@@rein8510 다 만날 수 없습니다. 지구 육지의 면적은 약 1억 5000만 km^2 인데, 150m^2 정사각형 면적 안의 어린이를 10초마다 만난다고 가정해도 4000일 이상 소요됩니다. 4000일 안에 지구 내에서 새로운 어린이가 태어날 것은 자명하므로, 지구상의 모든 어린이를 만나는 것은 불가능합니다.
12형님, 간단하지는 않겠지만 갈루아 이론을 다뤄주실 수 있나요? 5차방정식의 근의공식이 없는 이유를 이해하려고 위키도 보고 영어로 된 유튜브도 여러 개 찾아봤는데, 어느순간 길을 잃고 깨닫는게 아니라 내용을 받아들이는 수준에 그치더라고요. 언젠가 다뤄주시면 너무 기쁠 거예요. 영상은 너무 잘 보고있어요. 감사합니다!
저도 무슨 말씀이신지 잘 알고 있습니다. 다만 유튜브 영상이 겉핥기식이 될 거란 의견엔 생각이 다릅니다. 영상에 따라 깨우침을 줄 수 있고, 많은 사람에게 놀라운 평가를 받는 영상도 이미 있다고 생각해요. 물론 군, 환, 체 등의 배경지식을 요하기때문에 요약하기 어렵다는 의견은 저도 동의합니다. 다만 저는 현대대수의 정의들을 알지만 왜 다항식의 솔버블이 오토몰피즘의 솔버블로 이어지는지 깨우치지 못 했고, 이를 이해하기 위해 대수책 후반부까지 완독하는 것이 직장을 다니면서 시작하기에 부담스럽긴 합니다. 쓰고보니 이해하려면 공부하는게 당연한데, 제 논리가 이상하네요. 한국어로 5차방정식의 근의 공식이 없는 이유를 잘 설명하는 영상은 아직 많이 없는 것 같아요. 반면 외국에는 인기 영상이 몇 개 있는데, 영어가 문제인지 논리가 문제인지 저는 보다가 길을 잃더라고요. 그래서 희망사항을 적어보았습니다. (조심스럽지만, 제가 도움을 얻으려고 봤던 영상들이에요) ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-zCU9tZ2VkWc.html ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-BSHv9Elk1MU.html ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-CwvuZ8aHyH4.html
ㅎㅎ 저두 도전중인 주제로군요..우리가 듣고자 하는 핵심은 이거 아니겠습니까! 그 문제를 푸는데 결정적 시발점 아이디어의 역사적 발견과정. 번쩍하는 시발점 아이디어(실마리!)가 떠올랐다고 해도 문제를 해결하는 것은 많은 노력이 필요하다는 건 다 알지만 문제해결의 큰 줄기를 잡는데는 핵심적 실마리가 아주 중요하고 생각합니다. 음..그 문제를 푼 선구자들의 핵심적 실마리가 저두 매우 궁금하네요
선택공리에 대해 언급할 때 제가 자주 소개하는 수학자 제리 보나(Jerry Bona)의 농담이 있어요. The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma? 선택공리는 직관적이고, 웰오더링은 직관에 반하는 것 같고, 초른의 레마는 직관이 쉽사리 답을 내리지 못한다는 뜻에서 남긴 말이라고 합니다.
초실수를 구성하는 과정에서 자연수집합의 free ultrafilter를 사용해야하는데 free ultrafilter가 존재함을 증명하려면 선택공리를 가정해야해서.. 그리고 초실수체를 제대로 공부해보시면 아마 얼핏 찾아보신거랑은 많이 다르실거예요 초실수체에선 least upper bound property조차 성립하지 않는답니다😢
원래 순서집합의 순서를 이용해서 새로운 순서를 생각하는게 자연스러운데, 직관적으로 느끼기엔 실수에 well order를 (구성 할 수 있다면) 원래 순서를 이용해서 구성하는게 불기능한게 아닐지... 그러니깐, 영상에서 예시로 든 정수의 well order는 부분집합(자연수)에서 바라보면 완전 동일한데 실수에는 (어떤 well order가 존재해서 그 집합에서는 실수의 원래 순서랑 일치하는) 그런 부분집합이 (자명한것 빼면) 없는게 아닐까 그런 생각이 드네요.
선택공리에서 Banach-Tarski paradox의 증명도 이어질 수 있는 것으로 아는데, 저는 Banach-Tarski paradox가 정말 이해가 안되더라고요... 혹시 이 부분에 대한 영상도 올려주시면 감사드리겠습니다. 쉽게 쉽게 잘 풀어 설명해주셔서 영상을 보게 된다면 조금 이해할 수 있지 않을까 싶어서요...
살짝 이해가 안되는 분들을 위해 댓글 남깁니다. 저도 처음엔 그냥 크기로 정하면 되잖아 생각했다가 이게 엄청 어렵다는걸 알게됬네요 (0,1)은 0초과 1미만인 실수들의 집합인데 "0보다 큰 실수들중 가장작은수는 무엇인가?" 라는 질문을 하면 숨이 턱 막혀버리네요 어떤 수를 가져와도 2로 나눠버리면 그것보다 0에 가까울텐데 이런 수가 존재하나? 싶기도 하고 이래서 사람들이 부정하는구나 이해했습니다
@@andrewlee9704 맞는말이긴 한데 본인도 예로든게 절대값 씌워서 크기비교 해놓고 무슨 대단한 예를 드는것처럼 포장하는건 좀... 심지어 정수범위 가져다가 예를 드는건 좀... 저는 이 문제가 절대 쉬운문제가 아니라는 이유에서 적은거고 님의 대댓은 보충설명이라기엔 대화의 맥락에, 반박이라기엔 논리적 맥락에 맞지 않네요
수학을 잘 못해서 수학적인 방법은 생각하기 어렵고ㅎㅎ 좀 이상하긴 하지만 주어진 숫자를 읽는 방법을 알파벳으로 써놓고 글자 수 순서대로 정렬하면 어떨까요? 만약 글자수가 같다면 첫 글자부터 시작해서 알파벳 순서로 먼저 오는 게 더 작다고 하면 될 수도 있지 않을까요? 띄어쓰기를 생략한다고 생각하면 원주율은 threepointone.... 혹은 pi로, 0.1은 zeropointone이 되겠고, (0, 1)에서는 0.1이 최소가 되겠네요
{0.222222.. , 0.122222..., 0.112222.. , 0.111222..., 0,111122..., ...} 이런 식으로 무한 소수로 이루어진 규칙적인 집합을 생각해 봅시다. two가 one보다 영어 알파벳 순서로 나중에 오니까 큰 숫자부터 적은 것이죠. 그럼 이 집합의 경우 최소가 없습니다. 참고로 0.111111...은 이 집합의 원소가 아닙니다.
@@jtlim125 물론 제가 제시한 방법이 이녁께서 제시하신 무한소수의 경우에서는 답을 구할 수는 없지만, 다른 대부분의 경우에서는 조금만 생각하면 답이 나왔던 것처럼 영상 속에 나왔던 Well-ordering theorem이 완전히 말도 안 되는 이야기처럼 보이는 건 아니네요ㅋㅋ
안녕하세요 저는 평소 12math님의 영상을 보면서 수학에 흥미를 지니게 된 고등학교 1학년 학생입니다 다름이아니라 산술평균과 기하평균의 관계, 그리고 코시-슈바르츠의 부등식에 대해서 배웠는데 이에 대한 내용이 문제집에는 공식과 증명에 관해서만 나와있더라구요 근데 저는 이것을 왜 사용하고 어떨 때 사용하는지 등 조금 더 깊은 내용을 알고 싶기도 하고 단순히 공식을 암기하고 문제만 푸는 것 보다 조금이나마 이해를 하고 싶은데 지금까지 배웠던 고등수학의 내용인 함수나, 방정식 등과는 사뭇 달라 낯설어서 그런지 더욱 어렵게 느껴지더라구요 혹시 이에 대한 내용으로 영상을 만들어주실 수 있으실까요? 조심스럽게 부탁드려봅니다..!
1. 산술 평균은 말 그대로 두 값의 평균. 2. 기하 평균은 곱들의 평균값이라 제곱근. 예1) 가로, 세로의 길이가 2와 8인 직사각형과 같은 정사각형의 한변의 길이는 sqrt(2*8)=4 즉, 2와 8의 기하평균은 4 예2) 투자를 했는데 작년엔 60%이익을 봤으나 올해는 60%의 손실을 봤다면 연평균 수익률은? 1.6*0.4=0.64 즉, 사실상 36% 손해율. 연평균 수익률을 계산한다면 sqrt(1.6*0.4)=0.8 즉, 매년 20%의 손해. 3. 조화평균은 역수의 산술평균의 역수. 예) 학교까지 10km를 왕복. 갈 때 시속 20km, 올 때 시속 30km였을 때의 평균 속력은? 20/(10/20+10/30)=24km 참고로 기하평균은 조화평균과 산술평균의 기하평균 4.코시-슈바르츠의 의미는 양수에서만 적용 가능하던 위의 평균들의 한계를 없애고, 실수, 복소수, 벡터 등에서도 성립하므로 다양한 분야에서 두루 활용 예) 점과 직선 사이의 거리. 이건 교과과정이 아니므로 한 번 생각해보시고, 나머지 예들은 대부분 벡터와 적분이라서 생략. 재밌죠? 수학과 오시면 더 재밌습니다. 기다리고 있을게요😁
관계식이 뜬금포로 튀어나와서 저랑 같은 고민을 하시는군요. 평균이면 평균이지 뭐가 기하고 조화냐, 역수의 평균은 갑자기 왜 구하는거냐 싶었습니다. 행렬의 곱셈이 곱셈이 아니라 합성 내지는 변환인데 굳이 점곱이니 가위곱이니 억지로 곱셈이라고 부르는것처럼 용어 자체가 뜬금포입니다. 일본식 번역어의 영향도 아니고(영어 원문도 표현 동일), 개념이 제시되는 맥락도 뜬금포고요. 개념 자체가 어려운게 아니라 맥락이 동떨어져서 '갑자기 이걸 왜? 뜬금포로 이걸 쑤셔넣어도 되는거면 다른것도 쑤셔넣어도 되는거 아니야? 제곱의 평균 제곱근의 평균 a^b와b^a의 평균 수도 없이 많겠는데 왜 이것만 배워야함? 아주 미분평균 적분평균도 있겠구만 f와 f''의 평균은 f'라고 할건가?...' 같은 생각을 했었습니다만 삼십줄인 지금도 뭐 대단한 깨달음이 오진 않더군요. 실제로 그리스시대에는 12가지가 넘는 평균을 이야기했고 제가 언급한 평균들도 이미 재미로 해본 수학쟁이들이 있었으며 그 중에서 자주 쓰이는걸 교육상의 문제로 몇개 뽑아서 가르칠 뿐이라는게 그나마 얻은 대답입니다. 요는 교육과정에서 개념도입 과정이 매끄럽지 않은데 연역추론 강조하는 수학에서 뜬금포로 들이미니까 거부반응 일어나는 것. 똑똑한 사람이라면 보자마자 깊은 뜻을 깨닫고 감탄할지 모르겠지만 평범한 사람은 그냥 외우고 넘어가는 수밖에 없습니다. 내가 그로센딕도 아니고...
정수처럼 하면 되는 것 아닌가요. 실수집합의 원소 x를 하나 뽑아. (실수 집합원소 ~ x ) "차"를 기준으로 절대값이 되겠죠. 적은 순서로 배열하면 되겠네요. 정수도 그렇게 했잖습니까. 절대값이 작은 순서로 배열. 그러니, 실수집합의 무작위 원소를 잡아서 그 원소와의 차가 작은 순서로 배열하던가 혹은 좌표로 따지자면, 무작위 좌표 하나를 잡아서 그 좌표와 거리 순서대로 집합원소들을 배열하면 되겠네요.
실수에 well-ordering theorem을 정수에 적용했듯이 아래와 같이 정의하면 되지 않나요? Ordering 규칙 : 실수의 절대값의 크기의 순으로 정하되 같은 절대값일 경우는 양수가 음수보다 큰 것으로 정의. 이 경우 어떠한 실수의 부분집합이어도 크기를 비교할 수 있지 않을까요?
Well-ordering이 안 되는 이유를 "{0보다 큰 실수의 집합} 이라고 하면 어떤 양의 실수를 가져와도 그것보다 더 작은 양의 실수를 무한대로 가져올 수 있으니 순서를 정하는 것은 불가능하다"라고 이해하면 되는 건가요? 공업수학에선 미분방정식, 푸리에변환 같은거 배우기 바빠서 공대생 입장에선 참 생소한 이야기네요 ㅎㅎ
order라는 개념이 우리가 생각하는 크기가 아니라 다른 방법의 대소관계를 잘 정의할 수 있는지 따지는 것입니다. 그리고 애초에 Well-ordering이 안 되는 집합이 존재한다는 것 자체가 선택공리가 거짓이라는 것인데, 선택공리가 참이라고 해도 기존 ZF 공리계 하에서 아무런 문제가 되지 않습니다. 여담이지만 저는 공대생 1학년 친구들이랑 이런 얘기 하고 노는데... 아닌 친구들도 있죠 뭐
와 진짜 어지럽네.... 선택공리가 규칙 없이 그냥 선택만 해도 되는거면 참인거같은데, well-order를 할려면 규칙이 있어야 할거같은데 실수집합에서는 이 규칙을 만들수가 없을거같아서 거짓인거같고... 근데 이 둘이 필요충분조건이라니(주입식교육에 익숙해진 나도 피해자인듯 하 이걸 이해하고싶다는 생각을 해야되는데 그냥 생각이 막혀버려 우리나라 교육 어떡하지 문제많다아아) 미치겠넹 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
저도 이방법이 왜 안되는지 궁금합니다! 임의의 부분집합 원소들 중 기준점을 정하고 거리에 대응해서 order를 주고 부호는 앞서 정의하신 것처럼 같은 거리면 양의 부호가 음의 부호보다 작다고 하면 수직선 위에서는 다 well order이지 않나요?? 복소수도 기준점을 기준으로 같은 거리의 수가 무수히 많다고 하더라도, 라디안 값이 작을수록 수가 작고, 2pi 주기를 더할수록 수가 작아진다고 가정하는 등의 순서만 명시해주면 항상 기준점이 최소원소가 될 것 같은데 왜 모순일까요?!
@@Cindy-dl8ny 만약 절대값을 기준으로 한다면 다음과 같은 질문에 대답할수 있어야 최솟값을 정할 수 있습니다. "0보다 큰 실수 중 가장 작은수는 무엇인가?" 왜냐하면 (0,inf)도 실수집합의 부분집합이니까요 (0초과인 실수) 딱봐도 어려워보입니다. 따라서 이를 부정하는 사람이 존재하는 것입니다.
@@Cindy-dl8ny 정확히 이야기하면 무한은 수가 아닙니다. 사실 수가아니라 개념에 가깝습니다. 예를들어 x = 2x 라는 방정식이 있을 때, 이에 대한 답은 0이지, 무한 또한 답이 될 수 있다고 말하지 않죠? 따라서 (-inf,inf)에서 가장 작은수는 뭐야? 라는 질문에 선뜻 대답할 수 없습니다. '수'를 물어봤기 때문이죠. "세상에서 가장 작은 정수는?" "0보다 큰 수 중에 가장 작은 실수는?" 라는 질문에 "아 그 수는 n이야~"라고 답할 수 없다면 그 n이 존재한다고 할 수 있을까요? 오히려 그런 수 n은 존재하지 않는다고 보는게 오히려 더 타당해 보입니다. 사실 이 문제는 말그대로 '선택'공리의 파생형이기 때문에 존재한다고 하든 하지 않는다고 하든 선택입니다. 대신 사람들이 이 문제를 선택하는데 왜 어려움이 있는지 제가 잘 전달했다면 좋겠네요.
질문이 있습니다.. 웰 오더링을 위해선 최소 원소를 정의해서 룰을 만들어 크기 관계를 정립하는 것이 가장 중요하다고 이해해도 문제가 없는 걸까요? 음의 정수가 포함되는 모든 정수의 웰 오더링을 위해선 먼저 0을 최소 원소로 두고 그 뒤로 양수 음수가 반복되는 룰을 만들어 크기 관계가 정립이 되니 웰 오더링이 가능하다고 이해를 했습니다. 하나 영상의 말씀대로 모든 실수의 영역에서 웰 오더링이 가능하다 라고 하려면, 모든 실수 영역에서 최소 원소를 하나 정해두고 어떤 룰을 만들어 모든 실수 영역에서의 크기 관계를 정립시킨다면 해결되는 문제인 건가요? 분명 추상적으로는 가능해 보이는데 그 룰을 정의하기가 굉장히 난해해 보이네요.. 항상 영상 재밌게 보며 배우고 있는데 제가 잘못 이해한 것일까 걱정되어 질문을 남깁니다.
@@user-br8jy4do2c 선택공리가 '선택'이자 '공리'가 된 이유는 기존 ZF 공리계와 아예 독립적인 명제임이 증명되었기 때문이라고 알고 있습니다. 즉 이 명제가 참이어도 거짓이어도 ZF 공리계 하에서는 말이 된다는 거죠... 선택공리가 ZF 공리계에서의 불완전성 정리를 증명하는 실례인 셈입니다. 이 점으로 미루어 볼 때 "선택함수가 존재하더라도 이 함수는 우리가 아는 방법으로 기술할 수 없다" 따위의 명제가 성립하지 않을까 싶네요(저도 아직 잘은 모릅니다...) ZF와 일관적이므로 최근에는 대부분의 수학자들이 선택공리를 가정하고 들어간다고 들었습니다. 선택공리로 인해 참이 되는 유용한 명제들이 많거든요.
저는 Well-ordering theorem 에서 크기순서를 정할수 있는게 첫번째, 두번째, 세번째, 등등 순서를 정할수 있는가라고 생각합니다 그렇다고 치면 결국 어떤 집합이던 자연수 집합에 대응시키는것이 가능하다는 것인데 무리수 집합은 자연수 집합에 대응시킬 수 없으므로 거짓이라고 생각합니다
주변에 다른 친구들은 다 그냥 받아들이는데 그걸 그냥 받아들이기가 너무 어려웠던.... 나이 40근처가 되니 자연스럽게 미련을 버리게 되더라구요. 그 때 이후로 좀 많이 편해졌는데 그걸 받아들이고 나니, 20살때 그걸 못받아들여서 수학공부 손놓았던게 후회도 좀 되고 그렇더라구요. 그렇다고 40넘어 다시 하자니 그러기엔 이미 잘먹고 잘살고 있는데 굳이 할 필요성을 못느끼겠고 뭐 그렇습니다. 그래서 이렇게 넋두리나 주절주절하네요. ㅎ
정말 오랜만에 집합론 책을 들쳐봤어요 ㅋㅋㅋ 옛날 생각이 나서 좋네요. 책 귀퉁이에 필기도 되어있고 제 생각도 적혀있는 게 당시에는 나름 이해를 했던 거 같은데 지금은 이해가 하나도 안가네요. 아무튼 실수에 웰오더를 줄 수 있나 잠깐 생각해봤는데 임의의 부분집합에 대해서는 안될 거 같다는 생각이 듭니다..
잘 모르지만, 실수 집합의 well-ordering이 가능하다면, 이건 가산집합이라는 것과 무엇이 다른가요? 우리가 흔히 실수집합의 비가산성을 증명할 때 사용하는 대각선 논법도, 결국 실수를 모든 자연수와 매칭해도 남는 것이 있다라는 것인데, 실수가 well-ordering이 된다면 결국 모든 실수와 자연수가 1대1 대응되는 것으로 밖에는 생각되지 않네요.. 만약 실수를 well-ordering 했는데도 자연수와 1대1대응이 불가능해 남는 실수가 있다고 얘기한다면, 이건 순서가 부여되지 않은 실수가 있다는 얘기 아닌가요?
조금 달라요. 어떤 비가산 집합에서 최소 원소를 뽑는 걸 반복한다 하더라도, 그 집합을 거덜낼 수가 없어요. A가 비가산집합일때, A-{a₁,a₂,a₃,...}≠∅ 인 거죠. 최소원소를 반복해서 뽑는 과정 자체를 반복하더라도 ∅는 못 돼요. A-{a₁,a₂,...}-{b₁,b₂,...}-{c₁,c₂,...}≠∅.
실제로 well ordering이 가능한 비가산 집합도 있어요. 초한서수 개념을 아시나요? 모든 가산서수를 모은 집합을 Ω혹은 ω₁이라 하는데, 이것 역시도 서수이며 비가산집합입니다. 그럼에도 이 집합의 모든 원소가 서수인지라 항상 최소원소가 존재하죠. 말하자면 well-ordering이 가능한 집합은 가산집합보다 더 큰 범위를 가리키는 거죠.
제가 이해한 어떤 집합에 well-order를 준다는 의미는 어떤 기준 하에 관계로서 대소 비교가 가능하도록 정렬하는 것인데 그러면 실수의 집합을 수직선에 찍어두고 어떤 한 점을 기준으로 하는 거리를 기준으로 하면 대소비교가 되는게 아닌 건가요? 아니면 혹시 제가 잘 못이해하고 있는 건지 궁금합니다.
영상 설명대로라면 너무 당연한거 같은뎅... 영상에서 말하는 선택함수는 집합안에 아무 원소나 하나를 고를 수 있다는거잖슴 그러면 당연히 선택함수들 중에 하나인 최소값을 고르는 함수도 존재한다는거잖슴 최소값을 고르는 함수를 이용하면 당연히 well-order가 가능해지는거 아님? 예를들어 (0, 1) 이라는 집합을 최소값을 고르는 함수에 집어넣으면 그 숫자가 뭔지는 모르지만 X라는 최소값을 반환할거잖슴 그렇게 X를 뽑고, (0, 1)에서 X를 제외한 집합을 다시 최소값을 고르는 함수에다가 집어으면 Y라는 최소값을 반환할거잖슴 그렇게 Y를 뽑고, (0, 1)에서 X와 Y를 제외한 집합을 다시 최소값을 고르는 함수에다가 집어으면 Z라는 최소값을 반환할거잖슴 그런식으로 무한히 반복하면 { X, Y, Z .... } 라는 형태의 well-order 집합이 탄생하는거잖슴.. 그냥 영상에서 다 언급한 것들이라 전혀 멘붕이 안되는데 굳이 멘붕한 사람들에게 공감을 발휘해보자면 어떤 하나의 규칙을 찾으려고 하는게 멘붕을 유발하는거 같음 정수처럼 0, 1, -1, 2, -2 같은 절대값 규칙 같은걸 찾으려고 하는게지.. 영상에서 말했듯이 선택함수는 공리에 의해서 존재하지만 그 형태는 알 수 없다는 사실을 받아들여야 하는데 그 형태를 찾으려고 하니까 멘붕을 하는게 아닐까?
비가산 집합에서는 말씀하신 논증이 통하지 않습니다. 어떤 비가산 집합 A의 대표 원소를 뽑고 그걸 제외하고 뽑는 과정을 반복하여도, 그것은 A-(임의의 가산집합)에 항상 대표원소가 존재한다는 것을 보장할 뿐, A의 모든 부분집합에 대표원소가 있음을 보장하지 않습니다. 무슨 말이냐면, (0,1)에서 대표원소를 뽑는 과정을 반복하여 (0,1)-{a}-{b}-{c}-...를 했을 때, 과연 이걸 공집합으로 만들 수 있냐는 겁니다.
분명 제가 잘 이해하지 못해서 그런 거겠지만 처음에 정수를 나열했을 때 방식을 동일하게 사용하면 되지 않을까요? 절댓값이 큰 걸 더 큰 수라고 하고 절댓값이 같으면 음수가 더 큰 수다라고 생각하면 분명 실수의 부분집합에 대해서도 가능할 것 같은데... 제가 빼먹은 게 뭘까요? 연속한 경우엔 단순 크기 비교만으로는 불가능한가요? 아니면 허수 단위에서도 생각해 봐야 하나요?
저거 ordering 하는건 영상에서 정수집합의 최소원소를 잡는 거랑 똑같이 하면 됩니다. (0,1)로 예를 들면 1/2가 (0,1) 내에 있음을 보인 다음 다른 (0,1) 내의 원소와 1/2의 차를 쓰는거죠. 문제는 내가 1/2를 고른 것 자체가 선택공리를 쓴 거라서 순환논법이 됩니다.
실수집합에서의 ordering을 다음과 같이 정의 하면 well-ordering이 안될까요? 워낙 간단한 방법이라 이미 누군가 어딘가에서 제시하고 까였을것 같긴 하지만요.. 서로 같지 않은 두 개의 실수의 순서 관계를 다음과 같이 정의: 1. 두 실수의 절댓값이 같지 않은 경우 절댓값이 작은것이 앞순번, 큰것이 뒷순번 2. 두 실수의 절댓값이 같은경우 하나는 양수, 하나는 음수일것이므로 양수가 앞순번, 음수가 뒷순번
전 왠지 선택공리도 믿기가 어렵네요 단순히 대표를 "아무나"뽑는게 아니라 그 대표의 기준이 항상 일치해야 되니까 그 대표를 주는 기준을 어떻게 잡냐가 중요할거같아요 예를들면 [0,∞)에서의 대표는 0이라고 하고 (0,∞) 에서의 대표는 또 1 이라고 했을때 기 기준이 예를들면 (-∞,0) 에서도 같은 기준이여야 되고 (-∞,-1)에서도 같은 기준이여야 되고(즉, 한 집합에서의 대표는 다른 집합에서도 대표여야 하고)하니까 그 기준이 꽤 중요할거 같고 실수에서 그 기준이 바로 생각나지 않으니 선택공리도 좀 의심스러운 부분이 있네요
생각보다 중요한 통찰이에요. 선택공리를 부정하는 구성주의적 관점과 궤를 같이 합니다. 구성주의에서는 우리가 구성할 수 없는 어떤 것도 존재하지 않는다고 보는데, 그 구성에는 기실 일관된 규칙이 필수적이죠. 그런 관점에서 선택'공리'는 아무 집합에서든 아무렇게나 원소를 뽑을 경우의 수가 존재한다는 엄숙한 선언에 불과하게 됩니다. 구성주의자들이 받아들일 수 없는 주장이죠.
@@hijkstuv 2:36 에서 보면 {a,b,c} 의 대표가 a 고, {a,b} 의 대표도 a 고, {a,c} 의 대표도 a 고 해서 일관성이 존재해야 하나 했지만, {a,b,c} 의 대표는 a 지만, {a,b} 의 대표는 b 고, {a,b,d} 의 대표는 다시 a 고 이래도 전혀 상관 없는건가요? 그럼 상당히 비직관적이긴 하네요
@@hyeonsseungsseungi 아하 2:36 에서 보면 {a,b,c} 의 대표가 a 고, {a,b} 의 대표도 a 고, {a,c} 의 대표도 a 고 해서 일관성이 존재해야 하나 했지만, {a,b,c} 의 대표는 a 지만, {a,b} 의 대표는 b 고, {a,b,d} 의 대표는 다시 a 고 이래도 전혀 상관 없는건가요? 그럼 상당히 비직관적이긴 하네요
수알못 개발자입니다. 저 선택 공리가 모든 공집합이 아닌 집합에 대해 성립한다고요?.. 그렇군요. 실수 집합 ordering은 뭐 그렇다 쳐도 무한한 길이의 모두 다른 문자열의 집합같은 uncountable infinity라 불리는 집합은 어떻게 order할지 감이 안오네요. 대소비교도 불가능하니까요. 논제범위 바깥인가요? 복소수 집합의 well-ordering도 단순히 실수라는 수의 범위를 한 차원 더 높이는 개념이라고 생각한다면.. 그러한 개념을 무한히 많이 적용한게 제가 언급한 문자열 집합이라고 생각하면 좋겠네요. 무한한 차원의 공간에서 한 지점을 고르는 것(즉, 그 지점의 좌표 하나를 표시하는데 무한한 양의 숫자 파라미터를 갖는 것)처럼 비유를 들 수도 있겠네요. 그냥 그렇게 그려보면 이쁠 것 같아요. 대소비교가 가능한 모든 집합의 well-ordering 알고리즘에 대해서도 생각해 봤는데.. 1) 0 혹은 그와 가장 가까운 근사치를 찾고 첫 element로 둔다 2) 나머지 모든 element는 절대값으로 sort한 이후, 절대값이 동일한 양수와 음수에 대해 양수를 먼저 배치하고 음수를 그 뒤에 배치한다 이런 take는 최악의 경우 연산에 무한한 시간이 걸리니 증명으로 쓰기 힘들까요? 증명으로 받아들여지기 위한 조건이 뭔지 잘 모르겠네요
y=x인 그래프를 그린다. 어떤 실수 x에서 직선을 향해 x축과의 직각으로 가서 도달할 수 있는 거리가 있다. 똑같은 거리가 1사분면과 3사분면에 항상 2개가 생성되는데 순서는 둘 중 어떤것이든 앞에 오게 정해도 된다. 정수일 때와 비슷한 방법으로 생각해봤습니다..ㄷㄷ;;;
AC 공리와 동치 명제가 나오는 파트는 처음에는 명제 자체도 이해하기 힘들어서 대충 equivalence relation라고 정리하고 필요할 때 다시 공부하자고 넘어갔다가, Zorn's lemma 이용한 증명이 나오기 시작했을 때부터 뒤늦게 다시 공부한 기억이 있네요. 이 파트는 직관적인 구성이 어려워서 처음 공부할 때는 이해하기 꽤나 힘든 편인데, 핵심을 잘 짚어주셨습니다. 이 영상을 집합론 공부하기 시작한 분들은 꼭 보셨으면 합니다.
영상에서 실수에 대한 예의 경우에 어떤 실수의 부분집합에서 아무거나 하나를 고르는게 어렵다는 뜻인가요? 그게 아니면 순서 주는게 쉬워보이는데 생각의 깊이가 얕은걸까요 (부분집합, 최솟값) 쌍을 쓸 수 있는 종이를 준비한다 누가 어떤 부분집합에서 최솟값이 뭐냐고 물어보면 종이에 쓴거 중에 있는지 찾아보고 있으면 그 옆에 쓰여있는 최솟값을 말하고 없으면 집합 내 아무거나 골라(이게 선택공리인거 같은데 고를 수 있는걸 가정하면 안되는건가요?) 알려주고 그 (부분집합, 최솟값) 를 종이에 쓴다. 반복 이게 임의의 부분집합에 대해 규칙을 만들기 어려운거지 이런식으로 제시하는건 쉽지 않을까요
내가 잘 이해를 못 한 건가?? 부분집합 원소의 크기 관계를 내 임의로 정할 수 있다면, 부분 집합 내에서 아무거나 하나 찍어서 그냥 그게 제일 작다고 정의하면 되는 거 아님?? 그리고 아무거나 하나 찍은 그걸 선택공리에서의 대표원소라고 생각하면 되는 거 아님?? 반대도 마찬가지이고....
혹시 well ordering theorem에서 실수를 순서대로 나열하는 법에 대해서 갑자기 생각나서 적어보는건데요... 정해진 집합 안의 모든 실수의 합을 구할 수 있을테고 그 실수들의 합의 평균값과 집합안의 실수 사이의 거리로 well order를 하는건 안되는건가요? 진짜 전공자도 아니고 자세히 몰라서 여쭤봅니다...
(0,1)같은 집합이 있다면 두 끝단의 산술평균인 1/2을 처음 순서로 놓고 그로부터 멀어질 수록 뒷 순서라고 가정하는 건 어떨까요? 대신 0.25와 0.75와 같이 거리가 같은 두 수가 있으면 0.25와 같이 더 왼쪽에 있는 수를 더 앞 순서에 놓는거에요. 꼭 연속 집합이 아니더라도 상한과 하한 값의 평균으로부터의 거리로 순서를 생각할 수 있지 않을까요? 무한대가 문제긴 한데 그때는 다른 규칙을 적용하고요.
well-order라는 것은 그것의 어떠한 부분집합에서도 최소 원소가 존재해야 합니다. 가령 (0, 1)이라는 집합에서 말씀하신 순서를 적용한다면 (0, 1)에서 1/2을 제외한 모든 원소의 집합은 (0, 1)의 부분집합이니까 그 최소 원소가 무엇인지 말할 수 있어야 하는데, 그렇지 않기 때문에 well-order가 아닙니다.
수학 1도 모르는 사람입니다만 저만 직관적으로 선택 공리가 참이라면 웰 오더가 참인게 이해가 되나요...? 선택 공리 원칙대로 아무거나 배열에서 하나 가지고 와서 그 요소로부터 거리가 가까운(값이 근사치인) 순서대로 배열하면 그것만으로 웰오더가 되는 것이 아닌가...하는데 제 생각이 틀렸다면 알려주십사 합니다.
