La quête mathématique de l'infiniment petit | Infini 7 

Ça sent la réponse ironique...

@@terencecoustillas9675 ??? Ben non justement. Sa chaine est top

Je travaille aussi avec la chaîne Wandida où on construit davantage les "bases" : ru-vid.com

Z I N C ù

Infamous Family La question de savoir s'il faut «penser des nombres qui vont au-delà de l'infini» n'est pas vraiment la bonne mathématiquement parlant, c'est une question de philosophie des maths à la limite. Le fait que la Mathématique contienne une formalisation de nombres au-delà de l'infini (et également d'ailleurs en passant de ce terme «au-delà»), n'est pas réfutable puisqu'il est démontré, et alors il s'agit, d retour dans le domaine philosophique, de savoir si l'on «accepte comme raisonnables» tous les axiomes utilisés, ou si l'on en vient à «accepter comme raisonnables» ces nouveaux nombres, à la lumière de leur construction rigoureuse... Mais il n'est plus question là de Vérité indiscutable et rigoureuse mais d'Opinions, puisque c'est un débat philosophique et non à propos d'une quelconque conjecture mathématique (tout étant parfaitement démontré)... :)

Oui ^^

Très bonne question ! J'y ai déjà répondu dans les commentaires de l'épisode 3 : ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-_AtkIpi6KP0.htmlstart=908 Tl;dr il y a une ambiguité dans la notation 0.999... en nombres hyperréels. Combien y a-t-il alors de 9 derrière la virgule ? Omega, Omega+1 ? Omega^omega ? S'il n'y en a qu'un nombre infini mais ordinal de 9, en effet 0.9999... = 1 ;)

Ben voyons, la seule vidéo que j'avais pas encore regardée. Il n'y avait qu'une chance infinitésimale pour que la réponse à ma question soit dans la seule vidéo non visionnée, non ? xD Merci pour ta réponse :)

C'est exactement là où je veux en venir avec ces vidéos sur l'infini ! Donc ça vient, ça vient ;)

Ça fait 5 ans que j'écris et compile des centaines de pages en LaTeX... Mais je ne connaissais toujours pas \varepsilon ! Merci pour l'astuce =D

Merci ! J'ai rajouté une annotation :p

Ahhhh enfin depuis 1 minutes j’essaye de mettre pause

Ce ne sont pas des infinitésimaux mais des différentielle, ce qui peut être vu comme un infinitésimal mais aussi comme un nombre quelconque et même comme une fonction :p Regarde sur wikipédia si tu veux plus d'info mais c'est pas facile à comprendre à n'importe quel niveau en math.

merci, du coup je me suis renseigné dessus :) c'est plus clair maintenant ^^

La définition des infinitesimaux a dû être revue, par exemple pour le calcul de la dérivée de x^2 on utilise le concept de fonction et de limite (son taux d'acroissement), pas juste de nombre infinitesimal

Disons que le calcul infinitésimal représente plusieurs choses, c'est-à-dire le fait de manipuler des quantités non nulles mais plus petites que tout. C'est en tout cas l'idée de départ, et c'est plus ou moins le cas selon les cadres dans lesquels on se place. Le calcul différentiel et intégral est différent : il se base sur le calcul infinitésimal pour étudier certaines fonctions, pour définir la notion de dérivée et la notion d'intégrale. On peut donc voir le calcul infinitésimal comme l'outil de base pour le calcul différentiel. Le calcul infinitésimal est en somme une façon de dire "voici comme manipuler des infinitésimaux, des quantités infiniments petites", le calcul différentiel est une façon de dire "munit de vos infinitésimaux, on peut définir la notion de dérivée et d'intégration". Maintenant, le calcul infinitésimal peut prendre plusieurs formes : le cadre classique refuse l'existence de nombres infinitésimaux, et contourne donc le problème avec les limites, en se demandant quel va être le comportement de telle fonction quand telle quantité se rapproche de plus en plus de 0, donc devient de plus en plus un infinitésimal. L'analyse non standard elle postule l'existence d'infiniment petits, qui existent factuellement dans ce monde. Dans les deux cas, le calcul différentiel donne les mêmes résultats !

@@DanielBWilliams Merci!

ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-c3ZxJmPCL2g.html 💐👍

y(x+dx), c'est, par définition de y, (x+dx)². Là, on applique juste l'identité remarquable pour avoir x²+2xdx + dx².

Un segment de droite n'est pas un ensemble de points ...

Il faut le voir comme une fonction : on a une fonction f : x -> x². Au point x, la fonction vaut x²=y. Mais si je calcule un petit peu à côté, en x+dx, j'obtiens f(x+dx) = (x+dx)². Mais cela revient à dire que le résultat est presque égal à y, avec un petit décalage dy. D'où le y + dy = (x+dx)²

Ah d'accord, merci!

+brusico02 cela m'étonne pas mal car il sort d'où la "petite quantité dy" ? Il y a là dedans des manipulations sans doute complexe car normalement (x+dx)² = x² + 2dx² +dx ² = y + 2dy + d²y et ton analogie ne fait pas assez sens pour moi (en somme je ne comprend pas)

@@eniotnayssaneb3442 Cherche sur google : accroissements limités .

@@vitakyo982 en fait c'est la transition qui est bizarre, car sinon oui l'accroissement en y sera bien (x+dx) ^2- x^2, c'est à dire y calculé pour une valeur x + dx moins y calculé en x Mais les deux manipulations d'avant sont étrange surtout l'intermédiaire

En début de 3ème ? T'inquiètes pas tu as le temps ! C'est typiquement une définition de niveau BAC+1 ! Mais si tu veux te lancer dans la définition de la limite, voici une vidéo qui l'explique très bien : ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-R-ONvxzxhBg.html

merci je tadore 😉

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C'est corrigé au montage, mais il y a toujours l'annotation :).

Slt jsp si tu as trouvé ta réponse, je vais essayer de t'aider comme je peux mdr. En gros c'est un cours primaire sur les dérivées au lycée; dérivée = dy/dx Par dérivée on cherche à connaître le coefficient directeur d'une courbe en un point donné x (abscisse). C'est en fait le rapport de variation entre y en fction de x et x. c'est un rappel que tu sais déjà mais c'est important de le rappeler. Maintenant tu remplis les cases, on a donc: dy = y final - y initial = y(x+dx) - y dx = dx (x final - x initial théoriquement mais en pratique on garde la valeur simplement dx aucun développement à faire*) Ensuite tu développe cela et pour l'exemple donné dans la vidéo avec y=x^2 tu obtiens dérivée de y(x) = x^2 => y'(x)=2x comme dans la liste des dérivées des fonctions usuelles vu au lycée. *Dans le contexte du calcul infinitésimal on prends dx tend vers 0 justement(d'où l'infiniment petit). Tout cela pour trouver l'équation de la tangente sur la courbe d'une fonction non-affine et qui connaît donc des disparités dans ses variations. on cherche donc ce rapport de variation sur de très petites parcelles de la courbe (voila pk dx tend vers 0 puisque on observe les plus minimes des variations sur x).

@@FighterMan06 Slt, je reviens sur un vieux sujet mais je ne comprend pas le passages intermédiaires y+dy-y = y(x+dx)-y , ou du moins la partie y+dy = y(x+dx) , avec y=x² on ne devrait pas avoir y(x+dx)= x^3+x²dx ? qui est diffèrent de y+dy=(x+dx²), merci

Les deux sans doute. Puisque les lois des mathématiques sont déjà présentes dans notre univers. Cependant, je pense qu'il existe plusieurs manières de les comprendre et mais aucune compréhension n'est parfaite et que peut-être il existe une autre vision des mathématiques. Prenons un bête exemple, pourquoi avons nous 10 chiffres et pas plus ou moins ? L'explication la plus plausible est que nous avons 10 doigts.

D'autres civilisations comptaient avec des bases différentes. Il me semble même que certains utilisaient une base de 60 ! Et puis même maintenant on utilise tous le binaire, même ceux qui ne savent pas ce que c'est. Le binaire n'est rien d'autre qu'une base de 2.

+44DexterMorgan Les civilisations sumero-babyloniennes utilisaient en effet la base 60, on la retrouve effectivement dans le décompte des heures et des minutes. Les celtes, eux comptaient en base 20, d'où notre quatre-vingts (4x20 au lieu d'un 8x10 octante)

The Squidoss Merci pour les précisions ;)

+44DexterMorgan De rien ! Ça me donne l'impression d'être plus intelligent en écrivant ce commentaire ^^

Uniquement si |n| < 1.

Ok

Sinon ça diverge.

ad cz verge

dy c'est la différence entre f(x+dx) et f(x). On va donc calculer f(x+dx)-f(x). Ici, f c'est la fonction carrée. Donc dy=(x+dx)²-x².

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Oui ! Merci ! Je ne sais pas du tout comment j'en suis arrivé aux dates que j'ai données...

Première chose à dire : la démonstration 2:38 n'a rien d'une preuve "standard". IL NE FAUT PAS LA FAIRE EN MATHS À L'ÉCOLE ! Ceci étant, l'idée de Leibniz, c'est que y+dy est la nouvelle valeur de y quand on remplace x par x+dx.

Bon ce que je comprends c'est qu'il ne faut pas le faire à l'école c'est noté xd sinon je profite de l'occasion pour te dire que ta chaîne est géniale, tes vidéos sont géniales et tes thèmes aussi sont géniaux ! Je suis la chaîne depuis qu'elle compte moins de 800 abo et maintenant on a dépassé le cap des 10 000 ! Surtout continue comme ça j'adore ce que tu fais (même si parfois c'est hard bah oui tout le monde n'est pas en classe prépa ;) ).

Si, c'est bel et bien une extension. Il n'existe pas de réel strictement positif et plus petit que tout autre réel strictement positif.

@@DanielBWilliams If you are interested to learn more about divergent series and want to understand why and how 1+2+3+4+5+6+... = -1/12, I recommend the online course “Introduction to Divergent Series of Integers” on the Thinkific online learning platform.

ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-c3ZxJmPCL2g.html 💐👍

IronUnit13 infinitésimal/ infinitésimaux

Parce que on te le dit .

Et par extension, une somme infinie de limites qui tendent vers 0, ça vaut 0, ou l’infini ?

Je ne comprends pas votre question. Qu'appellez-vous la limite de 0 qui tend vers quelque chose ?

Ah mdrr

Parce que tu dois être en mesure d'expliquer pourquoi le dx se barre comme ça :D

En fait, il se barre tout seul en faisant tendre dx vers 0. Mais ce n'est pas correct au niveau des définitions. Mais j'ai des bouquins de maths de collège d'il y a cinquante ans utilisait cette démo pour faire comprendre la dérivée, donc bon, je pardonne.

brusicor02 Donc ce n'est pas correct au niveau des définitions, d'où le fait qu'il ne faut pas le faire à l'école.

C'est le raisonnement et la manière de démontrer qui n'est pas à reproduire à l'école, mais le résultat est évidemment tout à fait correct. Personnellement j'aurais préféré qu'il se contente de retirer le (dx)² qui est clairement négligeable plutôt que de tout diviser par dx l'étape avant. Ça me paraît déjà moins farfelu.