В одном паблике в инстаграме было видео по типу: "загадайте число, прибавьте то, умножьте на это и вычтите год вашего рождения. Вуаля: ваше загаданное число и возраст." А я люблю разгадывать такие "фокусы", за счет чего мы пришли к нужному ответу. И решила написать об этом в комментариях. За все время, это мой самый залайканный и закомментированный комментарий, в основном с восхищением, как же это так работает, сломала магию.😂 А так под видео все восхищаются, как же это так? Да вы волшебники! Вот действительно, магия та еще. 😂 Обычные математические действия, которые ни к чему не приводят, а возвращают в исходную точку. 🤷🏻♀️😅
В таком случае, требуется привести точные определения, как математики, так и магии. И в чём польза объяснимой математики? Даже ежу понятно, что выгоды применяемой магии, существенны.
@@user-xo4bh1fh5nмагией люди называют то, что не могут объяснить. Покажи смартфон человеку из 70-ых он решит, что это - магия. Новые прорывные изобретения называют "чудеса", потому что люди, образование которых еще не достигло уровня изобретения воспринимают новые технологии как "чудо". Математика позволяет творить "чудеса" просто имея в арсенале только лист бумаги и карандаш (в училение калькулятор или абакс). В числе таких "чудес" - рассчитать массу и радиус планет солнечной системы, не имея возможности не то что на них побывать, но даже их разглядеть.
Благодарю Вас. Просто интеллектуальный бальзам испиваешь, слушая и вникая в известные математические истины, с которыми в обыденной жизни не сталкиваешься. Хорошая подборка уравнения! Продолжайте!
Красивое решение. Спасибо. Сэкономили кучу времени, но лишили радости нахождения решения. Рассматриваю такие задачи как тренажер. Вы показали хороший результат. 😀
так Вы копите приёмы, которыми подобные задачи решаются. Их не так много. После какие-то из них могут подойти в решении какой-то научной проблемы, если её удастся свести к формуле или неравенству. Так и делаются большинство кандидатских диссертаций.
Мне пришло в голову немного другое решение. Преобразуем начальное выражение в 1=2^(4(x^2+y))+2^(4(x+y^2)) 2^(4(x^2+y))>0 и 2^(4(x+y^2))>0, но их сумма равна 1 => 2^(4(x^2+y))
«оба показателя целые, иначе бы сумма была иррациональным числом» это ошибочный вывод. Два иррациональных числа в сумме могут давать рациональное (например, √2-1 и 2-√2).
Применение неравенства Коши - это было ярко( кстати есть версия для множества переменных, нер-во Коши-Буняковского, то же только для n переменных среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического, равенство реализуется, если все числа равны между собой). Единственное мне показался недостаточно обоснованным переход про равенство единицы в конце. Имхо более правильно показать, что исходя из равенства произведения единице, следует что степени с одинаковым основанием равны , значит и показатели равны выходит что выражение1 в квадрате равно минус выражение2 в квадрате, поскольку квадрат любого выражения неотрицателен, то равенство возможно только если оба выражения равны нулю. Так более обоснованно.
Для решения этого уравнения можно использовать один из способов: 1 = 16^(x^2+y) + 16^(y^2+x) Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 16: log_16(1) = log_16(16^(x^2+y) + 16^(y^2+x)) Используем свойства логарифмов: 0 = x^2+y + log_16(1 + 16^(y^2+x-x^2-y)) Перенесем x^2+y в левую часть: -x^2-y = log_16(1 + 16^(y^2+x-x^2-y)) Введем новые переменные: z = -x^2-y w = y^2+x-x^2-y Тогда уравнение примет вид: z = log_16(1 + 16^w) Избавимся от логарифма, возводя обе части в степень 16: 16^z = 1 + 16^w Перенесем 1 в левую часть: 16^z - 1 = 16^w Вернемся к исходным переменным: 16^(-x^2-y) - 1 = 16^(y^2+x-x^2-y) Теперь можно решить это уравнение численно, например, с помощью метода Ньютона или бисекции. Одно из приближенных решений имеет вид: x ≈ -0.5 y ≈ -0.5
Перейти к последней строчке вашего чудесного решения можно простым делением на 16^(x^2+y) и переносом единички, так что смысла во всех этих рассуждениях через логарифмирование туда-обратно крайне мало. Численными примерными методами можно и исходное уравнение решать примерно с тем же успехом
Не не не, дружище, ты привел неравенство, потом заменил на равенство - по твоим же словам 1=А>=B>=1 . Далее ты просто приравниваешь ср. геометрическое к 1 ( В=1) и ищешь х у , даже не удосужившись проверить, а выполняется ли изначальное равенство при данных х и у ( спойлер - конечно да, задача же школьная , но обрывать рассуждения нельзя). Далее - не понравилось как ты небрежно "сокращаешь" степени двойки корня и подкоренного квадрата SQR (A^2) == |A| - а он равен модулю подкоренного - конкретно в этом случае пофигу, так как подкоренное - степенная функция, которая положительна, но подобная небрежность в другом случае наделает проблем - тебя ведь смотрят школьники в том числе. В общем задачка ничего, но нельзя так небрежно подходить к решению, нужно более формализовано .
Ну ты гигант! Очень круто! Смотрю твои видео регулярно. Скоро внук в школу пойдет😂. Никогда раньше комментарии не писал. Но тут не удержался, уж очень красиво разложено!
Тут навязывается решение в виде системы уравнений x^2+y=-1/4 x+y^2=-1/4 Навязывается так как сразу видно что 16 это степень двойки, значит можно получить 1 как 1/2+1/2
Справа сумма двух положительных чисел. Значит каждое из них лежит от 0 до 1. Так как степень и основание симметричные, слагаемые могут быть равными. Проверяем 16^(x^2+y) = 1/2 и 16^(x+y^2) = 1/2. Отсюда легко находим x=y=-1/2. На самом деле не люблю такие решения. Если кому то покажется мое решние плохим я спорить не буду... но вот для меня все решения не в лоб являются плохими. Включая решение автора. Хорошее решение сродни алгоритму который может записать и решить любой человек не имеющий широкой эрудиции в тождествах, свойствах, не имеющий смекалку и выдумку. Уравнение с двумя переменными можно решать представив любую в качестве параметра. Простейший анализ и вот мы уже близки к решению и готовы объяснить почему данное уравнение имеет ровно 1 решение.
Я тоже так решил, как вы. Но тут же пришел следующий вопрос: "А другие решения есть или нет?" Предположил, что нет.Надо доказать, что если x != y, то результат будет больше. Можно ввести переменную k = y/x и найти минимум функции. Это делается в лоб, но надо взять производную. Я согласен с вами, но надо все же дорешать задачу :)
@@sergeyprimachenko2506ты внимательно читал ? Я привел пример такого же плохого решения. Просто случайно наткнулся на решение. Хорошее решение это алгоритм для класса задач. Все остальное можно назвать подбором.
@@user-ig8de5jf6h, я увлекаюсь пояснениями, но ни до такой степени, чтобы отгадывать. Математика в сети представлена широким кругом участников, поэтому, кто их знает, всех. И англичане, и китайцы, и корейцы, да и наши , часто балуются равенствами ни о чём. Была предложена методика решения одного уравнения с двумя неизвестными. Метод интересный, результат, сомнительный.
С ужасом смотрю видео по математике и вспоминаю школьный курс, в ожидании когда дети в школе дойдут до таких сложностей.😅 а ведь любимый предмет был у меня, отличник и тд, эх за 20 лет все забылось😢
Гораздо проще можно решить. Здесь симметрия относительно переменных. Очевидно, что единица может получиться только в том случае, если у нас складываются 1/2 и 1/2. Тогда получаем систему уравнений: 4х^2 +4у = -1 и 4у^2 +4х = -1. Элементарно решается путём вычитания и всё
@@chagkruzart7695 в этой задаче основания степени одинаковые и симметрия относительно замены переменных x, y. Я знаю, что бывают вредные методы, но в данном случае не нахожу никаких оснований полагать предложенный мной метод вредным, если только вы мне не укажите на них :)
Запишем уравнение 1=(4^(xx+y))^2+(4^(x+yy))^2, так как 1=sina^2+cosa^2,обозначим 4^(xx+y)=sina и 4^(x+yy)=cosa. Перемножив получим 4^(xx+y)×4^(x+yy)=sina×cosa= 1/2×sin2a=
вы не обосновали, почему замена 4^(xx+y)=sina и 4^(x+yy)=cosa возможна. Она следует из симметричности. Без этого такую замену делать нельзя. Например, в 1=(4^(x+y))^2+(4^(x+yy))^2
Как отсутствие симметрии противоречит такой замене? Обозначить одно из слагаемых за sinα мы может всегда, поскольку оно по модулю не больше 1. А дальше выражаем второе слагаемое через первое через корень квадратный, подставляем туда sinα и пользуемся формулой sqrt(1-cos^2α)=|sinα|. Конец.
смутил момент: а почему два последних множителя обязательно должны быть равны единице, если единице равно их произведение? Почему первый, с иксами в степени, не может быть равен 1/2, а второй, с игреками, двум? (как теоретический пример, опровергающий исходное предположение)
@@alexeyrb1807 логично - квадраты всегда положительные, значит и число под их степенью будет не меньше единицы. Вчера этого момента не заметил, видимо поздно было 😊, жаль в видео не обратили на это внимания, хотя всё остальное разжевано по максимуму :)
потому что степени не отрицательные. в основании стоит 4. а 4>1. то есть чтобы число с таким основанием стало меньше 1, показатель степени должен быть отрицательным. но автор доказал, что в показатели степени стоит квадрат, значит оно не может быть отрицательным. наименьший вариант показателя степени - 0. то есть каждое из итоговых чисел никак меньше 1 получиться не может при любых значениях x и y. по отдельности
1. Это можно было решить без неравенства Коши, предположив, что каждое из слагаемых равно 1/2, и в результате получить систему из 2 уравнений, которая без проблем решается с тем же результатом 2. На самом деле это было решение в действительных числах. Если расширить до комплексной плоскости, то получим бесконечное множество решений из 4 пар значений х и у (так как все сводится к уравнению 4 степени).
Комплексная плоскость!? Не смешите! Ничего не надо предполагать: в силу симметрии x=y и получается одно квадратное уравнение с одним (!) корнем кратности 2.
Спасибо за задачу! Самое очевидное решение, предположить, что x=y, решить из этого и доказать, что функция достигает минимума в этой точке. Чуть сложнее, но ничего не надо вспоминать.
А если взять случаи взаимно-обратных чисел в конце решения? Возможно ли получить такие пары со степенью? В целом, я пришел к такому же решению без обоснования, нативно глядя на пример.
Но ведь 1 могут дать и 1/2 на 2 и т.д. поэтому нельзя говорить что эти два множителя обязательно дают единицу если они оба равны еденице, у на 4 в степени с y- ками не обязательно должно быть равно 4 в степени с x-ми, поэтому я считаю что они просто также будут друг от друга зависеть
Ну симметричность уравнения прям хочет ввести предположение что x=y. Тогда сразу имеем 1=16^(x^2+x)+16^(x^2+x)=2*16^(x^2+x)=2^(4*x^2+4*x+1). Ну и 1= 2^0. Приравниваем степени 2^0=2^(4*x^2+4*x+1). 4*x^2+4*x+1=0. Решаем его и получаем x=-1/2. Который является решением. Ну и осталось показать что других корней нет.
из симметричности уравнения не вытекает того,что x=y,не пойму с чего вы все это взяли. могу это доказать,хотя бы даже из того,что в комплексных числах это тоже решается,причем x там не равен y, хотя и похожи (они являются сопряженными).
Неравенство Иенсена для выпуклой функции 16^х и потом для х+х^2 и y+y^2. Получаем, что правая часть всегда больше или равна 1 за исключением, когда неравенства становятся равенствавами. Это происходит только в одной точке на плоскости.
А с чего вы взяли, что произведение двух множитель равно единице только тогда, когда оба множителя равны единице? Например, 3 умножить на 1/3 равно единице, 23 умножить на 1/23 тоже равно единице, ну и т. д. Так что над задачкой нужно еще подумать))
Делим на контекст. На левую часть. 16^(-x^2-y)+16^(-y^2-x)=1=16^(x^2+y)+16^(y^2+x) Отсюда, раз деление на обратные (а они меньше 1) должно дать больше 1, напрашивается вывод равенства степеней. Попарно. Извините. Немного путаюсь с трансформацией и тороплюсь. Приходится сразу другие методы прямого сопоставления инверсных функций (интуитивно), что есть следствие трансформации как здесь, ну и не всем понятна логика которая идёт без очевидного доказательства. А ты ж думаешь что это очевидно, раз в голове у тебя. Будто и для других натурально тоже самое.
Два непрерывных или прерывных встречных потока могут дать конечные точки пересечения. С раскрытыми неизвестными достаточными для решения. Как два ветра при пересечении, как лакмус в химической реакции. Что есть проявление. Как две функции с инверсными проявлениями. Что говорит о том, что конфликт может быть просто разрешён с минимизацией потерь при изъятии этих точек форсирующих конфронтацию с распространением на остальные части и смеси. Как военный конфликт, например. С каскадом на пре-пост факторы. Что говорит о том что парное разделение форсирует подобное при применении с любой стороны как у себя, так и на стороне противника. Являясь выигрышным фактором по другой причине - появлении внешнеконтекстных поперечных изменений разрушающих негатив противника. Это я написал в другом месте. Таким образом решение имеет тенденцию к саморазвитию с конечной точкой конфликта. Т.е. окончательной точки победы достигаемой с самоускорением. - Я балкер, а не бальник. И более. Каскадка касается планеты. Решения применяются исходя из справедливости и не могут быть кроме как преувалирующими на более справедливой стороне, хоть и сам конфликт говорит о её проблемах. Таким образом 'хотят ли русские войны?' - им решать. Возможно справедливой? 😉 А несправедливой - нет. Важно понимать что решение - есть. 😏
Круто, Я пошел по главному тригонометрическому уравнению и легко нашел ответ, но вот, как и было сказано - просто не пошел в сторону доказательства, что это единственный ответ
0;44 ну вот откуда это свойство? есть ли учебник или что-то где оно записано равно и все прочие? каждый раз в решении кто-то вдруг вспоминает какооое-то свойство, о котором я никогда не слышал и решате любое уравнение
Я видео полностью не посмотрел и не знаю почему эту задачу, назвали "нерешаемой", но это задача школьного уровня когда разбирают показательные уравнения- если 16 представить как 2^4, а 2^-1=0.5 то чтобы из суммы чисел получилась единица нужно это уравнение представить как 2^0=2^(4*(x^2+y)+2^(4*(x+y^2) и это становится простеньким уравнением x^2+x+y^2+y=0, которую можно решить как обычное квадратное уравнение и получить такой же верный ответ
Можно заметить, что уравнение симметричное и если решением является пара (x,y), то решением является и пара (y,x) и тогда можно заменить y на x и всё чудно решается логарифмированием.
Я тоже пришёл к -0,5 но совершенно иным путём. (1) Поскольку оба слагаемых больше 0, то они же меньше 1. (2) Следовательно, обе степени меньше 0. (3) Для этого нужно, чтобы хх^2. (4) Легко заметить, что х и у лежат в диапазоне от 0 до -1 невключительно. Вот, считай, и решили.
Прям сразу обе степени явно =-1/4, это и так видно. Но можно попробовать решить систему уравнений, где обе степени менее нуля и по модулю менее 1. Вроде проще.
Решение конечно красивое, но не зная конечного ответа по такому пути никто в здравом уме не пошел бы 😁вероятность, что так красиво все в конце сложится, сократится и будет только одно решение - просто нулевая. Больше похоже на подгонку решения под конечный ответ, но если автор сам до этого дошел , снимаю шляпу.
Вроде математика, а решение интуитивное. Делаем ТАК и ТАК не потому что этого требует ЛОГИКА, а вот просто наугад. Словно сначала было решение, затем его свернули в задачу. И разумеется, кроме того КТО сворачивал, все будут использовать перебор вариантов решения. Это какая-то... экспериментальная деятельность, прийти к РАБОЧЕМУ варианту решения, методом проб и ошибок, УГАДЫВАЯ... Короче - что-то тут не то... -_-
Я поступил проще. Я воспользовался сайтом и построил график z=16^(x2+y)+16^(x+y2). И посмотрел что будет в плоскости парралельной xy проходящей через точку 1. И там, конечно же, такой же ответ. А вот то, что осталось выше... Там уже не одна точка, и график выходит достаточно интересный. Если не лень - советую попробовать. Я мучал desmos 3d, точнее его бета версию.
Ну намудрил: ты еще про группы Ли расскажи! Элементарно: в силу симметрии x=y b и далее простейшее показательное уравнение , которое сводится к квадратному.
Утверждение в конце о равенстве единицы множителей произведения, так как их произведение равно единице, не верный. Первый множительно может быть, например, равен 1/2, а второй 2 и их произведение будет равно единицы. И таких комбинаций очень много.
Оба множителя не меньше единицы (как правильно заметил предыдущий комментатор), потому что в показатель степени - квадрат, квадрат всегда либо равен нулю, либо больше нуля, соответственно минимальное число, которое может получиться - единица
Только у нас не будет взаимообратных числе, так как у нас 4 возводитсься в неотоицательную степень, а значит оба множителя будут не мнньше единицы (если не рассматривать комплексные числа)
Можно представить это дело, как сумму квадратов, потом, так как их сумма равна единице, представить одно из них, как синус некоего угла, а другое, как косинус, затем составить из них выражение для синуса двойного угла и дописать, что оно меньше или равно единице, единица это 4 в нулевой степени; "убираем" четвёрки, получается, что сумма квадратов x + 1/2 и y + 1/2 меньше либо равна нулю, а это возможно, если оба они равны нулю, отсюда ответ.
Сразу понятно что показатель степени дробный, да ещё и отрицательный, учитывая симметричность задачи. Корни в степенях угадываются мгновенно. При любых других значениях система уравнений из x^2 + y и y^2+x равных одному и тому же числу 1/4 не имеет решений. Зачем всё усложнять.
Усложнили чтобы доказать, что отсутствуют другие решения... Хотя согласен, есть способы проще, но на такой задачей показывают несколько приемов которые мало применяют в школьном курсе, вообшем говоря для расширения кругозора математического
Так ведь там в конце умножение, это значит или а не и 2 множителя могут дать единицу если например один равен в 2, а другой ½. Или если один равен 3, а другой ⅓. У уравнения бесконечное колво решений
Догадаться, в какую сторону «копать» при решении таких искусственных задачек, практически невозможно. Какой-то бездельник сидел день-два, подгонял параметры, чтобы они хорошо «улеглись» в его логику...
Вообще-то, это решается намного проще. Разбиваем единицу пополам. Тогда получается, что х^2+у=-1/4, а х+у^2=-1/4. Отсюда, х^2+у =х+у^2 или х^2-х=у^2-у. Следовательно, мы должны добавить 1 к -1/4. Тогда х^2-х=3/4, х*(х-1)= (-1/2)*(-3/2) и х=-1/2. Те же самые манипуляции проводим с у и получаем у=-1/2. Намного проще и без заумностей.