The sum of the reciprocals of squares of natural numbers, solved by Euler. No circle but Π appeared 

クイーンメイデン さん ありがとうございます。

ききささ さん とても嬉しいコメントありがとうございます。是非他の動画もご覧になってください。

electrill さん ありがとうございます。是非他の動画もご覧になって下さい。今後も出来るだけ興味を引いてもらえる動画の作成を心がけてまいります。

ありがとうございます。

ありがとうございます。

ありがとうございます。是非、他の動画もご覧ください。

blue cat さん ありがとうございます。

ㅑ

みそしるゼリー さん ありがとうございます。

@@polalice これでするくらいなら、オイラー積表示した状態でやった方がまだ速いですね。試しに20番目の素数くらいまで計算しましたが、3.13…となりまぁまぁ早いです。それでもラマヌジャンの公式使った方が効率はいいと思いますが…

ご覧くださりありがとうございます。同じ内容を「東大美女」のもっちゃんと面白おかしく、でも真面目な内容なのがこちらです。 でんがんとヨビノリを脇に添えてもっちゃんとバーゼル問題を解く！ ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-A3HMN4j0jBw.html

katayu 俺もやがんばろ

ご覧くださりありがとうございます。これはちょっと長いですが、お分かりのところは飛ばしつつご覧頂けたらと思います。人類の至宝e^iπ=-1を理解するシリーズです。 ru-vid.com/group/PLFrlW-Y5LqlZ3GtrzuiMVZnjFXbpmG3YM

岡田健二 さん ご覧になってくださりありがとうございます。これなんかも面白いかと‥‥ 任意の自然数が互いに素である確率は、6/π^2 ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-l_rMXGNrrNc.html

嬉しいコメントをありがとうございます。

加護志摩雄 さん 弧度法については2つ動画を作っています。最初のはあまり再生されなかったので2つ目を作りました。最初のは、「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」の一部です。できれば、このシリーズ全編を観ていただきたいです。 ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-O5BLVlYgonc.html vol.1 ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-wjLU1ruuz5E.html Vol.7 弧度法を使う訳

68ootani さん とても嬉しいコメントをありがとうございます。ただ、ちょっと褒めすぎですよ。

いや、そうじゃないです、私はむかし、子供の塾の参観で色々な先生の授業を見ていて、この先生は子供に教えるには、まだ理解の程度がどうかな？と思う場面を見て居ます。つまり子供はどのように理解するのかを理解していないのでは？と思う事が有りました。先生は、その辺を理解していおられる様に思います。理解の過程で、そもそも、どこで躓くのか？何処で考え違いをして居るのかが、分って居ない感じがしたのです。先生の講義はその辺が実に凄い、講義に、御自分の理解をなぞって居るので聴く者が理解し易いのかも知れませんね。話の中のチョットした言葉や表現が、理解の手掛かりを作るものですから。

otabegoro さん ありがとうございます。お役に立てて幸いです。

オイラーシリーズ観てくださってありがとうございます。

関口京 さん ご覧になってくださりありがとうございます。是非、他の動画もご視聴下さい。

toohuudoo さん コメントありがとうございます。確かにこんな結論をよく発見したものですね。

定義の拡張とか、そもそもこうだから因数分解したらこうなるハズであるって考え方は知らなきゃできないですよね。 試験に備えてあらゆる問題に手を出しとけば引き出しにしまっておけるけど、その引き出しにないことを問題にされたらどうにもならない。 もちろん、解けないことはないかもですが、そんな解答は美しくもなんともないんですよね。

Pineapple _ そうなん！へー

オレなら見逃しちゃうね 球の公式では表面積を積分すれば体積が出て、体積を微分すると表面積が出るので、そこから推測するとドーナッツ型の体積を微分すれば出てきそうではありますが、、、(どなたかエロい方教えてください、、

@@gunguniru5506 旧コメ返信すみません。 ドーナツ型の立体において、原点Oを中心に回転する円oの半径をr、回転の半径をRとすると、 体積V=2π²Rr² 表面積S=4π²Rr となります。 つまりd/dr(V)=Sですね。 証明は ①:2π∫【oの上半分の軌跡】dx-2π∫【oの下半分の軌跡】dxでVを出します。（ここの積分ではx=rsinθで置換し、積分範囲を-r→rから-π/2→π/2に直します。） ②:半径rの円の周上に点pを取り、その点からoに線分を引き、その線分とy軸のなす角をφとします。ここで原点から円oとy軸の交わった点までの距離はR-rcosφと表せ、点pからoを中心にΔφだけ回転した点と点pの間の弧がrΔφで表せるため、2π∫（R-rcosφ）r･dφでSを出します。 ③:①、②よりS=d/dr(V)を示して証明終了です。 たらたらと長文、知識のひけらかし、諸々すみません。

パップスギュルタンの定理使うと、ドーナツは円盤を円形に回すので、円盤の面積がπr²、その中心の描く軌跡の計算でもπでてくるからπ²が出てくるのかな？間違ってたらごめんです

元々sinＸをＸの整式として表すという行為は一般にn次の整式f(x)をx-aの整式として表すという事を考えたのちに、f(x)=sinＸ,a=0としたらどの様な整式となるかを考えると言った前段階があるわけです！ それでは、n次の整式f(x)をx-aの整式として表してみることにしましょう！ C1〜Cnを定数とし、n次の整式f(x)をx-aの整式で表してみる… f(x)=C0+C1(x-a)^1+C2(x-a)^2+C3(x-a)^3+・・・+Ck(x-a)^k+・・・+Cn(x-a)^n とすると C1〜Cnまでの値を全て求めるために次の様にする… x=aの時(x-a)=0だから、余計な部分が消えて、f(a)=C0=f(a)となる。 f(x)をxのついて微分すると… f’(x)=C1/1!+(C2/2)(x-a)^1+(C3/3)(x-a)^2+・・・+(Ck/k)(x-a)^(k-1)+・・・+(Cn/n)(x-a)^(n-1)であるから 今度もx=aの時(x-a)=0だから、余計な部分が消えて、f’(a)=1!*C1⇔C1=f’(a)となる。 同様に、C2を求めてみよう！ f”(x)=2!*C2+{3*2*C3}(x-a)^1+・・・+{k(k-1)Ck}(x-a)^(k-2)+・・・+{n(n-1)Cn}(x-a)^(n-2)であるので、 又もやx=aの時(x-a)=0だから、式が綺麗になり、f”(a)=2!*C2⇔C2=f”(a)/2!となる さらにC3を求めて見ましょう！ところで、関数f(x)の1回微分はf’(x)、2回微分はf”(x)と書くが、 3回微分は’や”を書く位置(prime/ダッシュを書く位置)に’’’と書く代わりに(3)と書くのが一般的であるのだが、記述上コメント欄だと分かりにくくなると思われるので、’”の様にその数分だけ書くことにする。 f’”(x)=3!*C3+・・・+{k(k-1)(k-2)Ck}(x-a)^(k-3)+・・・+{n(n-1)(n-2)Cn}(x-a)^(n-3)である やはりx=aの時余計な部分が消えて、f”’(a)=3!*C3⇔C3=f’”(a)/3!となる さらにC4を求めるためにf””(x)を出してx=aでC4が分かる、C5はf””’(x)を…とやりCnまで機能的に求めると… Ck=g(x)/k! ただしg(x)はf(x)のk回微分とする. となる。 だから、n次の整式f(x)をx-aの整式で表すと、 f(x)=f(a) +f’(a)*(x-a)^1 +{f”(a)/2!}(x-a)^2 +{f’”(a)/3!}(x-a)^3 +・・・+{g(x)/k!}(x-a)^k+・・・+{[f(x)のn回微分]/n!}(x-a)^n となる！ この等式を用いるとxについてのn次方程式 f(x)=0がx=aで2重解としてもつための条件、即ちある整式h(x)によって、 f(x)=h(x)*(x-a)^2 , h(a)≠0 と表されるための条件は f(a)=0 , f’(a)=0 , f”(a)=0 である事が分かる f(x)が整式でない場合でも、e^x(eはネイピア数/自然対数の底)やsin(x)などの関数は 動画内でも説明があった通り、無限次()…の関数で表すことができる 即ちその様なものf(x)をx-aの整式で表すと、 f(x)=f(a) +f’(a)*(x-a)^1 +{f”(a)/2!}(x-a)^2 +{f’”(a)/3!}(x-a)^3 +・・・+{[f(x)のn回微分]/n!}(x-a)^n+・・・ といった様に無限級数の形で表される。またこれをf(x)のテイラー展開という。 特にa=0の場合についてsin(x)のテイラー展開を求めると f(x)=sin(x)の時 f(x)を 2m-1回微分したものは(-1)^(m-1) cos(x), 2m回微分したものは(-1)^m sin(x) であり、それぞれx=0の時順に (-1)^(m-1) , 0 となるから、次のテイラー展開が得られる sin(x)=1/1! x-1/3! x^3-1/5! x^7+・・・ -① これが動画内で出て来たものですね… 因みに同様のcos(x),e^xのテイラー展開を求めると cos(x)=1-1/2! x^2+1/4! x^4-1/6! x^6+・・・ -② e^x=1+x+1/2! x^2+1/3! x^3+・・・ -③ となる ここで i=√-1 として③のxにixを代入すると！ e^ix=1+ix+1/2! (ix)^2+1/3! (ix)^3+・・・+1/n! (ix)^n+・・・ となる。自然数sに対し、i^sは i , -1 , -i , 1の値を繰り返すから、 e^ix=(1-1/2! x^2+1/4 x^4-1/6! x^6+・・・)+i(x-1/3! x^3+1/5! x^5-1/7! x^7+・・・) となおせる。 よって①②より e^ix=cos(x)+i*sin(x) -④ 　 　↑ 極形式 ④をオイラーの公式という。 特にx=πとおくと e^iπ=-1 即ち e^iπ+1=0 となる。 ーーーーーーーーーーーーーXーーーーーーーーーーーーーーXーーーーーーーーーーーーー 「A^B」は「AのB乗」、「A*B」は「A×B」という事である。 分数の部分が見にくくてすみません！ 途中から雑談に入ってしまいましたが、結局何が言いたいかというとあのsin(x)の式変形？はテイラー展開というものです！ 因みに自分はまだ高校生になっていませんが、父が大学数学の関係者であるが為に、色々と聞いて覚えてしまった感じですw

フィボナッチ 数学を美学として捉えている者からしたら至高的な展開要素で満ち溢れた、ゴッホの向日葵の様で美しく印象が強く残ります笑笑

ついでですが、 f(X)=x(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)…… の方はどんな形に表示されるのでしょう？ これは正弦曲線にはならないのですよね？

13πまでやったら、±10(3π)位までsinカーブ描きました。

Pyrope Garnet 　sinの定数倍やない？

お菓子好きなルーミア さん ありがとうございます。是非、他の動画もご覧になってください。

。 test さん ご覧になってくださりありがとうございます。今日、これと関連した阪大の問題を投稿予定(これから撮影なので、あくまで予定)、是非、そちらもご視聴ください。

Alan Smithee そうですね。厳密に言えば、x=0のときでのテイラー展開なので、マクローリン展開と呼ばれるものです。

ご覧下さりありがとうござます。この問題の解法を思い付けるのはオイラー、ガウス等の数学史に名を残すような天才のみでしょう。私は理解するのが精一杯です。

そもそも素数の出現律さえわかってないので。

ありがとうございます。

I ordered my son to translate in English

@@kantaro1966 i like your content

Ho WaiKeong My son’s video Japanese Mathematics Olympic Question 2016 数学オリンピックru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-6CVQ6eNg0Bg.html

Ho WaiKeong This is also my son Jr. Japan Mathematics Olympiad 1st roundru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-iZWbO1fMoI8.html

こちらをご覧ください。→ 弧度法を使う理由ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-f1Mby9Hk8Ug.html

Kohme Konisch さん 嬉しいコメントありがとうございます。本名です。著書や講演があるような人物ではありません。 数学とは関係のないもう一つの趣味(数学もかつては塾講師だったので商売道具でしたが、今は単なる趣味の一つです)ロードバイクでの家族旅行のブログならございます。 「家族で行こう自転車の旅」 kantaro1966.net/blog-entry-1.html

y=ax+bがあったときx=0でbが求まるやろ。このときbは定数やからx=0以外の時でもbの値は変化しないちゅうことや。

影山優佳 さん ご覧になってくださり、また、嬉しいコメントをありがとうございます。

±nπ でx軸と交わるから、x(x−π)(x+π)(x−2π)(x+2π)‥‥と因数分解したいところだけど、それだと展開したときにxの1次の係数が合わない。なので一工夫した。その点はもう一度動画をご覧ください。

そうらしいです。

ありがとうございます。

ご覧下さりありがとうございます。2つの式が同じであることを証明するのにオイラー自身も10年近くかかった程の難題なので、おっしゃる通り、この動画の内容は厳密な証明にはなっていないということです。

円周率のπとラジアンのπは全く同一のものなので混同しようのないものです。

こちらをご覧ください。 弧度法を使う理由 ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-f1Mby9Hk8Ug.html

こちらを見てみてください。でんがんとヨビノリを脇に添えてもっちゃんとバーゼル問題を解く！ ru-vid.com/video/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE-A3HMN4j0jBw.html

ありがとうございます！🙏

秋元裕介 さん 嬉しいコメントをありがとうございます。

ん？これ基本高校数学内容だと思うんだけど。難関系だと、マクローリンぐらいまでは知識として知っとくといいことあるし。

かなぶん お、おう。。。

@@23nhiro84 ワイは一次近似を使わせる入試問題は見たことあるけど２次近似はないなぁ…ましてマクローリンの定理なんてどこで使うんや？

かなぶん エアプすぎて草