@@shift4156 son explication est 1 peu comparable, mais intuitive et approximative : Appelons N=123 333 333. Si N est divisible par 3 et pas par 9, ça veut dire qu'il s'écrit : 3*x avec x non divisible par 3. Inversement, si c'est un carré, il s'écrira A*A. Puisque N est divisible par 3, A = 3 * quelque chose, soit A= 3*B, et A* A = 9 * B*B. Or il n'est pas divisible par 9 donc ça coince.
@@sebastien5048 C'est effectivement plus convaincant, mais ce qui est proposé en vidéo a le mérite de pouvoir être repris pour tous les nombres ayant un nombre impair de 9 (999 ; 99 999 ; 9 999 999 ; ...).
Très bel exercice. Personnellement, pour la e, je l'ai faite avec la propriété des nombres pairs/impairs. On a que des propositions impairs donc la racine est impaire, donc de la forme 2p+1. Ainsi notre nombre élevé au carré est de la forme 4p^2+4p+1. On a donc p^2+p=246913580. On cherche p en posant delta sachant que delta est notre nombre de départ (b-4ac=1+4*246913580). Ainsi on a p=(-1±sqrt(246913580))/2 P=-1/2 ±sqrt(61728395) Or p doit être entier. On sait qu'un carré finissant par 5 doit finir par 25 ce qui n'est pas le cas. La racine ne sera donc pas un nombre entier et elle ne peut pas finir par ",5" car le carré ne pourrait pas être entier non plus. Donc p ne peut pas être un entier.
Le raisonnement est pas mal mais déjà faut pas oublier que ça doit être fait sans calculatrice. Et à le fin tu dis que p =( -1+/- sqrt(246913580))/2 or ton delta (qui n'est d'ailleurs pas le nombre de départ) est égal à 1+4×246913580 pas "juste à 246913580 comme tu l'écris dans ton calcul donc delta = 1+987654320. Soit P=(-1+/-sqrt(1+987654320))/2 soit (-1+sqrt(987654321))/2 Et donc tu tournes en rond parceque maintenant pour savoir si 987654321 est un carré parfait tu dois savoir si 987654321 est un carré parfait pour pouvoir calculer le delta. Le nombre de départ que tu cherches est bien 2p +1 et comme p=(-1+sqrt(987654321))/2, le nombre de départ c'est juste sqrt(987654321), on tourne encore en rond 😅. Enfin avoir une indication sur p on s'en fiche un peu, c'est sur 2p+1 qu'il faut vérifier les propriétés mais bon tous les cas rien de rout cela n'est faisable sans calculatrice et dans un temps raisonnable pendant un qcm
@@Unydric je l'ai fait trop vite en effet, on tourne en rond. J'ai oublié un facteur 4, ça ne fonctionne pas, c'est ça de ne pas avoir de papier à côté de soit. Les divisions par 2 se font de tête, tu prends le dernier chiffre et tu vois si tu le divise par 2 ou si tu cherches quel chiffre multiplié par 2 donnera le chiffre recherché +10. Tu fais ce choix en fonction de si le chiffre directement à gauche est pair ou impair. Un peu foireux à expliquer mais simple à mettre en pratique. C'est juste une division euclidienne en soit, par 2 ça se fait bien de tête. 208 : 8=>4, 0=>0, 2=>1 : 104 7316 : on a 1 directement à gauche donc on cherche 16 =>"8", on retiens à gauche 1-1=0(la retenue). On a 3 directement à côté du 0 donc on cherche 10 => "5", 3-1=2, à gauche on a 7 donc on cherche 12=>"6" et enfin 7-1=6=>"3": 3658. Enfin, on perd effectivement un peu l'intérêt de l'exercice
Mais pour le b, aucun entier au carré ne se termine pas 3 non ? Pourquoi toute cette enquête ? Et petite astuce pour le critère de divisibilité par 3, c'est plus simple de faire encore une étape (2+4=6, 6 est multiple de 3).
Pour le point (e) les carrés qui donnent une suite décroissante de chiffres en représentation décimale sont des palindromes : cette suite décroissante se trouve à droite et à gauche d'un chiffre central. Par exemple 11²=121, 111²=12321, 1111²=1234321, 11111²=123454321. Ils sont donc faciles à exprimer et il suffit de compter le nombre de 1 qui compose ce nombre pour exprimer son carré. Si on compte 6 fois le 1 son carré sera exprimé en faisant croître les chiffres de 1 à 6 puis décroître après le 6 de 5 à 1. 111111²=12345654321 Ceci se vérifie jusqu'à l'ordre 9. Après...
sauf que 987654321 c'est 3²x17²x379721 démontrer que 987654321 n'est pas un carré parfait c'est démontrer que 379721 n'est pas un carré parfait c'est en fait un nombre premier, mais pas facile à démontrer. on peut donc employer la méthode bourrin et déduire que ce n'est pas e) la solution au QCM et passer à la question suivante
Pour le e) J'ai juste remarqué que pour le c) (la bonne réponse) on peut le décomposer en "carré parfait", en gros en produit de facteurs premier mais qui donnent que des carrés 649485225= 3x3x5x5x1699x1699 donc 3^2x5^2x1699^2 Et comme ça marche pas pour les autres bah le e c'est pas lui, après je sais pas si ce que j'ai fait marche par chance ou c'est vraiment un truc qu'on peut généraliser.
Vous pouvez tout a fait généraliser car le produit des carrés est égal au carré des produits. Par contre comment avez vous fait cette décomposition de tête ?
une décomposition en produits de facteurs premiers dont les termes sont tous au carré donne nécessairement un carré parfait (donc ce n'est pas de la chance)
Pour la b il suffit simplement de dire que tous les carrés parfait finissent par 0, 1, 4, 9, 6, ou 5 Donc les nombre finissant en 2 3 7 et 8 ne peuvent pas être des carrés parfaits
Pas forcément obligé d'éliminer la E. il suffit soit de prouver la C, soit de l'éliminer. Ce qui peut se montrer laborieux également (même si on a vu que c'était un multiple de 25 * 9, et de.... 1699^2) Mais s'il faut réfléchir vite et qu'il y'a 200 questions, ça me paraît pas être un choix totalement déconnant de tenter 😂
Pour le dernier, intrigué, j'ai constaté, sauf erreur qu'un nombre de 2 à 9 chiffres composé de chiffres consécutifs, croissants ou décroissants n'est jamais un carré parfait. Hasard, théorème, conjecture?
Par élimination, ce n'est pas la a car 99 999 999 c'est 100 000 000 - 1, soit 10⁸ - 1 = (10⁴)² - 1. Ensuite, la b est incorrecte car aucun nombre, au carré, donne 3. Après pour le d, c'est faux aussi, car il termine par 5. Donc il ne peut être que le carré d'un nombre multiple de 5. Or, il est très grand, donc il contient au moins 5², soit 25. Or, un nombre est divisible par 25 ssi ses deux derniers chiffres sont divisibles par 25 (démonstration possible grâce aux congruences). Ses deux derniers chiffres sont 3 et 5. Or 35 n'est pas divisible par 25. Donc ça n'est pas un multiple de 25, donc pas un carré parfait. Pour le choix entre la c et la e, j'attends de voir la vidéo, mais mon choix porterai plus sur la c du fait qu'elle termine par 225, qui est 15²
11111 est-il le seul nombre de 5 chiffres dont le carré se termine par 54321? (il faudrait le démontrer pour que cette preuve marche. ça n'a pas l'air si simple.)
j'ai une question, je n'ai pas compris pourquoi la réponse a est évincée. Dans la video il est dit parce que 9 est multiplié par 11 111 111, mais n'y aurait-il pas d'autres opérations pour obtenir le résultat? Intuitivement j'aurai pensé que 9 est carré de 3 et que peut être un carré d'une série de 3 pourrait donner du 9 ^^
Je remarque qu'excepté pour 0 et 4, la parité des deux derniers nombres est toujours différentes : (21, 41, ... 26, 46, ... 19, 39...) paire 1, impaire 6, paire 9 et comme mentionné 25. on peut d'office éliminer a, b et d Après j'ai une belle feuille excel à ma disposition, je ne pense pas que j'aurais su sans elle.
Bonjour, concernant la solution e, comme 20X20 = 400 le nombre de rang inférieur qui serait candidat est 19X19 = 361 ; de la même façon qu'on sait que le carré d'un nombre finissant par 5 se termine par 25, le carré d'un nombre finissant par 1 ou par 9 se termina par 1. Or, 11 et 19 ne sont pas candidats.
Les nombres qui finissent par 2, 3, 7 et 8 ne peuvent pas être des carrés parfaits. Seuls les nombres finnisant par: - 00 - 01, 21, 41, 61 et 81 - 04, 24, 44, 64 et 84 - 25 - 16, 36, 56, 76 et 96 - 09, 29, 49, 69, 89 Peuvent être des carrés parfaits. Remarquons que l’avant dernier chiffre est pair sauf si le nombre finit par 6
A vue de nez, il existe surement une batterie de tests pour savoir si un nombre est un carré. Mais c'est évident que des nombres résisteront aux tests. Alors on sait qu'un nombre peut être un carré, mais dans les nombres astronomique un test négatif ne donnerais pas de certitude disons. Sujet interessant, dites si je me trompe.
Pour ceux qui se posent la question, la racine carrée de 649 485 225 est 25 485. Aucun intérêt je sais mais bon, fallait bien que je dise quelque chose ;)
Justement les nombres sont longs et la calculatrice interdite. C’est pour ça que cette méthode « évidente » est peu pertinente : extraire les racines carrées à la main prendrait trop de temps (et il faut se souvenir que dans ce genre de test il y a beaucoup de questions et peu de temps total pour répondre).
Je sais pas si y'a grand-chose d'intéressant à faire avec la partie entière, une fois qu'on a dit "tu prends un nombre, t'oublies tout ce qu'il y a après la virgule et voilà la partie entière de ce nombre", c'est bon t'as fait le tour
j'avais éliminé le truc qui finit en 3 en premier, parce que t'as aucun carré qui finit en 3, meme raisonnement que pour le 25. Pour le coup de la racine, il faut ajouter "autre chose" en dernier choix, pour forcer la vérification.
987654321 est divisible par 9 (facile à voir) et le dividende est lui divisible 2x par 17, qui l'eut cru. Donc il y a le carré de 17*3 à l'intérieur à savoir 51² = 2601. Après le dividende de la division par 2601 c'est 379.721 et là, c'est difficile de voir s'il y a le carré d'un nombre premier dedans, mais ce n'est déjà plus divisible par 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17 et donc par conséquent divisible par 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289. Quand on prend la calculatrice et que l'on fait la racine carrée de 379.721 ça donne environ 616, donc il aurait fallu tester tous les nombres premiers jusque là. Ça fait beaucoup.
Donc la racine de 2 * réponse c ça ferais quel forme géométrique ? La question c'est quesk est le petit carré qui est devenu grand sans laissé de petit "reste" de petit carré de 1.
Pour la e). Pour que le résultat du carré parfait se termine par 1 c'est que le carré parfait a pour unité 1 ou 9. 9 est éliminé car ne donnera pas 21 ( 19x19 = 400-40+1 = 361 ( en developpant (x-1)^2 )). Pour que le résultat se termine par 21, il faut que la dizaine du carré parfait soit 1. Grrr .... il y a aussi 6 comme dizaine ! ^^ ... Quelle horreur cet exercice ! ^^ ... Bon bah j'ai pas ^^ ....
Effectivement, on élimine très rapidement a) b) d). Je n'ai pas trouvé de méthode vraiment rapide et efficace pour démontrer que e) n'était pas un carré (ça paraîtrait étonnant, certes, mais who knows…) Par contre, avec un peu d'expérience et de pratique du calcul mental-écrit, on trouve en moins de 2' que c) l'est. On divise 649.485.225 par 25 (on multiplie par 4, on divise par 100), on trouve 25.979.409 qui est multiple de 9 ; donc on divise par 9 ce qui donne 2.886.601, très proche de 2.890.000 qui est le carré de 1700. Comme le nombre se termine par 1 il doit être le carré d'un nombre qui se termine par 1 ou 9. Et il est (relativement) facile de voir que 2.886.601 = 2.890.000 - 3400 +1 soit le carré de 1700-1 = 1699 (qui, à vue de nez est premier). c) est donc le carré de 3x5x1699
C'est un peu une erreur d'éliminer 99 999 999 que parce que 11 111 111 n'est pas un carré parfait. Il y aurait pu avoir un carré parfait avec 7 comme unité.
Pour 99.999.999, le truc c'est, si tu divises par 9 comme tu l'as fait dans la vidéo, on obtient 9 x 11.111.111, et donc pour que ce soit un carré parfait, il faudrait qu'il y ait du 9 dans 11.111.111 or ce nombre n'est pas divisible par 9 puisque la somme de ses chiffres donne 8.
le e) divisible par 9, mais alors la décimale est 8: impossible pour un carré (1x1:1, 2x2:4, 3x3:9, 4x4:16, 5x5: 25, 6x6: 36, 7x7: 49, 8x8: 64, 9x9: 81... pas de 8 en décimale
Pour la e : je ne vois pas de méthode sans utilisation d'une feuille de brouillon pour poser les multiplications et les divisions. Un carré parfait est forcément le produit de nombres premiers au carré Les nombres premiers carrés sont 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361 987654321 / 9 = 109739369 (n'est divisible ni pas 4, ni par 9, ni par 25) 109739369 / 289 = 379721 (qui est un nombre plus manipulable) On sait que 600*600 = 360000 Il ne faut que quelques multiplications pour voir que 379721 est entre 616*616 et 617*617 (j'ai essayé 610, 620, 615, 616, 617, soit 5 opérations) Il n'y a donc pas de solution entière.
Le e) pour ce terminer en 21, il faut que le carré se termine en 11, mais pour que ça se termine en 321, ça ne peut pas être 111,pas être 211, pas être 311, pas être 411,etc
"pour se terminer en 21, il faut que le carré se termine en 11" : je suppose que vous voulez dire "pour qu'un carré se termine en 21, il faut que le nombre se termine par 11", mais il peut aussi se terminer par 39, 61, ou 89...
@@christianf9865 dans ma première pensé je pensais que ces chiffres était exclu car cela ferait plus que 321 mais cela n exclut pas en effet un chiffre plus grand qui résulte en une retenue pour le 3. J avais donc été trop vite.
a : 99 999 999 = 100 000 000 - 1 = 10 000² - 1 donc pas carré b : divisible par 3 mais pas par 9 -> pas carré d : divisible par 5 mais pas par 25 -> pas carré après je bloque
Raisonnement faux : pour la a) la différence de deux carrés peut aussi être un carré : par exemple 25-9=16 et ce sont tous des carrés. Il faudrait justifier le "donc" car vous ne le faites pas... c'est ce qu'on trouve d'ailleurs souvent dans certaines copies de cancres : "on sait jamais, le donc peut passer" mais les profs ne s'y trompent plus depuis longtemps !
@@michelbernard9092 il n'a jamais prétendu que son "donc" était justifié par l'affirmation "la différence de deux carrés n'est jamais un carré", c'est vous qui en faites cette interprétation. Il ne justifie pas son "donc" car il est parfaitement évident, dès lors qu'on a constaté que 100 000 000 est un carré, que 99 999 999 n'en est pas un. Et non, je ne prétends pas que "la différence entre carrés n'est jamais 1".
@@michelbernard9092 Ce qu'il a voulu dire, c'est que un carré -1 n'est jamais un carré : soit a un réel positif quelconque, a² - 1 = (a - 1)(a + 1) Comme a-1 n'est jamais égal à a+1 sur R (on peut le vérifier grâce à un raisonnement par l'absurde) => a²-1 n'est jamais un carré sur R. edit: sur R*
@@michelbernard9092 (x+1)² - x² = 2x+1 deux carrés consecutifs ne peuvent donc pas etre espacés de 1 sauf si x = 0 donc x² = 0 et (x+1)² = 1. dans tout les autres cas deux carrés ne peuvent pas etre succesifs
@@sebastien5048 "car il est parfaitement évident, dès lors qu'on a constaté que 100 000 000 est un carré, que 99 999 999 n'en est pas un." Ah bon, si c'est si "parfaitement évident", alors il vous sera aisé de le démontrer.. ou pas ?" En math il faut aussi démontrer les évidences qui ne font pas l'objet de théorèmes. Ici c'est assez simple à faire, mais le "donc' ne suffit pas, c'est un "zéro" sur la copie !
pour le e) 987654321 est divisible par 9, donc on a 3²x109739369 109739369 n'est pas divisible par 3, reste à démontrer qu'il n'est pas divisible par 7 109739369 = 105000000+4200000+490000+49000+350+14+5, qui n'est pas divisible par 7
@@PhilLeChatounet 109 739 369 est un multiple de 17 car 6 455 257x 17= 109 739 369 6 455 257 est aussi un multiple de 17 car 369 721x 17= 6 455 257 369 721 est un nombre premier
987.654.321 = 9 x 109.739.369 Si 109.739.369 = n^2, n doit se terminer par ... 3 ou ... 7 comme 10500 x 10500 = 10500 x (10000 + 500) = 105000000 + 5250000 = 110.250.000 > 109.739.369 et 10400 x 10400 = 10400 x (10000 + 400) = 104000000 + 4160000 = 108.160.000 < 109.739.369 On va essayer 10497 x 10497 = 10497 x (10000 + 497) = 104970000 + 5217009 = 110187009 10493 x 10493 = 10493 x (10000 + 493) = 104930000 + 5173049 = 110187009 10487 x 10487 = 10487 x (10000 + 487) = 104870000 + 5107169 = 109977169 10483 x 10483 = 10483 x (10000 + 483) = 104830000 + 5063289 = 109893289 Comme 10.487^2 > 109.739.369 > 10.483^2, et il n'existe d'aucun nombre entier entre 10.483 et 10.487 qui se termine par 3 ou 7, ni 109.739.369 ni 987.654.321 (= 9 x 109.739.369) est un carré parfait.
La logique est simple, rapide et rigoureuse : si on arrive à diviser le carré parfait par N une fois, il faut pouvoir le diviser par N une seconde fois. a) 9 * 11 111 111 critere de div par 9 -> la somme des 1 vaut 8, on ne peut pas le diviser par 9 une seconde fois. b) 3 * 41 111 111 critere de div par 3 -> la somme 4+1+...+1 n'est pas multiple de 3 on ne peut pas div par 3 une seconde fois. d) on div par 5 ca se termine par 7 on ne peut pas diviser par 5 une seconde fois .. reste c) et e) c'est plus dur. e) critiere de div par 9 marche, on divisise 987 654 321 / 9 (assez rapide a la main) = 109 739 369 -> re-critere de div par 9 ne marche pas une seconde fois ... donc la seule solution par elimination est c)
Dans ton raisonnement, il faut préciser que N doit être un nombre premier. Contre exemple par rapport à ton élimination de la réponse a : 36 est divisible par 9 une premiere fois, mais pas une seconde fois. 36 est pourtant un carré parfait
Un carré parfait ne peut jamais se terminer par 3 donc la réponse b est à éliminer. Un carré parfait ne peut jamais se finir par 99 donc la réponse a est à éliminer. Si un nombre qui se termine par 5 est carré alors sa racine carré se finit par cinq et le premier nombre se finit par 25 et jamais par 35 . Donc la réponse d est à éliminer. La décomposition de 987.654.321 en facteurs premiers est 3² * 17 * 379721 donc deux facteurs qui sont représenté en nombres impaires . Donc la réponse e est à éliminer. La bonne réponse ne peut donc être que la réponse c.
Au final, il apparaît que (a), (b) et (d) s’éliminent en 10 secondes grâce à des propriétés élémentaires des carrés parfaits. Reste (c) et (e) pour lesquels rien jusqu’à maintenant (hormis « l’intuition ») n’a été proposé permettant soit d’en choisir, soit d’en éliminer formellement un des deux par une méthode similaire ou un calcul faisable de tête (au moins sans calculatrice) dans un temps raisonnable. La question reste ouverte…
Bon alors voilà comment on torche cette petite chose insignifiante et sans faire son escroc comme le monsieur : Pour 99 999 999, on remarque simplement que ça vaut 10^8-1=(10^4+1)(10^4-1)=10001x9999. 9999 peut lui-même s'écrire de la même façon 99x101. Et comme 101 ne divise pas 10001, on ne peut pas avoir de carré. Pour 123 333 333, on dit simplement qu'un carré ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. Pour 713 291 035, on remarque effectivement que si le carré se termine par 5, alors nécessairement le nombre d'origine aussi, mais que le carré d'un nombre se terminant par 5 se termine lui-même par 25 : (10x+5)²=100x²+100x+25=100x(x+1)+25. Pour 987 654 321, il y a un peu plus de travail. On commence par remarquer que le nombre est divisible par 9 puisque la somme des chiffres fait 45 (la somme des nombres de 1 à 9 : 9x10/2). Comme 9 est un carré, notre nombre est un carré si et seulement si ce nombre divisé par 9 l'est aussi. On divise donc par 9 : 109 739 369. On va maintenant utiliser une valeur proche de la racine carrée de ce nombre : 10 500. 10 500²=10 000x105²=110 250 000 On suppose que notre nombre est le carré d'un nombre qu'on va écrire sous la forme 10 500-x (10 500-x)²=110 250 000-21 000x+x² Donc 21 000x-x²=110 250 000-109 739 369=510 631 On remarque ensuite que x
pour le e) , il est divisible par 9 mais le résultat n'est pas div. par 3 donc il ne peut pas être le carré d'un nb se finissant par 9 reste a regarder pour un nb se finissant par 1 ...
Mais le fait que le carré d'un nombre finissant par 5 finit toujours par 5 ne suffisait-il pas à choisir directement la C sans avoir à éliminer les autres réponses ?
