[Eng Sub] Imaginary Numbers are Matrices 

That is why I tend to think of complex numbers not as "numbers", but rather an algebraic system natural enough for mankind to discover easily. Just taking square roots leads you to it.

去年から私は日本語を勉強している それから私はあなたのvideoを見はじめました しかし私はまだよくない トルコ語videoよりこの数学videoの方がいいです （私の日本語は下手すみません）

パウリ行列ですね

行列って関数だよね？

I happen to be doing a research project this summer on quantum computing with some focus towards matrix mechanics. This video was very helpful, and I like the unique approach it has. Thank you for adding the subtitles too! :)

複素数って、なまじ "a + ib"と書くから「2乗して-1になる i なんてありえない！」と思われがちだけど、 それはあくまでイメージの問題で実際は、自然数→負の数（整数）、整数→分数（有理数）とやってる事は大差ない、 むしろ、有理数→実数の方が大きな飛躍なんですよね。

複素数を実数から構成するやり方、R[x]/(x^2+1)のやつが好き

シュレディンガー方程式を解くのに微分方程式（代数的）と行列を用いて解く方法があり、実質内容は同じだったと聞いたことがありますが、動画の内容となんとなく関係してる気がします

こういう、高校数学から大学数学へと「意味」を伸ばす動画が好きです（自分は高校数学を少し齧った程度だけど、数学の「深い意味」には興味があるから）。

前半見てる僕: ふーん知ってる知ってるw 後半見てる僕: んんん！？！？そうなのか！！！！

ギリギリ着いていける内容で、知らないことばっかだからすごく楽しい

As a student who is trying to pursue subjects in Algebra for her Masters and PhD, this is an incredibly well done explanation. We have done construction of the number fields and algebras using various algebraic methods, but this treatment of matrices is certainly super interesting, and viable to work with, explaining their free module nature with respect to field of real numbers. I honestly was expecting to see some discussion about the Lie Algebra and Lie Group SU(2), but that's fine. This is like, exactly what I look foward to do in future - teach, and teach well. I am super glad to see others put their creative minds to reach the same goal.

大阪公立大数学科の聖書として崇められている有限群の表現の2章多元環の表現の虚数から多元数を構成せよの問題で4元数になる過程が分からなかったから分かった。あの本は餅は餅屋(表現の研究は東大ではなく阪市大)というのを体現している。

四元数の積の結合法則とかは直接計算して証明するとめんどくさいけど、四元数を実行列や複素行列で表せれば行列の積の結合法則からそのまま証明できるの良いな

ここにいる人々は数学を分からないと言っていますが、僕は日本語のことをあまり分かりません。でも、聞き編のためにすごいですよね。英語の字幕なしでこの動画を分かれるようにもっと勉強するつもりですよ。この動画を作ってくれてありがとうございました！

the word "number" is misleading, isn't it. "Number" implies quantity. No wonder people are initially confused about the idea of a Complex Number. It's pretty hard to imagine (2 + i)apples. A Complex "Number" is more like a location in 2D Space than a number. A navigator's perspective is more useful than an accountant's perspective.

複素数⇔⇔線形代数学 凄い発見があったものだ

これを一般化していくとクリフォード代数になります 結合法則を満たすものを代数とよびますが、八元数は結合法則を満たさないので、実数・複素数・四元数はクリフォード代数の仲間なのに対し、八元数はクリフォード代数に含まれません クリフォード代数の仲間のうち重要なものとして時空代数というのがあって物理学で重要な役割を果たします これは他の例と同様に4次の複素正方行列で表せます

This channel is quickly becoming one of my favorites ❤

Wtf, I love math now. Not even joking, this is as engaging as a 3blue1brown video

really cool videos bro. do you know other japanese channels that make similar videos with english sub?

0 -1 1 0 の行列は、(x,y) に対して、 新しい軸 (0.1) (-1.0) を与えて、 それぞれ x倍、y倍して、という指示なので、 軸が反時計に90度回転する行列になりますよね(^^;

Thank you so much for the video and the english subtitle!

It seems that many structures in algebra are essentially the same

a＋biに対応する行列aE+bJの転置や行列式のさらに先の話： 固有値はa±biで、2つの（b≠0）固有値a＋bi, a－biへの固有空間への射影行列はそれぞれP1＝(E－iJ)/2, P2＝(E＋iJ)/2と書ける。 一般に2次行列Aのスペクトル分解がA=λ1P1＋λ2P2のとき、関数f(z)に対しf(A)=f(λ1)P1+f(λ2)P2と定義するのが自然（対角化すれば明白、特にf(z)が多項式のときはzをAに置き換えた行列多項式に一致する）なので、以上を代入して計算してみると……たとえば f(a＋bi)=a－biなら f(aE＋bJ)=aE－bJ、f(z)=|z| なら f(aE+bJ)=√(a^2+b^2) E、f(z)=e^zなら f(aE＋bJ)=(e^a)・{ (cosb)E+(sin b)J }、a+bi=re^(iθ)としてf(z)=log z（主値）なら f(aE＋bJ)=(log r)E＋θJ、などなどとなっています。

八元数が行列表現できないのは結合法則が成り立たないからですかね？

6:46 行列式が絶対値なのってこういうこと！？

物理をやっている立場からすると4元数はパウリ行列を使った方がわかりやすいなぁ。

SEGAの線形代数のPDFがダウンロードできて、四元数が特にオモロイ!

Wow, I heard a bit about quaternions while worked with 3D graphics, but with this video I finally understood them. Thanks for EN subtitles

四元数と行列って掛け算で交換すると符号が逆転したりするところがなんか似てるなーと思ってたらこういう関係があったんですねぇ。 8元数が行列で表せないってことは・・・。行列を拡張したテンソルでは表せるのでは？！ 今後に期待してます。テンソルよくわかってないですけどー。

Esse se tornou um dos meus vídeos favoritos da vida.

「正体」って何や？ 体同型ってだけの話やぞ。

Thank you very much. This is exactly what I need ☺️

8:41 ここに出てくる行列、少し違うけど割と量子力学で使うなあ

工学の分野ではi というかわりにj ということ、聞いたことがある

え、四元数と関係あるんかな。。。関係あるんや⁉️

One of the coolest proofs i encountered i believe was from naive Lie theory:exp([[0 -1][1 0]]x)=[[1 0][0 1]]cos(x)+[[0 -1][1 0]]sin(x)

ゆとり世代の私、当時の高校(理系)では行列を習って複素数平面は習っていなかったので、平面上の回転に関して虚数単位iが90度(π/2)の回転行列に対応するって初めて知ったときは不思議に感じたものです。 曲線の回転を扱うときに、どちらかは必要なんですよね。

多元数からスピン群へのお話も聞いてみたいです。

これ知らなかった

行列Jって可換性あるんですか？

縦続行列っぽいな

虚数を実数で表せるとは初耳でした。有難うございました。ところで、誰が思い付いたのですか？

四元数は掛け算の交換法則が一般に成り立たないから行列の要素にすると行列式が一意に定まらないっていうのが八元数が行列で表現できないことと関係あるのかな？ないかな？わからない。

This is fantastic! From complex numbers to Quaternions and Pauli matrices...would perhaps be even better with a connection to SU(2)!

大学の頃量子力学でパウリ行列習って、四元数と対応してることに気づいてめっちゃこのあたりの行列表現が好きでハマってた思い出

虚数単位iは90度回転させる作用を持っているから、単位行列の実数倍と90度の回転行列の実数倍を使って和を取れば、複素数を行列で表現できるなあ～と高校生の時に思った。 でも、2パラメータで済む複素数に対して4パラメータ使うので冗長だなと思って却下した記憶が。 2×2行列は座標ベクトル（x，y）に対しての平面操作を表せるので、複素数平面を再現できるよう。 ただ、行列は逆行列を取るのが面倒で、複素数はi^2＝-1を利用することで計算が楽なので、結局は回転と拡大縮小、平行移動だけなら（せん断変形や射影を扱わないなら）複素数がスマートなんですよね。 複素数・クォータニオンは絶対値（ノルム）で割れば、簡単に回転を表す単位複素数・単位クォータニオン（絶対値＝1）が作れますが、正規行列（共役行列の積が可換）である回転行列を作り出す（正規化する）のはちょっと面倒なんですよね。

なるほど！ 虚数単位が行列を使うと実数だけで表現できるっ！とは、…。 文系じじいには、新鮮でしたっ！ （で、でも四元数のあたりからは、あ、頭がつ、ついていけない……😭）

ド・モアブルとかオイラーの公式みたいに極座標っぽくするなら、単純に回転行列を絶対値倍すればいいだけだけど、これを四元数のあれでやるとどうなるんやろ？

That was cool! but i don't know what Quaternions or Octonions are..

somehow there being a maths channel with this way of conveying information isnt that surprising to me

行列の成分に四元数を使ったら八元数になりませんか？

Absolutely amazing video, thanks for the translation to English!!

A BREACH OF MATH KNOWLEDGE

興味深いなぁ。

Thank you for adding English subs!

そうだよ！ 凄くいいサムネだ！

八元数は八次正方行列で表現できますが…?

さては量子力学の運動量演算子と関係して…！？

十六元数は表現できそう

なるほど。。。勉強になりました。有難うございました。

座標平面に和と積を定義すると体になるからそれを複素数体とする方法も好き(ハミルトンによる構成) この動画の構成も見たことあるけど

This whole channel is fantastic, please continue to make more videos!

行列ってすっげ

行列なんてものは、抜け殻みたいなもの。虚数＝行列は間違い

へぇ～

三次元の表現の計算が行列になるのか。マトリックスを決めたら、論理回路で構成して、高速計算できるなあ

おもろかった❣️

単に1次元の数を2次元に拡張しただけって思えばなんも不思議じゃないのにね😂😂😂

ガロア理論の置換の操作も行列で表現出来る。 (x1,x2)に (0 1 1 0) をかけると(x2,x1)になる 行列は万能な表現

途中まで見て「行列の表現力は無限大！」って気分になったけど、八元数に砕かれた

行列は実数なのか？

最近の楽しみ