QUELLE EST L'AIRE ENTRE CES 3 CERCLES ? 

J'ai redoublé trois fois à l'école secondaire en raison de ma méconnaissance et de mon rejet des mathématiques. J'ai aujourd'hui 68 ans et j'ai compris tout le développement ; j'en ai parfois même anticipé certaines étapes et j'applaudis les qualités pédagogiques de notre hôte en ces lieux!

Bonjour, merci pour la vidéo, grâce à vous, j’ai développé une passion pour les mathématiques... Merci d’expliquer de la meilleure des manières, avec le sourire. Ne changez pour rien au monde. Merci Monsieur.

On pouvait également considérer que les trois secteurs valaient un demi-cercle :180 degrés. Merci pour ces vidéos pleines d’enthousiasme!

J'adore ces petits problèmes.😊 C'est toujours très intéressant de chercher un cheminement logique et rapide pour les résoudre.

Un bon prof, c’est quelqu’un qui sait rendre simple un problème apparemment compliqué !

toujours plein d'énergie, de sourire, de rigueur aussi et de clarté, je ne rate jamais tes vidéos et t'en remercie

Bonjour, dans mon ignorance, je serais parti du triangle formé par les 3 tangentes, mais après j'ignore s'il y a des formules appropriées pour aboutir en partant de ça. Ou si ça complique inutilement de passer par là... En tout cas, c'est toujours un plaisir de réviser (40 ans que je n'ai plus pratiqué) grâce à vous une discipline que j'affectionne. Bon succès à vous, et aussi à tout ceux pour qui les choses deviennent claires grâce à votre travail de partage.

J'aime bien speedrunner ce genre de petits problèmes et je suis content de retrouver le même résultat à la fin^^ Par contre j'aurais plutôt présenté avec un rayon "r" au lieu d'un rayon 1, histoire d'avoir un cas plus général. A = r²(SQRT(3)-PI/2)

Je suis parti de la formule générale pour la surface du triangle. Pour un triangle de côtés, a, b, c et d’angles α, β, γ, la surface est S triangle = ½. Base .Hauteur = ½ . b . h et S triangle = ½ . a .b . sin (γ) avec γ angle opposé au côté c Le triangle est équilatéral, donc a = b = c (= 2 r) et α = β = γ = 60° donc S triangle = ½ . a . a . sin (60°) = ½ . a². √3 / 2 = a² . √3 / 4 A.N : r = 1 cm a = 2 .1 = 2 cm S triangle = 2² . √3 / 4 = √3 cm² S disque = π . r² ( α = 2. π rd = 360 °) S secteur = S disque . 60°/ 360° = S disque / 6 A.N : S disque = π . 1² = π cm² S secteur = (π / 6) cm² S 3 secteurs =3. π / 6 = (π / 2) cm² S rouge = S triangle - S 3 secteurs A.N : S rouge = (√3 - π/2) cm² PS : Autre exercice : Si les 3 disques ont des rayons différents, (Ex r1=1 cm ; r2 = 2 cm ; r3 =3 cm) Alors le triangle devient quelconque, donc d’autres formules générales des triangles quelconques, avec cosinus et sinus, sont à appliquer. Merci beaucoup. En tant que professeur, il faut rester aussi sur les cas abordables, simplifiables, vérifier que tout le monde a compris, ne décroche et prenne l'exercice comme un jeu, et si possible interactif. 😃

Excellent pédagogue. En 1995, mes professeurs de maths étaient pour la plupart très autoritaires, pas très pédagogues et ne nous donnaient vraiment pas envie de chercher à comprendre. Et là, il 02h50 du matin et j'ai pris plaisir à écouter la leçon et j'ai tout compris. J'ai tout compris à 10 ans de la retraite. C'est ainsi En tout cas MERCI

merci beaucoup ! un chouette moment de cogitation avec vous

Grâce à votre démonstration, j'ai tout compris.

Je suis fan, je m'abonne. Vive les maths !

Tout simplement formidable. Merci pour la pédagogie.

Très intéressant, merci

Génial, parfaitement expliqué, avec vous tout est simple, presque amusant, de quoi en réconcilier beaucoup avec les maths.

Tout simplement génial, j'avoue ne pas y avoir pensé spontanément !

Génial ! Super excercice de reflexion !

Merci, vous êtes au top!

Cool! Tu explique mieux que certain prof. Continue comme ça 😄

Les tangentes qui passent par les points de tangence des 3 cercles sont perpendiculaires aux segments qui relient les centres, donc chaque segment vaut le diamètre d'un cercle soit 2 et les trois segments forment un triangle équilatéral de côté 2. À l'aide du théorème de Pythagore et vu que la hauteur H dans un triangle équilatéral est aussi une médiatrice, on en déduit : 2exp2 = 1 +H2 d'où H=√3. (Base x H)/2 donne (2×√3)/2= √3 = aire du triangle équilatéral ayant les 3 centres pour sommet. On voit que pour trouver l'aire recherchée il faudrait soustraire à l'aire du triangle équilatéral l'aire des "3 parts de pizza" or chacune de ces parts de pizza forme un angle de 60° et si on les colle entre elles, elles forment donc l'aire d'un demi cercle de rayon 1 ! Soit (1/2)πR2, soit encore π\2. Au final l'aire recherchée vaut : √3 - π/2.... 🤔 Hmmm pas très très beau 😬 Aller, je regarde la correction 🤩

Toujours un régal vos vidéos.

Très sympa comme démarche, merci :)

Toujours géniales tes vidéos !

Excellente pédagogie. Bravo.

Merci pour cette belle vidéo

big up à toi , très bonne vulgarisation des mathématiques , encore bravo .

J'adore ta passion que tu communiques dans tes vidéos. Continues comme ça 🙂 J'avoue ne pas me souvenir de la formule de la hauteur du triangle équi, mais je l'aurais trouvée d'une autre façon, et mon raisonnement correspond à ta démonstration.

Génial merci !!

Bonjour. Vous devez le lire et l’entendre très souvent, mais tant pis : qu’est-ce que j’aurais aimé avoir un professeur de mathématiques comme vous !

ça à l'air monstrueux au départ et puis à ,la final et bien c'est assez simple ... le cheminement je l'avais mais les petits trucs je ne m'en souvenais plus ... merci ... Hedayati ... le prof de math qui fait aimer les maths quand vous sortez une vidéo et bien moi je la regarde ... une sorte de nostalgie de cours de mon prof... souvenir à Mr Brunswick mon prof de math et sa blouse blanche son break ford couleur doré mon prof de math de 4 et 3 em... et surprenant un passionné de rose et l'élevage de rosiers amis fidèle de Eve spécialiste des rosiers Pithiviers...

Superbe vidéo, comme toujours ! Merci pour votre investissement à nous rendre un peu moins ... Un peu plus "savant" !

Super la video bien expliqué mtn je suis prêt pour des problèmes un peu coriaces 😊😊😊

C'est toujours intéressant ce genre d'exercice car il fait également appel des règles géométriques. Dans celui-ci, on a l'avantage d'avoir un rayon égal à l'unité. On peut aisément appliquer la règle d'homothétie en prenant le rapport des rayons. 😊 merci.

Vous etes génial !!!!!!

Depuis je vous avais arrêté de vous suivre. J'adore vos vidéos, mm qd chaque jour on ne fait plus de maths ça permet de revoir son raisonnement

Je suis retraité, je vous suis depuis longtemps et je me régale de vos vidéos ! Avec un professeur tel que vous je suis certain de vous faites naître des vocations; Ne changez rien.

Le raisonnement est géométrique, il est très simple : l'aire recherchée est la différence entre le triangle isogone qui joint le centre des trois cercles (côté : 2), et des trois sixièmes du cercle (demi cercle) dont le rayon est 1. Le reste n'est que du calcul mécanique.

À partir de ce résultat on peut déduire que l'intégrale de 0.5 à 1 de √(2x-x²) + √(1-x²) vaut π/4, et comme la courbe admet un axe de symmétrie en x = 0.5 on a l'intégrale de 0 à 1 (soit l'entièreté du domaine de définition) qui vaut π/2 Maintenant on peut chercher à généraliser pour un rayon r : Par la méthode du triangle, on trouve r² √3 - πr²/2 D'autre part, pour la forme intégrale, on a r² √3 - 2 intégrales de r/2 à r de √(x)(2r-x) + √(r-x)(r+x) D'où on déduit que intégrale de r/2 à r de √(x)(2r-x) + √(r-x)(r+x) = πr²/4 Si jamais quelqu'un a besoin de la formule, elle est là.

Très joli petit exercice !

Très bon cours...

Jolie exercice. J'ai vite vu la solution en essayant de tracer les 3 cercles : la seule façon les obtenir est de d'abord tracer un triangle équilatérale de coté 2 pour avoir les repères pour les 3 centres. A partir de la ont voit vite qu'il faut retirer l'aire des portions de disques a l'aire du triangle, ce qui donne une aire de r^2(sqrt(3)-pi/2) pour un rayon de cercle r.

Vous êtes vrm incroyable😊je sais que c un peu aléatoire mais c grace a votre video sur la hauteur d un triangle équilatéral que j ai pu resoudre un problème d olympiades de 4points et dé que j ai vu le problème j ai directement pensé à vous😅merci❤

Salut monsieur Hedayati 🙃😅, j'aimerais vraiment que vous continuez la série des complexes ( le repair des complexes) si vous voulez bien ( 3amou Iman 😂😂) ( 3amou = tonton en dz)😊❤ je vous aime très fort 😁🇵🇸

Sa fait du bien de revoir les bases des fois :)

Bravo et merci

pour moi c'était plus simple de calculer l'aire d'un demi-disque (3x60°=180°), plutôt que l'aire d'1/6ème d'un disque puis de multiplier par 3

Merci chef

très bonne explication, toujours aussi claire. Rien à ajouter, si ce n'est que la musique à la fin de la vidéo, me manque un peu. 😁

j'adore!

bel exo , merci .

Je regarde régulièrement vos vidéos. C'est passionnant et passionné :) ... Je me permets un petit regret sur celle la. Il aurait été pertinent de représenter l'air en fonction de R (le rayon) à la fin ... Cela donne la formule pour le calcul de l'air de la surface contenue entre trois cercles adjacents (chaque cercle est au contact des deux autres en un seul point) de même R. Si je ne me trompe c'est : R² x ( √3 - π ) x 1/2 En tout cas merci pour le partage et la pédagogie !

Pour le compas , impression 3d pour remplacer la pièce ?

Très pédagogique !

Super vidéo ! Par contre j'aurais bien aimé qu'on rappelle la preuve que deux rayons se rejoignant sur un point tangent à deux cercles forment un angle plat.

pour signaler l'alignement entre deux centres et le point de double tangence, il serait bon de rappeler que les tangentes sont perpendiculaires aux points de contact

J'aurais bien aimé avoir un prof comme ça😔

Formidable !! Moi qui étais une grosse bouse en trigo, je me mets à déduire les éléments de réponse à l'avance !!!!!

Bonjour, envoyez votre pièce de compas cassée chez le youtubeur qui fait les vidéos de modélisation sur fusion 360 pour les impression 3D.

Tu peux utiliser un fil tendu entre une main et enroulé autour du stylo a l autre extrémité Si tu maintiens le fil tendu ça te fait un compas pas cher et qui casse jamais

Je me suis un peu compliqué la vie, j'ai dessiné un cercle de plus en haut à gauche pour faire apparaitre l'aire rouge une seconde fois et j'ai fait un rectangle de largeur 1 et longueur racine carré de 3 qui contient 2 quarts de disque et deux moitiés de l'aire rouge. Ce qui donne bien le même resultat!

nickel merci

C'est bien de mettre le problème en miniature, comme ça on peut le résoudre de tête et vérifier la réponse à la fin de la vidéo 👌

Pas évident à expliquer vous vous en êtes bien tiré 😊

Pour trouver l’aire il est possible aussi d’utiliser la formule de héron qui se fait en un coup ou avec la formule (bc sin(a))/2 a = 60

1) Triangle équilatéral de 2 unités de côté ayant le centre des trois cercles comme sommet. Aire = 2 * rc(3) /2 = rc(3) 2) Trois secteurs de cercles de π/6 d’angle. Aire des 3 secteurs = 3 •π/6 • (1^2) = π/2. 3) Aire bleue = rc(3) - π/2 ≈ 0.161 u.c.

A partir des longueurs d'un triangle quelconque a,b,c et si on pose a+b+c=p, alors son aire est ^(p(p-2a)(p-2b)(p-2c) le tout divisé par 4. Pour la démonstration c'est un peu long. D'où la surface d'un triangle équilatéral de côté a: ^3:4xa carre

Comment j'aurai trop aimé t'avoir en prof de maths...

Bonjour.....ne surtoût pas oublier "unité d'aire" après chaque aire calculée pour que le résultat soit significatif. Amicalement.

Merci

Top!

Bravo

Alors j avais l astuce du triangle équilateral mais j'avais pas pensé a juste retirer l aire des partie du cercle, je cherchais bcp plus compliqué

Je le connais cet exercice ! Je l'appelle "Le Doritos en string" d'après l'aire (le string) qui se trouve dans le triangle équilatérale (le Doritos) 😅

Ne faut il pas démontrer que le triangle équilatéral passant par les centres passe aussi par les points de tangence ? Ca ne me parait pas être évident.

Excellente vidéo comme toujours 🙂 Accessible pour une épreuve de brevet ... et pourtant ça ferait un carnage auprès de la majorité des élèves.

C'est sûrement une question bête, mais pourquoi ne doit-on pas démontrer d'abord que les côtés du triangles passent bien chacun par le point de contact des cercles ? (même en l'écrivant, je me rends compte que "c'est évident que c'est le cas", mais je n'arrive pas à formuler très précisément la démonstration...)

On relie les centres des trois cercles, on obtient un triangle équilatéral. L'aire que l'on cherche = (2 x ✓3)/2 - 3 x (1)(1)π/6 = ✓3 - (π/2) = (2✓3 - π)/2

voire ça avant le bac de math m'as fais angoissé 😂

Bon là s'était facile .... car visuel. Merci.

Sans regarder Utiliser la formule de heron qui calcule l'aire d'un triangle quand on connait la longueur de ces cotés (ici 2) puis retranché l'aire d'un demi cercle de rayon 1.

J'ai tout de suite tracé les bons traits ! Par contre, je les ai tracé directement sur mon écran, ne me demandez pas de réfléchir deux fois d'affilée.

Technique du lacet quand on a le compas cassé

Bravo pour l'inspiration de l'éngme du professeur Layton 2 intilué Flower Power :)

Ne faut il pas justifier que les deux rayons sont alignés à l endroit où les deux boules se touchent pour former un segment de longueur 2 et donc un côté du triangle équilatéral.

Est-ce qu'il ne faudrait pas montrer que les côtés du triangle passent par les points d'intersection des cercles ?

Pour une fois j'ai une astuce. Comme les cercles sont égaux en fait 3x60=180 donc c'est aire d'un cercle sur 2:)

Sympa ce petit problème :)

en règle générale avec des cercles à rayons égaux, Ar=((rayon^2)*√3) - π/2

Bravo pour la démo. Juste une question qui me taraude: Tu n'as pas expliqué pourquoi les côtés du triangle passent forcément par les points d'intersection des cercles.

avec l'age les équation de surface se sont évaporé maintenant pour ne pas me tromper j’utilise systématiquement la méthode du cancre l'antisèche^^

Cool

Perso je suis passé par la réflexion : il y a 3 tiers de cercle à ôter à l'Aire du triangle équilatérale soit un demi cercle :)

Bien et déjà vu autre part. 2 hypothèses bien qu'intuitives n'ont pas été démontrées : - la droite passant par les centres de 2 cercles tangents passe aussi par le point de tangence; - le triangle issu des trois centres est un triangle équilatéral. 😘 Je sais je suis un peu casse-bonbons, mais bon.

Petit nettoyage intellectuel régulier ! Et merci d'être joyeux !

Je n'ai pas utiliser l'aire angulaire de 60°. J'ai formé le rectangle à partir de 2/4 de cercle, donc de diagonale 2r et de petit coté 1. Donc je trouve le grand côté sqr(3). Donc l'aire à trouver = aire du rectangle moins l'aire 1/2 cercle.

Vous parlez beaucoup !

👍

Pourquoi les points de tangente des cercles sont ils alignés avec les centres des cercles correspondants ?

Pour simplifier encore: 3 sections de 60 degres = 1 section de 180 degres; les trois parts de pizza ont l'aire d'un demi cercle.