1和0.999無限循環哪個大？小學生說1大，數學家說等於，高級數學家又說不等於 | 雅桑了嗎 

利申，我並不是數學家，我這段內容基本都是消化了相關論證後再以自己的語言說出來，外加些少灰諧。所以有多少不乎合數學上的用詞標準或者有人覺得是冷笑話請見諒。 話說在前頭，我是認同0.999…=1的那一派。 要說「無窮小量」這個問題，我的理解是把微積分及離散數學一起來看就行了。微積分的下這個世界的「小」並沒存在下限，所以要解釋無窮小就要把思路逆轉過來，理解為無窮大的倒數，即「在概念上的所謂最小值」。言而這個字宙是有最小值的，這乎合離散數學的概念，「無窮小量」也就是就等於這個最小值了。 簡單點來講，「無窮小量」有多小就視乎系統允許的最小值有多「小」﹐還有系統允許的誤差值(這個很重要)。 首先說說微積分。因為「小」並沒有下限，任何一個非0值都可以被分割出更小的非0值，所以無窮小並沒有一個實值，只是一個概念，即是「沒有最小，只有更小」，只要一日未割至0仍然要割下去，但現有規側跟本不會讓你割剩0，只能繼續割，一直割，割到宇宙熱寂﹐但不代表這就成功割完，只是沒功夫繼續割，放棄不割了，也就出現所謂的餘值，不過這餘值基本上等同「無」。至於「無窮小」跟「無」之間的恩怨我就不用多說了。微積分的核心是「極值」，指有些情況下將某實值代入某公式並沒有答案(例如除以零)，但如果代入的並不完全等於該實值而是「有足夠靠近」那麼答案也會有足夠趨近某一個數值，其核心就是無窮小。有聰明的朋友也許會再提出這個「漏洞」：0.999…9跟1.000…0相差了0.000…1呀，怎會沒有實值？不能割不代表不存在吧。但我要說這些聰明的朋友搞錯了一個好關鍵的重點，就是0.999…首先有無限個9，然後才…抱歉「沒有然後」了。硬要找0.999…後面的東西﹐有都只會是繼續無限個9而不會只有一個，所以0.000…後面也頂多再來無限個0，這個「最後的1」的而且確不存在而非不能割(有得割不割罪大惡極阿朋友)。說到尾，也就回歸問題原點，變成了「遞歸」(recurrsion)的問題了。其實這個0.999…的問題不就雷同物理學四大神獸之一的芝諾烏龜的那個悖論﹐之不過將1/2(二進制0.111…)改為9/10(10進制)罷了，同樣用微積分就能破解了。 好，在離散數學下，那麼0.999…跟1的差別就的確有可能會是這個不可割的「系統允許的最小值」(但其實更有可能是0﹐真相只有一個﹐case closed，完結撒花，皆大歡喜…最後會提及原因)，但離散數學有一個很尷尬的難題﹐就是小數點後的位數總有個終點(那怕會有很多個，但總之就是會數完)，「無限循環小數」並不存在﹐更別說無理數，超越數等等並沒有規則可言的無窮小數了，也就是說1/3 =/= 0.333…、像無窮數列等等這些建基於無限循環小數的理論通通不能成立，圓周率及歐拉數等等也有絶對確值了(應該是「不被允許存在確值只能有約數」…但貌似反而是好事？)，但這明顥有違常理(雖然在微觀上反而是對的)。 要解決這一尷尬難題，首先要承認絕大部份宏觀系統都存在「可接受誤差值」的。舉個例子，我要你將769毫升水精準分成167等份(為何要769及167我待會再說明)。你會說，有多難？每份769/167即約4.60479041916毫升就是了。但我要提醒你「769毫升」「大概」有幾多個水分子…根據維基百科，標準情形下的水分子的摩爾數是約18.01528(g/mol)所以769毫升水有約42.6859865625摩爾(即約 257*10^23個)水分子﹐你真的打算要在精準到分子數的層面來分等份嗎？而且你能保證這個「約42.6859865625摩爾」能被19整除？不能整除的話何分成等份？再說在日常生活中要拿完全精確分子數的任何物質一個不差幾近不可能吧，別甭說視乎溫度壓力甚至同位數這個「約42.6859865625摩爾」根本就是一個浮動數值(所以這些數值前面全部有個「約」字)。所以系統需要有一個可接受誤差程度﹐不能少於這個浮動範圍，例如我會跟你說，「將769毫升水分成167等份，誤差值為1微升」，那麼你別理會水分子數的問題，也不用擔心769不能被167整除，總之將它分為167份介乎4.6047至4.6048毫升這個範圍就可以了(這誤差甚至明顯低於一微升)。好了﹐我選769和167的原因是因為剛好都是質數，能高機率出現不能整除的情況(除非摩爾剛好能被167整除)但又不會把問題搞得太複雜，雖然後來發現關係不太大…。 我就知道有人會質疑，數學就是要講求準確，在可行的情況下都要將誤差降到最低…「我現在就是要玩到對誤差零容忍，你奈我什麼何？」在離散數學下因為有明確的最小值，所以當然能做到表面上的零誤差，但也就等於先前的尷尬難題無法解決，這可是個更深層次的誤差處理，叫做「量化」。而且數學還講求「用於表達萬物」，明明現實世界就是充斥著誤差，更甚這些誤差大多明顯高於最小值，而你卻偏要把誤差的存在抹除掉，這還算是數學嗎？完善的數學理論是要將誤差考慮在內的。這裡跟大家說說一個小知識：我們身處的這個宇宙估算一共有約10的78至82次方個原子。是很多沒錯，但掉轉頭看1/(10^82)跟「無窮小」明顯有能夠理解的差距。單單是圓周率就已經被算出了小數點後上百萬個位或更多，可不是百萬分之幾喔…像我們的宇宙這一個概念上無限的實質有限集合，但在無窮小下都顯得何等渺小，「相比之下更加有限」的系統更就更甚，最簡單例子就是你跟我都在使用中的數字電腦中的浮點數(IEEE 754)，都有對應最小及誤差值的方針。有興趣的朋友可以去看看。這裡說個題外話：因為現今的宇宙正直青年，充滿著核反應，而且幾乎都是核融合，所以雖然幅度很少但這個原子數量是在持續滅少中。 總結，當一數值無可避免必需變得小於系統容許的非0最小值時﹐也就只能夠「歸邊」，要麼「塌縮」清零，要麼「擴散」成最小值，沒有中間可選，四捨五入的概念下是0的機會理應是大多數(因為怎想它也會比較接近0)，而這兩邊都同樣無可避免涉量化誤差的問題。所以到頭來歸那一邊最終其實沒分別。在微積分下0.999…毫無疑問=1，離散數學的話在允許「可接受誤差值」的絕大多數情況下等於基本上=1，不接受的話嘛…也絕對可以，但請先提出這個最小值不能被忽略的理由﹐而這個已經是純粹數學的範籌﹐玩味多於實用了… 後話，其實0.999…=1是在常理下(也就是0.999…的情況下了)被公認的事實。但數學就是這麼既有趣又煩人，可以在無限接近完全肯定的情況下提出那無窮小的否定的可能性來討論…

下載99%不再繼續=死機

雅桑真的擁有把學問用哲學方式表達的能力與魅力！我真的很怕數學，我42歲了，可是我看到你的解析，我真的覺得如果我當時能遇到像您一樣的數學老師，我就不會只是個平凡的developer了…

這個問題 倒不如說「怎麼得到0.9999….」 其實「正常」的除法根本就得不到這東西 你可以1/1的時候故意不除好 得出來的就是0.99999….. 我覺得很多人都太把這個問題想的太哲學了 無限小為什麼等於零？無限又是什麼？ 其實都早有柯西所給出的極限嚴格定義 所以說穿了 不過是個根據定義所推論出來的東西罷了 每次想到這點總會有點對「無限」帶來的神秘感到破滅

教授A：59.9 = 60 教授B：59.9 = 59 看來我是遇到了不同派系的數學家

雅桑總能把我怎麼也想不明白的事說清楚，只是我要看透徹這個清楚還需要99.999......次

「問你個問題。1塊蛋糕切成等大小的3份，一份是1/3塊沒錯吧？」 「沒錯啊。」 「1/3相當於0.333……3，這也沒錯吧？」 「是啊。」 「那麼3份蛋糕合計就是0.999……9塊蛋糕，那剩下的那0.000…01塊蛋糕去哪裡了呢？」 「你看你的刀子上是不是沾了些奶油？」 「！！！謝謝，我懂了。」

我認為，無限循環是我們人類十進制的一個次元盲區，其實我們人類的數學本身建立在十進制的基礎上(因為人類十根手指頭)，導致很多數學家被困在十進制的一些數學難題裡，明明我們人類發明的電腦是運用2進制去運算，那麼，當遇到無限循環除不盡的狀況時，如果改用其他進制為基底去運算，你會發現原本除不盡的，變成整數了，我舉例 1/3=0.333333(循環) ， 如果大家試著用12進制去算就是1/3=0.4(12進制) ，當等式兩邊各乘以3 就回到1=1，不會有那個除不盡的問題，如果人類想進入宇宙變成更高等文明，就必須擺脫十進制的約束

(本馬鈴薯不知道a b是否必須是整數) 9:02 假設b=1 a=½ 雖然a÷b=½ 但是(b-a)÷b就會小於1÷b而不是≥ 假設b=¼ a=⅛ 也不會>1÷10^b 那1-a÷b就不會>1÷10^b 也就不會

高中時的數學老師說過一個很直觀的看法 2/2做長除法時從小數點後第一位開始除就是0.999… 那時候一聽完就沒有疑問了

坚持住鸭嗓，认真做数学视频的就是好鸭嗓，我支持你，么么哒😘😘

無窮小量只是一個函數f，而且有f(0)=0,f在x=0連續（連續性以epsilon-delta定義）

7:24 戴德金分割不是講過了嗎？ 5/3 的「一個數字竟會引起一場數學血案？直接爆發了第一次數學危機 | 雅桑了嗎」 11:04 的地方（傳送門： ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-xZL5qDyAeWE.html ） 突然發現 5/9 的「由芝諾的烏龜引出無窮小量等於0嗎？給牛頓擦屁股的第二次數學危機 | 雅桑了嗎」 0:49 的地方好像有先挖了畢氏學派 1 > 0.999... 的坑 （ ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-Ox3ow_xMhCY.html ）

其实我感觉 我们对数字的定义太狭隘了，可以把0.99循环 看成是一个动数，一个在数轴上运动的数。而1是一个静态数，在数轴上不运动。这样比较0.99循环 和 1就不应该比较。没有意义。 动数比较动数更有意义。

談到無窮小量, 令我想起當年網遊的RO內的"零偷"理論一樣, 系統數位有限, 但存在發生的概率有可能發生的話, 系統會自動進位, 從而令概率增加成為事實. 而現實中會存在嗎? 物理存在很多最少的, 不可分割量. 這應該是個很好的議題.

覺得用dx 當最小分割量的數學比較適合現在觀察到的宇宙現實。。在自然數中dx 就是1任何小數點以下的數都是無意義的

分割Q（有理數）得到兩個區域 A|B及C|D B左邊端點對應的數=0.9循環，D則為1 則A{X|X屬於Q,且X

給任意不為0的整數n 複數(0.6 + 0.8•i)的n次方 與 複數平面上(1,0)這點的距離 永遠不會等於0 但 也永遠找不到最小值

宇宙最小尺度也有類似的感覺，物理上可能有那個最小的尺度，但數學可能沒有

如果相信我們的手機 請輸入 1÷3+1÷3+1÷3= 我的手機告訴我是1 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繞來繞去其實有很多的數學方程是為了某個區域內的模式設計的，不是全部適用，所以0.999..絕對不等於1！

數學就是根據一些公理建立的框架，如果公理變了，那麼框架自然就變了，用框架得出的結論自然也就可能改變

這應該解釋成10進位表示方式的小小bug，其實不影響計算結果。

無窮小量是宇宙最基礎核心，所以不能被發現但存在。 它可以是物質，也只是可以是維度。但它不能被忽略，因為它是構成所有可見不可見的基礎。

這問題之前數學老師就在課堂上提過，無窮小量存不存在？ 例如所有的面積由線構成，而線是由無數個點構成，那點的面積如何求？ 因為點的面積可以是無窮小量，若點的面積是0.000無限小數之1而我們視作為0，則線不存在，因此0.000無限小數之1不可以等於0，意即我們不能忽略掉無窮小量的存在

這真的超級適合我寫小論文的

我們教授曾說過一句話:「我們這些做數學研究的，就是把不該放進去的東西給強硬的塞進去，大家說1+1=2，數學家會思考三角形加正方形等於什麼」

精彩👍👍👍

我有一個解決÷0的方法就是把零變成一個數軸一條線而不是一個點簡單來說就是讓0×1不等於0×2讓0×1等於0讓0×2等於2零且有 負零 i零 -i零 √2零0.1零 無限大零 無線小零 不過他們的加法減法都和+0-0相同 且0-0等於0零他加減乘除例如 0零+1=1 0零-1=1 0零成1=1 0零/1=1

能發給我那個證明嗎，我覺得您講得非常清楚，我也好奇那個是怎證的

如果用畢達哥拉斯的勾股定理加上超實數定理根號0.99999⋯⋯9+根號0.00000⋯⋯1=1那麼畢達哥拉斯的勾股定理是不是被推翻了

外行人弱弱問一下，4:44那邊是否成立，是不是跟希爾伯特旅館悖論有異曲同工之妙?

如果把物理學裡的時間跟距離有最小不可分割值的觀念帶入進來看，這個無窮小量是否就不存在我們的這個世界？

感覺影片越做越好了欸

用limit 概`念 0.999999..... 即是 limit 1- 10^(-n), n-> + ∞, n is an element of N, = 1

總覺得已經變成哲學問題了

说了这么多 这个无限小量存在的说法 感觉可以的。

其實爭論的應該是0.999無限循環 是不是一個合法且嚴謹表達方式

也就是說站的立場不一樣，結果也不一樣

無限接近光速並不等於光速 所以數學驗證不等於事實

如果反轉想，將無限小量乘以無限，可不可以變成1呢？為什麼等於1不等於0.1呢？ 我覺得應該問題會不會是因為我們首先定義了0.999999...=0.11111x9 ，而0.1111...已經定義為1/9所以0.999...在此定義下必然等於1? (0.111...的唯一意義是由1除9後的小數表示形式)。所以只要有用分數去計0.99...和1之間有沒有數字就永遠不能跳出相同的概念。所以無論是1/9和2/18, 在定義中都已經是相同的0.111....。 所以唯一方法就是要找出一個0.999...在另一個非分數方法去表達形式，才會發現0.9999...不等於1。

软件工程师告诉你：的确是1大

雖然我不是數學家，但聽起來很不錯對吧~

呃，其实可以理解为0.999... - 1是有方向的0（-0？） 也就是说这个无穷小量的意义在于它可以决定它的方向，是大小为0但有方向的一个矢量。（可参照导数部分知识）

其實永遠不會有真相，只有模型，看各個模型能近似到什麼程度、能有多接近「真相」。

当x= 0.9循环时，10x的确是等于9.9循环的，但是问题是10x-x=9x 他不等于0.9循环啊，这一步就错了。他利用了数理有限数字无限的bug了。论证过程：假定a等于（近似于0.9循环3位数），即a=0.999，则此时10a=9.99,10a-a=9a=9.99-0.999=8.991，则推导出此时a=0.999循环，符合一开始的假设。同理可以推导出b等于近似于0.9循环5位数符合假设，以此推广任意位数的0.9循环的假定都能前后符合，则自然不可能等于1了。

其實之前我看老師講解0.9循環=1時 我問了老師 那為什麼10的指數圖形不會碰到0 他就當機了

非得把事情搞得那麼複雜~哈

這個我們小學英文補習班老師（外國的）是這樣教我們欸： 1/3=0.333... 1/3×3=1 所以0.9999...=1 （英文老師怎麼教數學了呢？）

π = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 1 + 1 = 2 And T/π = 2 T = 2π = 2 * 2 = 4 In 黎曼的球面幾何學：

5:04 的式子是不是多了一個 summation

認真請教這個問題的實質意義或對應用的影響

在數學上0.99循環實際不等於1.小於1. 在生活以及科技應用上.無論多少萬年後0.99循環還是等於1.

無限循環是計算產生的無理數，是不得已才拿來當答案的，正確解答應該是，該數學式無法計算沒有解答，但你又想有個接近答案，才搞出這有誤差的答案，這是有誤差，已經無法補償還原的數字。你拿他來計算答案絕對是錯誤的。例如10÷3是不能計算的，但你硬要給3.333……當答案。然後3.333……×3是9.999……。除乘逆算已經還原不回10了。這已經違反算數能逆算原則了。問題在你第一次答案就錯了，你是把錯的答案當對的答案，拿錯的答案繼續計算，只是繼續錯下去而已。無理數是有問題的東西，你拿來當接近答案，已經是很不好的事。你再拿來繼續計算，那根本是在自欺欺人。……是定義，是解不出題，賴皮搞出來的東西，你除法除不盡就定義ㄧ個以前沒有的符號……，你知道是什麼意思？就是無解當有解除理。

這個議題就是個定義問題

先考虑一个哲学问题，无限与有限可以画等号吗？再考虑一个数学问题，无限小数可以进行加，减，乘，除这些基本运算吗？再思考一个问题，这个世界是连续的还是离散的？

太麻煩了啦，給數學家一張紙跟一枝筆，用完了我可以再給他新的 讓數學家寫0.999999無限寫下去，看這張紙開頭會不會變成1就行了

誒酷欸說得很仔細ww

我以國中生的看法，雅桑說用切的，但切到1.616252×10−35 米 不就不能再切了嗎？

我們在算極限的時候 lim x->2 (x+2)(x-2)/(x-2) 這個x雖然可以帶入2 (先進行約分) 但是實際上x是不可以等於2 只是趨近於2 其實這中間也是有個無限小量 同理 我們可以用 極限算出 0.99999 = 1 其實0.999999 也只是趨近於1 而非等於1 這中間還是回到了無窮小量的問題

其实数学就是人类的一套逻辑工具, 这套逻辑工具从古人的实际应用需求而来, 本身存在先天的逻辑缺陷, 并不是完整严谨的体系, 后人做不到另起炉灶, 只能缝缝补补, 所以纠缠不清, 烦恼多多

感覺可以用折疊的方式把1和0.999…. 中間的數堆出來？

1-0.999循环=lim0.1^x x趋向于正无穷 这么解释可以吗？

我發現1÷1用直式寫，如果開頭寫0，就可以除出0.9999……

正確答案很難有完整說法，至少我知道1不小於0.9bar就好

請教0.999...是有理數還是無理數？是如何證明的呢？

戴德金分割的一个假设是，如果两个数之间相差一个无穷小量，则这两个数之间是无缝隙的，所以定义这两个数相等。这实际上是加（减）性相等，或者可以叫它算数相等。也就是说lim a_n和lim b_n是两个无穷小量，则lim (a_n - b_n)也是一个无穷小量，我们认为他们在加减运算中是"没有贡献"的。但是这个显然是不全的，因为除了加性，我们还可以由积性。所以我们定义了无穷小量的阶，从这个意义上来说，两个无穷小量是不相等的，或者说是几何不等。回过头来看这里的问题，0.9999...实际上是1-(1/10^n)的等比级数的方式趋近于1的。而1本身就是自己了，或者不太严谨的说，它是"绝对最快"趋近于1。从这个意义上讲，我们显然找到一个比0.999..更快收敛到1的方式，这个就是1和0.9999之间的几何缝隙。从这个意义上说，1就不等于0.999....了。

5:06的等式好像有問題，limit n趨近無限大的Σ(10^-k)，k從1開始至無限大 是為無窮等比級數 級數和 = a/(1-r) = (1/10)/(1-1/10) = (1/10)/(9/10) = 1/9 如此看到這個等式的第三個等號後面會是1-(1/9) 是等於8/9 不會等於1 正確做法應該是在第三個等號後面改為將9提出丟到 lim前面 變為9*limΣ(1/10^k) 運算後才會變為9*(1/9)=1 後面5:58的解釋方法也是跟上述一樣先將9提出的概念 不知道前面為甚麼寫成一個奇怪的(1-1/10^k)形式 而且還把1跟減號一起丟出去lim外面 更怪的是summation符號(或稱sigma)還憑空消失... 要說看不懂我還真的看不懂那邊在寫什麼

很想看明白，但不受控的眼皮沉重

别争论了。争论的人是没了解数学的本质。数学不是现实存在的科学。数学是人类基于自己的能力和开始思考时的起始点，发明的一种语言，用以描述这个世界。这种语言在相当程度上是有效的，但不容否认，数学有一定的自洽性问题，比如几次“数学危机”，再比如我们要去证明许多数学问题，这正说明了这种语言自身的问题。这个具体的问题形成争议的原因就是由这种语言与现实的差异和语言自身表达上的问题引起的。

十六進制：

很哲學的數學😇

如果我排队时和前面的人紧靠着，那我就是他，这就是戴德金分割

歐拉是狀聲詞 承太郎攻擊時會一直歐拉歐拉叫

他們討論的水準等級大概是 一點水加一點水 還是一滴水(質量有變化但不說) 有沒有lim 有沒有微積分概念 三種答案前言沒有說 當然怎麼講都沒道理阿 就像是一顆蘋果+一個柳丁不會變成兩個柳丁或兩個蘋果 還是一個蘋果一個柳丁 只是會變兩顆水果或兩種水果 不考慮單位做換算數學能力大概只停留在幼稚園

在實數線上的關係不一定要去找0.999...和1之間的x 只要去證明他們是隔壁的數就好了 中間那條縫aka無窮小量x根本沒有必要存在 1+1=2， 0.999...+0.999...=1.999...8 這兩個數完全就不相等

4:48 雖然我不是數學家，但這聽起來好複雜

桑雅的YT科普視頻，是我所觀賞過的YT 科普視頻中最 棒的❤

個人認為x = 0.9...9的無限循環，在乘10的時候，有個大膽的假設，就是乘了10的9.9....9中的無限位數，是否與0.9...9中的無限位數是否一致，這個問題聽落去很白痴，但是，在數學上，無限不等於無限，而且十位制數本就是人對0的假設，那麼0.9...9中，乘數是否能成立否？

所謂無限就是這個宇宙都塞不下，所以那些說0.999…無限循環等於1的人，我都建議你們把這個問題丟給電腦它幫你算是否等於，前提是不要給電腦輸入現有的數學算法，而是單純給電腦「無限」這個概念，我敢說哪怕量子計算機都算不出來，因為0.999…無限循環等於1這種算法就是人自己創出來的，客觀數學多少就是多少，哪怕你無限的某個數一樣就是無限，不會讓你進位，敢進位就不要說它是無限

反证法: 设0.9999……不等于1，也就是这两个数之间有一个无穷小的数。若此无穷小的数为 0.00000…………1，则矛盾出现了，既然这个0.00000…………1有尽头，则(1 - 0.00000…………1)同样有尽头，也就是0.9999……有尽头而不再是无限循环数(矛盾) ＞＞所以0.9999…………等于1 !!! 它们之间不能出现一个有尽 头的数，换言之，它们之间 根本就不能有任何数出现。

之前跟數學老師說那新增一個無限小的符號來修好數學的這個問題怎麼樣，他說我肯定去吸了強力膠

如果0.999無限循環=1的原因是中間沒有實數，同理1=1.0000無限循環，因為也同樣沒有實數，依以上的論點0.999無限循環=1=1.000無限循環，可是0.999無限循環跟1.000無限循環中間卻有一個實數是1，因此0.999無限循環不等於1.000無限循環，所以這個實數要不是數學家無法驗證，就是1的左右各有1/2的實數，至於答案是什麼，我也不知道。

如果是3的倍数进制呢？数学十进位本来就不合理

一覺醒來，我學廢啦，謝謝你，我昨天睡得很好

為了避免無窮小量被當作0放在分母不成立，看來只能在這裡胡亂創造一個「ﾚ=(1-0.9999....999),且ﾚ不等於0」的概念了，然後再胡亂編個ﾚ是計算過程中的消耗值。

世界上是有些事是存在但永遠找不到的，比如女朋友

想要戴德金分析證明！

這個1等於0.9999999...小學四年級的時候老師就講過了 但沒有深入講 只有淺談

那個平行宇宙好好玩

這是哲學問題了

在你14分40秒提到，有些東西存在，但我們無法證明它的寸在⋯講的好。 時間，跟我們確確實實相依，有誰能證明？ （我認爲時間是時空基礎，有人認為時空=時間）

根本沒那麼繞，數學就是工具，是工具就有誤差，有誤差就要彌補完善，在範圍內自洽即可。微積分其目的也就是要跳過極限的運算漏洞罷了，被省略的部分真的就是0? 在計算上只是趨近0而小到不計而已，但如果遇到「無限大*無限小」這種奇怪的無解問題，又要被拿出來槓了。

小学生比较年轻，大胆直说不怕错；数学家有研究经验，能说出创新的看法；高级数学家人生阅历丰富，比较滑头，不轻易定论，所以只能说不等于啦

5:05 第三個式子中的n打成k了

所以這只是定義的問題啊

我覺得根本的問題就是定義1/3=循環0.333… 在直覺上0.33333跟1/3不是一個東西 如果把1除以3 不管怎麼除都會剩下一個餘數 而這個餘數在0.333循環小數裡面是默認存在的 但大多數人不會發現這件事情 所以才會出現0.999…循環小數

所以無窮小量他的最後一位會是1還是0呢

雅桑牛ㄨ

雅桑可以給我怎麼做戴德金分割的證明嗎?