처음에는 팩토리얼이 어떤 종류의 지수다항식(이 표현이 맞을까요? 문과라서)로 수렴한다는 게 이해가 잘 안 됐는데, 생각해보니 어떤 식에 2를 곱한 것과 3을 곱한 것의 비율의 차는 크겠지만, 100000000을 곱한 것과 100000001을 곱한 것의 비율의 차는 크지 않을 테니 n!의 n이 커지면 커질수록 그 함수의 증가 비율은 로그스케일에서 n^n과 크게 다르지는 않겠네요.
오일러 공식을 이용해 로그 함수를 복소수 범위까지 확장할 수 있습니다. 예를 들어 log_(-2) (4) = ln(4)/ln(-2) 이고, e^2iπn=1 (n은 정수)이기에 n의 값에 따라 여러 결과값이 나올 수 있습니다. 즉, 2와 계산기로 나온 허수는 log_(-2) (4)가 가질 수 있는 무수히 많은 값의 일부입니다. (ln은 밑이 e(=2.718...)인 로그입니다)
두 값의 산술평균이라는 것은 두 값 사이 정확히 절반지점에 존재하겠죠 일단 하고싶은건 근사니까 최대한 오차를 줄이고 싶은데 아무데나 집어버리면 오차가 매우 작을수도 있지만 때론 매우 클수도 있기 때문에 그냥 산술평균으로 가정해버린것 같습니다 게다가 산술평균으로 가정하면 근삿값을 찾기 편리하기도 하구요 예를들어 ln(n!)의 정확한 값이 좌변(왼쪽식)에 가까운데 우리가 정한 근삿값은 우변(오른쪽식)에 가깝다면 두 값의 오차는 거의 우변-좌변의 값에 가까운 반면 산술평균으로 가정하면 아무리 오차가 커봤자 우변-좌변의 절반정도 밖에 안되니까요
궁금한게요 스털링공식을 통해 n!에 가까워지는 정도가 50번째 항에서 0.2%차이나는게 정말 수렴한다고 할수있나요? 물론 차이가 줄어들고 뒤에서 그래프 그리시면서 설명하신 부분을 통해 수렴한다고 저도 생각하는데, 계산기에 50!값이 65자리수를 가지는 숫자라고 나오는데 65자리수에서 0.2%차이는 2/1000라서 기껏해야 맨앞 4~5자리 만 동일하고 뒤에는 다르다는건데, 물론 n이 커짐에 따라 동일해지는 자리수가 늘어나지만, 전체 자리수에 일치하는 비율로 보자면 스털링 공식의 근사는 조금 느린거 같거든요. 제말은 수렴에도 지수차원의 차이가 존재할 것이고 수학에서 수렴차원의 정도를 구분한다거나 그러한 개념, 규격이 있나요? 제가 글을 잘 못써서 의미가 잘 전달될지 모르겠네요.
stirling formula 를 f(n) 이라 하겠습니다. 조금 더 정확하게는 e^(1/(12n+1)) < n!/f(n) < e^(1/12n) 이 성립합니다. 가운데 있는 n!/f(n) 이 오차율에 해당하겠죠. n이 커질수록 부등식의 좌우측 두 값은 1로 수렴하게 되므로, 점점 0에 가까워 지는 것은 사실입니다.
선생님, binomial distribution에 대해서 좀 설명 해 주실 수 있으실까요? 예를들어, 한 주머니에 1부터 1000까지의 숫자 카드가 n 개수 많큼 들어 있을때 (무수히 많을 때), 몇 번을 뽑아야 90%, 95%, 혹은 100% 확률로 1부터 1000개 까지의 숫자를 적어도 한번씩은 모두 뽑을 수 있나요? 혹은 적어도 100번씩 뽑을 수 있을까요? 엑셀에서 binom.Dist 기능이 있는데 어떻게 사용하는지도 알려주시면 감사할 것 같아요. 이것 때문에 요즘 머리가 아프네요. ㅠㅠ
1부터 1000까지 n개가 있다는게 각각이 n개가 있다는 걸까요? 잘 기억도 안나지만 고딩때 배웠던 지식으로는 그정도로 큰 수는 정규분포로 근사해서 풀었던것 같아요 전체 1000n개에 1부터 1000까지 균등한 확률이라고 가정하면 1/1000이니까 대략 평균이 n이고 분산이 999n/1000인 정규분포가 나오지 않을까요 이걸 이제 표준화해서 구하면 나올것 같긴 합니다만 맞는지는 모르겠네요 좀 돼가지고 까먹었습니다^^; 이제 더 똑똑하신 분들이 알려주시겠죠ㅋㅋㅋ
binomial distribution은 사건이 binomial한 결과값을 갖는 경우, 그러니까 사건이 발생하거나 발생하지 않거나, 딱 2가지 경우의 결과만 존재할 때 시행횟수(n)에 따른 분포를 그린 것입니다. 반면 말씀하신 시행은 결과값이 1을 뽑을 경우, 2를 뽑을 경우, ... , 1000을 뽑을 경우 각각이 전부 중요한 사건들이므로 binomial이라고 할 수 없습니다. (만약 1을 뽑는다/1이 아닌 수를 뽑는다 라면 binomial이 맞습니다) 차라리 경우의 수를 세어서 확률을 계산하는 게 좋아보입니다. 시행횟수 n 에 대하여 n>=1000이면, 1000개의 카드를 복원추출하는 시행을 n번 했을 때 나올 수 있는 경우의 수= 1000Πn = 1000ⁿ (중복순열) 1000개의 카드를 복원추출 했을 때 각각의 카드를 적어도 하나씩 뽑는 경우의 수 = 1000 H (n-1000) ; 중복조합 = (n-1) C (n-1000) = (n-1) C 999 이므로 카드를 한장씩 뽑는 시행을 n번 했을 때, 모든 카드를 1개 이상씩 뽑을 확률은 (n-1) C 999 / 1000 Π n 이 되겠네요
