Gentile professore studiando la teoria, ho letto che con il metodo delle restrizioni, pur avendo diversi casi in cui in un punto la funzione ha lo stesso comportamento (cioè il punto è sempre di minimo o di massimo) nulla posso affermare sulla natura del punto stesso. Ovvero noi possiamo usare il metodo delle restrizioni solo per trovare che il punto è un punto sella. Perchè qui possiamo affermare che invece il punto è di minimo locale?
Professore ma come faccio a sapere quando mi devo fermare con le restrizioni? Chi mi dice che un punto non sia di sella perchè magari provando con altre restrizioni mi esce negativo nell'intorno(e non positivo come nel metodo delle rette)?
Buonasera professore, mi sono un pò confuso perchè credevo che con il metodo delle rette si potesse provare solo l'esistenza dei punti di sella. Mi spiego meglio: provare che nell'intorno del punto c'è una variazione di segno o che il punto risulti di Max per una retta e di min per un'altra dimostra l'esistenza di un punto di sella. Invece (da come credevo io) provare con più rette che il punto fosse di Max (o di min) fosse una condizione necessaria ma non sufficiente per affermare che il punto è un estremo (un pò come per l'esistenza dei limiti in 2 variabili). Grazie per la disponibilità.
TheMoro47 Il discorso può variare da caso a caso , è evidente e ovvio direi in questo caso specifico che da qualunque parte uno provenga nell'intorno di quel punto incriminato ci può essere sempre e solo un segno quello positivo e il punto non può che essere di minimo , il metodo non riguarda in generale quello delle rette ma semplicemente la teoria ci parla del segno che la funzione assume nell'intorno di quel punto e nel nostro caso assume sempre e solo quello positivo .
Marcello Dario Cerroni la ringrazio molto per il chiarimento e più in generale per tutto il lavoro che svolge per dare una mano agli studenti, colgo l'occasione per chiederle per quale motivo nei video successivi a questo, quando andiamo a studiare il segno delle restrizioni, non studiamo il segno delle loro derivate prime?
+Marcello Dario Cerroni Salve, la ringrazio per gli esercizi che ha messo. Le volevo far notare che, se affronta l'esercizio precedente (43) con questo metodo, la funzione sembra non variare ma il punto è di sella. Sul mio libro di testo c'è scritto che la restrizione è esclusivamente utilizzata per i punti di sella. Cosa cambia rispetto all'esercizio numero 43? Sono impazzito e non capisco dove sbaglio
La conclusione che l'origine sia un punto di minimo è esatta ma vi si deve giungere attraverso considerazioni sul segno della funzione nel suo dominio: Si può dimostrare infatti con una certa facilità che la funzione data è non negativa in tutto il suo dominio e si annulla nell'origine. Pertanto è da questo che va concluso che il punto (0;0) è un punto di minimo relativo, anzi assoluto. È l'aver omesso questa importante considerazione che ha ingenerato confusione.
Marcello Dario Cerroni Salve professore. Perchè quando restringiamo la funzione alle due bisettrici,prima di studiarne il segno, calcoliamo la derivata prima?
+Alpha Jh non puoi poichè ho commesso io un errore , è corretto come scrivi tu , per fortuna l'errore non incide nel futuro dell'esercizio , ti ringrazio per averlo segnalato .
+francesco caccavale Francesco ti ringrazio per la fiducia che riponi in me e per la tua domanda : se posso essere sincero un testo contenente esercizi chiari e spiegati nel dettaglio su questo argomento non esiste , o meglio qualcuno esiste ed è infatti consigliato in molti corsi di laurea come per esempio il testo di esercitazioni dei noti autori Marcellini Sbordone , questo come gli altri noti purtroppo possiede una sola pecca , è perfetto da un punto di vista teorico e della forma , ma per quanto riguarda la spiegazione degli esercizi che servono agli studenti è leggermente carente . Per questo motivo ti sarai forse accorto che nel nuovo sito ho già messo a disposizione dei testi di soli esercizi facilmente scaricabili , ancora non c'è quello riguardante questo argomento ma spero in futuro di mettere a disposizione anche quello . Altrimenti l'unica altra alternativa ( gratuita ) è dare un' occhiata a questo canale oppure ( e in quel caso ce ne sono parecchie se uno ha un po di pazienza di cercare ) alle Home page di Docenti universitari che mettono a disposizione del materiale didattico . Credo sappia di cosa sto parlando , ti saluto e ti auguro un buon fine settimana .
Gentile ing. Cerroni, in questo video ha dimostrato che per tutte le direzioni che ha scelto il punto era effettivamente di minimo, ma non è sufficiente per dire che è effettivamente un minimo. Come si potrebbe mostrare che efettivamente l'origine è un minimo? Grazie
TheManbruck Cercherò di spiegarmi ancora una volta a riguardo : Il teorema a riguardo afferma che nel caso in cui si verifichi l'eventualità dell'Hessiano nullo OCCORRE STUDIARE IL COMPORTAMENTO DELLA FUNZIONE IN UN INTORNO DEL PUNTO O DEI PUNTI INCRIMINATI ( nel nostro caso il punto è l'origine ) . Proseguendo il teorema afferma che se risulta f ( P ) = f ( Po) diremo che il punto è di minimo proprio , e caro amico è proprio quello che ho verificato io ; credo che tu faccia un pò di confusione con qualche altro metodo di cui qualche altro sito parla , ma di cui io non faccio menzione in questo caso . Spero di essermi spiegato .
Salve, ing. Cerroni. Anche io risulto scettico in questo caso sulle conclusioni da lei fatte. Per dimostrare che quello è un punto estremante, lei dovrebbe dimostrarlo per tutte le rette che passano per quel punto al variare del coefficiente angolare, non basta dimostrarlo solo per le bisettrici e per gli assi. Cioè lei non ha considerato l’eventualità che quel punto possa non essere estremante per una retta “ non notevole”, mi passi il termine. Al contrario per dimostrare il fatto che quello non sia un punto estremante, basterebbe le basterebbero due sole direzioni lungo le quali ottiene risultati discordanti.
Professore, volevo chiederle: in questo video con tutte le restrizioni che lei ha provato esce un minimo nel punto 0. Ma se nel caso mi venisse un minimo in un altro punto, esempio provo con un'altra restrizione e mi viene che c'è un minimo in -1, posso affermare sempre che il punto P(0,0) è un minimo relativo? o sarà un punto di sella?
E' la prima volta che sento parlare di questo metodo delle rette. Senza dubbio é interessante, ne hai parlato in dettaglio in un altro video ? In particolare vorrei sapere se ha qualche restrizione, cioé se può essere utilizzato anche su funzioni di tipo non polinomiale. Saluti e complimenti per quello che fai con questo canale
Si certamente , sono restrizioni che servono a semplificarci il calcolo e lo studio della funzione nell'intorno del punto interessato ,Esistono svariati metodi per esaminare la natura di tali , quando ci capita la situazione dell'Hessiano nullo . Ogni giorno pubblicherò video riguardanti tale caso ancora per 2 settiimane circa .
Professore volevo chiederle il metodo in questione funziona in quanto le 2 bisettrici hanno intersezione i (0;0)? E poi é necessario fare la prova anche con gli assi coordinati o già l'argomentazione con le bisettrici é sufficiente a dimostrare che (0;0) é di minimo? Se invece vorremo ricorrere alla definizione di estremo locale e quindi studiare il segno di f(x;y)-f(0;0) in un intorno dell'origine(senza passare per le derivate) come potremmo procedere?Grazie
è proprio così Mario , potrebbe anche andare bene in corrispondenza delle 2 bisettrici ma certamente lo studio lungo gli assi serve a confermare ancora di più la nostra tesi ; anche perchè ricorda che stiamo studiando il comportamente della f nell'intorno dell'origine . Utilizzando l'altro metodo a cui fai riferimento , come peraltro ho sottolineato nel video , si potrebbe giungere più facilmente ad equivoci e possibili errori . In questo caso infatti come puoi notare facilmente il metodo adottato offre una maggiore chiarezza e ci consente di arrivare al nostro obiettivo , ossia lo studio corretto della natura di tale punto .
infatti ho provato a determinare il segno della funzione.nel 1 e 3 quadrante facilmente si vede come f sia positiva.il problema sorge nel 3 e 4 quadrante dove non riesco a determinare il segno.Inoltre se provo con varie rette non posso mai stabilire che nell'intorno dell'origine la f -f(0) assume segno costante in quanto dovrei fare infinite prove.una domanda potrebbe capitare ad esempio che f(x,x) derivando mi dia un minimo,f(-x,x) mi dia minimo e quindi (0;0) è minimo e poi faccio lo stesso ragionamento con f(0,y) e ottengo un massimo e f(x,0) e ottengo (0;0)massimo?cioe anche ricorrendo al metodo da lei illustrato potrebbe capitare che per gli assi (0;0) sia minimo e per le bisettrici sia max ovvero dovrei anche li fare infinite prove?
Con l'altro metodo è in effetti complicato determinare la natura dell'origine , quest'ultimo metodo invece ci permette in maniera abbastanza accurata , visto che potresti anche provare con un'altra restrizione ( ad esempio considerare la parabola avente vertice nell'origine e avresti sempre e comunque un unico minimo lungo essa .Se poi come mi sembra di avere capito da ciò che scrivi ti capitasse una situazione di minimo lungo gli assi e massimo per esempio lungo le bisettrici , allora avresti il caso di una sella .
quindi questo metodo ci permette di determinare ad esempio basandoci su alcuni casi con molta certezza la natura del punto.Però potrebbe capitare di tralasciare qualche caso e andare in errore.cioe intendo dire che secondo me questo metodo va bene per i punti di sella mentre per il minimi e massimo ci permette di dire al 90% la loro natura è così da quanto ho capito?
Bisogna sempre vedere di che esercizio stiamo parlando e dove si trova il nostro punto stazionario , a volte può andare molto bene anche per massimi e minimi , naturalmente il tutto dipende dalla tipologia dell'applicazione assegnata in sede d'esame .
