1 0:28 Предисловие 2:39 Равносторонний треугольник. Какие преобразования плоскости переводят его в себя? 6:44 Композиции этих преобразований 7:32 Какие преобразования рассматриваются? Только движения 10:02 Чему равна композиция нескольких преобразований? Некоторому преобразованию, которое также сохраняет треугольник. Более того - одному из шести уже записанных преобразований. Почему? Потому что других преобразований, сохраняющих треугольник, нет. Далее доказывается последнее утверждение 2 (первая часть доказательства) 13:18 Закон композиции поворота и осевой симметрии - один из лейтмотивов дальнейшего курса 14:22 Некоммутативность композиции 15:21 Откуда известно, что преобразование АВС - ВАС является осевой симметрией? 16:59 Теорема о трёх гвоздях («вложение»: теорема о двух гвоздях) 21:32 Теоретико-групповой трюк 22:45 Ассоциативность композиции 24:44 Вывод: любое из шести движений однозначно задаётся перестановкой вершин треугольника 3 (вторая часть доказательства) 25:04 Соответствие между движениями и перестановками вершин 28:32 Рассмотрим некоторое движение, которое сохраняет треугольник. Тогда оно переставляет вершины 29:36 При этом существует всего шесть возможных перестановок вершин А, В, С. Они все выписаны 30:16 Совпадение по перестановке вершин означает совпадение движений 32:51 Значит, рассмотренное движение является одним из шести записанных. Существует ровно шесть преобразований, сохраняющих треугольник 4 33:39 Таблица композиций группы преобразований 35:22 Книга: Чеботарёв, «Теория Галуа» в 2 тт. 38:59 Коммутативная часть таблицы 39:26 Промежуточное резюме результатов 41:15 Четыре блока таблицы 43:20 Резюме результатов. Определение группы 5 45:29 Множество перестановок символов АВС (т.е. элементов конечного множества). Является ли оно группой относительно умножения? 48:27 Как умножать перестановки? 51:18 Ассоциативность операций 54:40 Название группы перестановок. Таблица умножения 59:15 Изоморфизм групп 6 1:06:40 Об изучении теории групп 1:07:44 Любой ли группе можно дать геометрическую интерпретацию? 1:08:42 Исторический экскурс
Очень интересная лекция от Алексея.Но у меня наоборот как при СДВГ тяжело временами сконцентрироваться.мысли лезут типо, не забыл ли выключить утюг и постирал ли носки!такое свинство и каждый раз когда пытаешься долго смотреть, что то умное, обязательно в голову лезут носки и утюг.
Если кому интересно, то похожее описание теории групп и примеры которые приводит А.Савватеев вы можете найти в приложении к журналу "Квант" Библиотека "Квант" Выпуск 7 "Введение в теорию групп" П.С. Александров за 1980г.
Пример с треугольником из книги Хавьера Фресана "Мир математики: m. 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение". Говорят - это лучшая популярная книга для чайников по теории групп.
ниразу в жизни не пригодились логарифмы, лучше бы не забивали голову этой кашей а учили жизненным вещам как зарабатывать деньги. пс. 😂 Автору бошьшое уважение! Наука - двигатель прогресаа. И подобные высказывания, как я написал выше, это цитаты лентвых людей которые в жизни только о деньгах и думают занимаясь в лучшем случае торговлей-перекупкой (не сложными биржами). Без таких людей было бы невозможно писать такие комментарии ибо не было б телефонов, процессоров и другой сложной техники.
Интересно, как Алексей относится к идее о том, что при изучении подобного рода абстрактной математики не нужно привязываться к каким-то примерам, которые даны в ощущениях, а надо просто научиться синтаксически манипулировать символами в рамках заданной формальной системы?
По поводу 50:39. Что-то мне кажется, что на выходе должно быть BAC. С циферками удобнее в этом плане. (123)(123). (123) (321)(231) перейдёт в (213), согласно установленному Вами порядку операций: сначала то, что справа, а потом - то, что слева.
Так, ну во-первых это красиво. Во-вторых это тоже красиво. А красоты достаточно, чтобы это всё досмотреть до конца. Нам, к сожалению, теорию групп в простом курсе высшей математики не давали совсем
На 17 - й минуте проводится доказательство того, что при неподвижных точках А и В в преобразовании будет неподвижна и вся прямая АВ, но об этом даже не упомянуто, да и в дальнейшем не совсем понятно что доказывается, только и осталось название "теоремы о 3-х гвоздях", а смысл улетучился, поэтому откуда взялась параллельная прямая совершенно непонятно. А возникла она от того, что это единственная прямая, которая не пересекает неподвижную прямую АВ и неподвижную точку С совместно. Как-то доверие к этой лекции уменьшается при таких шероховатостях в изложении.
И сразу первый вопрос. Почему теугольник не инвариантен относительно поворота на 60° ? Группа D_3 у этого треугольника и группа D_n имеет 2n элементы, n поворотов и n отражений. Тут все правильно,3 поворота для треугольника имеем на 60° каждый
Обычно Sl1 ставится в соответствие к (ABC CBA). Но если рассмотреть пример: Sl1*R2п/3, то развернув треугольник на 120 градусов, и потом применив отражение по l1, окажется что теперь Sl1 поставится в соответствие к (ABC ACB). Это значит, что эти группы не изоморфны. Поправьте меня, если я не прав.
Соверщенно не знаю, что такое теория групп, но заметил такую вещь - раз уж можно комбинировать преобразования, то еще можно преобразовать треугольник "сам в себя" комбинацией "R60*Sl4", где l4 - ось, паралельная основанию треугольника, и проходящая через "центр" треугольника
Так же визуально кажется, что ничего не мешает повернуть треугольник на любой градус и провести соответствующую ось(через центр и среднюю точку между начальным и итоговым положением вершины), затем отразить, и получим тот же треугольник. Все это правильно лишь для равностороннего треугольника...
дело в том, что композиция названных Вами преобразований тождественна параллельному переносу, а значит изначальный треугольник перейдет в другой - такой же в размере, но перенесённый
Что значит "движение сохраняющее две точки на прямой"? (где-то 18 минута). Тут предполагалось что сохраняется расстояние? И почему такие преобразования "тождественны"? ... утверждение, что преобразование тождественно, если между какими-то двумя точками расстояние неизменно, мне кажется неверным... По моему тут надо было сказать: преобразование тождественно, если после него расстояние между Любыми двумя точками сохраняется. Или я что-то путаю?
Он опустил некий момент, который видимо там поняли без пояснения. А как его вам объяснить текстом не знаю. Но движение прямой, которое сохраняет две точки на своём месте, это на самом деле движение, которое в итоге никуда не сдвинула прямую, оставив её ровно там же, где она была, со всеми остальными точками. Узнал я об этом из его же цикла лекций, но другого. "100 уроков математики" называется
Час ночи. Я закончила бакалавр по финансам. Я с высшей математикой никак не связана. Но что-то мне подсказало, что мне важно это знать. А какие хобби у вас?
Спасибо за лекцию! Нужна ваша помощь: 4 января был побит рекорд Ван Нобелена - найден отложенный палиндром глубины 289. Рекорд подтверждает официальная программа проверки: jasondoucette.com/pal/15999771990503200073000 Но статья с описанием метода решения задачи осталась без внимания. Прошу помочь с распространением моего исследования: m.habr.com/ru/post/536104/
Лучше вначале посмотреть Introduction to Linear Algebra (Undergraduate Texts in Mathematics) 2nd edition by Serge Lang (Author) Вообще у этого автора довольно много книг, их сильно хвалят. Но "Алгебра" - очень сложная (это Graduate course).
сохраняет, но при параллельном переносе треугольник не может перейти сам в себя, так как каждая его точка должна сдвинуться на заданное расстояние в заданном направлении
+dmtkr Ну ты и выдал! Теория групп это формализация любых операций над почти всеми математическими обьектами. Алгебра алгебр. Ты похоже вообще не понимаешь насколько фундаментальна эта область математики.
