学程度。。。我打开之前以为我是有的

赶上李老师的更新咯~

一页纸 我还以为是手工制作的证明过程 原来是演算一页纸啊 崩溃~~~~~

《只需要一张纸》

看完之後真的對數學更加的深愛，感謝李老師

虽然看得懵懵懂懂但还是坚持看完了😀，支持李老师！

看了好久，终于发现，李老师理发了

最幸福的時刻就是看完李老師的影片之後開始看下方留言取暖，感覺這時候特別療癒

李老师的发型好赞

個人小小說明以及理解： 1.此做法利用反證法。 主要藉由先令pi為有理數，然後藉由此條件所設的函數達成矛盾以證明此不是有理數；在數字範疇中，非有理數通通為無理數，因此反證法是一個非常漂亮的證明方式。 2.不管高二物理有沒有學微分積分或高三下有沒有學，沒學只能看看一下公式怎麼用。 例：x^m微分一次，亦即一階導函數為mx^m-1 兩階m(m-1)x^m-2 令微分到k

中间吃一口薯片就听不懂了。。。

我自大了 仗着自己读过大学 点进来看看 一万点暴击

在第1點時，p,q屬於z，就表示p,q，可能為負。這樣，在第10點第2行時，若考慮q有可能為負，f(x)就不一定小於(π^n．p^n)/n! ，所以要不要把第一行改為p,q屬於N

感謝 李永樂老師

老師你說的高二等級的數學我好像沒有.....................

看到李老师忘了写dx 想起当年stpm不写dx整题砍掉一半的分数

高二以上的数学程度……我十年前是有的，十年后退回初二了

謝謝老師！

老师好

老师厉害👍🏻

這個問題；連續幾期講解，讚！

中間牽涉到三角函數跟複雜指數的微積分運算，應該不是高二生能夠做到的吧...

这么说: π真的很无理🤔,明明一页纸都写满了, 还没搞明白😂. 难道是一本没有裁切的纸?😭

李永乐老师你真的好強!

老師可以介紹一下超越數的定義跟證明pi是超越數嗎

看了兩分鐘我就進入了“我是誰 我在哪 我在做什麼？”的境界

我看懂了，A是0到1之间的数，同时A又是个整数，所以矛盾了，所以pi是个无理数. （其他的都没看懂）

真有意思，總覺得難點是想到那些構造函數和連結其中的關係，真是太神了。

让我们工科生望而却步的很多数学证明方法，其实很多很多都是一种奇妙的构造方法，感觉真心需要百分百的努力积累大量的公式处理技巧经验之后，外加那额外的百分之一的灵光一闪。

能夠想到這些轉換的式子真的是跟鬼一樣

很多人会惊奇为什么会构造出f(x)，其实这已经是这个证明整个想出来过程中的最后一步了。 应该第一步想到的是简单的 x^n (pi-x)^n 在零点时关于pi对称，以及简单的二项式展开，发现有文章可做，然后为了满足有理数的证伪，要补上p、q。 再然后，边推导展开、边发现需要补上分母的n!，这个n!一举两得，既成为构造f(k)(0)的恒整数性的关键一步，又能在最后帮忙放缩A到小于1的区间。 大F和F二次导的构造和叠加其实在想到f(k)(0)的恒整数性后，是比较顺理成章的思路，确实是高中思路，高中数学学到数列时，比较难的题是要求灵活运用构造、下标增减、移项对齐、消项等技巧的。连求和公式的推出，有的教材也是运用下标构造、移项叠加并消项。因此这一步反倒对数学工作者来说不惊艳。 这个证明其实最后就是证明了如果pi是有理数，那么这样的f(x)根本不存在--能写出来，但是在数学上不存在这个f(x)（正如pi = p/q，p、q为整数，可以写出来，但是数学上根本不存在这个式子）。 我倒认为最关键的一步，不是一上来就写出这个f(x)（科学证明总是把最后修订成型的构造式先写在最前面，但是思维过程肯定不是先产生这个式子的），也不是大F和消项，也不是最后的证伪，而恰恰是不起眼的 n! 这个分母的添加，其它的步骤虽然巧妙得很，不过都不如n!这一项这么抓眼球。这个证明整体，真的都是初等数学的，没有用到高等数学，什么各类级数、展开、夹逼、数论、矩阵论都没用到，最深的也就是导数的两个基本运算和导数对积分的一次反推。实在可供中学数学爱好者享用。

真的非常精彩的證明！！！！

Niven究竟是磕了多少 才想得到要構造這兩種方程式⋯⋯ 計算本身只是技巧與時間問題 但中間神奇又合理的構造太絕妙了呀！！！反推都不一定推得出來啊 好神！

來自台灣的高二表示有點小複雜

李老师 你怕不是读了外星人的高二 我个研究生也就只能理解到第二步了🙂 谢谢老师 老师辛苦了

非常精彩，谢谢李老师！整个推导过程中，感觉真正用到丌的含义之处在于sin X>0 如果X

如果搞不清有理 數無理數 內涵 要往下理解就很困難 強烈建議把每一個用到專有名詞做一輯 並做成連結 讓有心理解的人更容易隨時參考 畢竟每個人程度不同 一次記不住多參考幾次必能融會貫通

上次那篇隐藏的细节太多，这次的方法超级清晰，真不知道构造这几个辅助函数的数学家脑子是怎么长的…… 下次老师聊聊e是无理数的证明？

你要是慢慢看的话是能看懂的，然后暂停看了一下午，还是没懂

我記得我也大概是高二的時候老師介紹了一次怎麼求證PI是無理數的,也是用這個方法,看了好懷念.....數學真的太有趣了(然後高三要我們自己證一次...)

李老師一定是大學的教授。因為大學教授最常說的一句話就是：這個你們高中的時候應該就教過了。

真是太精彩了，怎麼能構造出這些函數呢？真是厲害啊

好难啊，关键是数学家如何设计出那些公式或函数

16:37 老師能順暢寫出滿滿證明加講解更是奇妙

holy shit!!厉害了老师~

看完视频我很想对教过我的数学老师们说一句：对不起。

這證明感覺很精彩！ （剛上高二的我...）

想起我当年高考的时候 老师说 这个就是这样变成这样 然后这样 像极了我听李永乐老师从第三步到第四步的时候😂

说实话，真的没想到这个问题可以用近乎初等数学的方法解决，这个证明实在是漂亮，谢谢老师

高二数学全还给老师了,大概有点印象

看完了，没看懂，但还想看。 请问这种情况正常吗

李老师，能不能讲讲免疫组化技术！谢谢🙏

吃饭前想看个李老师的视频，然后现在只能吃冷饭了

HOB

李老師可以介紹微積分嗎 不然您某些影片的內容都看不懂: )

看到这种证明真的是感受到了数学之美！

數學的奇妙之處在於每個符號字母都認識，但不曉得它描述的意思

1:19 開始就已經默默開始看留言...

完全感受不到數學的美，只有數學的恐怖，數學真的不是一個靠努力就行的學科，要靠天賦

老师辛苦了。对数学来说，说出来比写出来要难

我三十多年前的大学毕业，有二十年没摸过数学证明了。觉得李老师讲得很好，一遍就懂了。看楼下评论，好像很难懂的样子。转眼一想，秒懂。原来来留言的都是听不懂的😇

理发了啊

3月14号是派日哦

老师能讲讲tr-3b吗，现在的科技能做出来吗

李老师不对程老师指出您很多期视频中的那些错误做出一个正面回应吗

听完了，很庆幸我远离了数学。

我第二部解题步骤就已经看不懂了，，

證到最後居然可以得出這結論，真的好漂亮數學真是奇妙

其实数学证明要慢慢看，总看得懂的（这就是数学的美妙之处），但是要会做就是另一回事啦。 详细看还会发现老师可以用8号的微分来证明9号的积分。这样做，就可以跳过部分积分那个很麻烦的步骤了-

點進來的各位，你們已經通過第一道試煉了，能到這裡真不容易

从头到尾除了年代和名字，其他完全听不明白🤣

我看到第二步 谢谢老师

霍金说科普书籍里每多加一个公式读者损失一半。李永乐老师这么个视频还能有这么多观众李老师核心粉群的Base很稳啊

这个要理工科大二程度。现在高二微积分都学完了吗？

开幕雷击。。。

我在猜，原理是不是等同於利用sin x的泰勒展式對任何有理點p/q 求值不可能得到１．這樣就可以證明 pi/2 不是有理點．(因爲sin(pi/2) = 1) 這樣猜的原因是，構建的函數f, Ｆ的組合與sinx 的泰勒展式太像了．

这个证明一步步跟下来我觉得大二的水平就够了，然而关键是这个构造思路是怎么得到的呀！李永乐老师能再开一期介绍一下吗？

老师 我懵了 但是我还是觉得老师教的东西是我最能听明白的 困扰数学家千年的东西 真不是简单的

我学了代数才学会证明pi是无理数，而且还是用的Lindermann-Weierstrass theorem。没想到还有这么简单的分析方法，真是长见识了。

确实高 2 能听懂，有些提前学点导数的初 2 也能听懂，难得不是里边的步骤，而是怎么想到构造 f(x), F(x), 以及积分 A，这 99% 的数学专业博 2 也够造不出来🤣

謝謝老師 我要回去重修高中數學了

我只能贡献全部广告。