✓ Простое решение красивой геометрии | Планиметрия | Физтех-2021. Математика | Борис Трушин

Подписаться 377 тыс.

Просмотров 17 тыс.

50% 1

Точка 𝐾 - центр окружности 𝜔, вписанной в треугольник 𝐴𝐵𝐶 (причём 𝐴𝐵 меньше 𝐵𝐶). Прямая 𝐵𝐾 пересекает сторону 𝐴𝐶 в точке 𝐿. Через точку 𝐾 проведена прямая 𝑙, касающаяся окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐶𝐾. Прямая 𝑙 пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно, причём 𝑀𝑁 = 10.
(a) Найдите произведение длин отрезков 𝐴𝑀 и 𝐶𝑁.
(b) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности 𝜔 равен 4, а 𝐾𝐿 = 5. Найдите длину отрезка 𝐴𝑀.
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.r...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trus...
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donational...
Регулярная помощь (RU-vid): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/eg...
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/eg...
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/eg...
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/co...
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_tru...
Группа "TrushinBV.ru": trushin...
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
RU-vid-канал: / trushinbv

Опубликовано:

26 сен 2024

Ссылка:

Скачать:

Готовим ссылку...

Добавить в:

Мой плейлист

Посмотреть позже

Комментарии : 57

@servenserov 3 года назад

*Отличная задача,* но без правильного чертежа додуматься до решения весьма затруднительно.

@АртурРыбкин-л6ш 3 года назад

Класс! Моя любимая и всегда "долгожданная" геометрия! :D

@johnsansara44 3 года назад

Ееебааа🙀🤤🤤🤤 Какая крутая окружность

@АнатолийКривой-ы2и 3 года назад

Я в чате во время стрима написал это решение, но оно затерялось в потоке вопросов от школьников.

@trushinbv 3 года назад

Круто! На олимпиаде так решили или сходу во время стрима?

@АнатолийКривой-ы2и 3 года назад

@@trushinbv Решил после олимпиады до стрима. Я преподаю математику, задачу мне показала моя ученица после несостоявшейся олимпиады.

@ДенисКоротких-п9ж 3 года назад

@@trushinbv можете разобрать первую часть проф егэ по математике 2021 варианты примерные как бы не сложные а преподы готовят к какомуто ужасу

@ДенисКоротких-п9ж 3 года назад

@@trushinbv посмотрел прошлое видео там изменились задания с того года

@leonpelengator3754 3 года назад

Физтеховские задачи по планиметрии часто "маскируют" и затрудняют нарисовать хороший чертёж, помогающий найти решение, порой помогает несколько предварительных набросков, чтобы как-то нащупать "реальную" картинку.Эти косые квадраты реально сбивают с толку, но прямой угол, там где ты его совсем не ждёшь ,порой встречается.

@ДенчикУланов 2 года назад

А вы преподаватель?

@АртурРыбкин-л6ш 3 года назад

3:58 Нормалёк! Я как раз эту "угловую зависимость" из школьного курса подзабыл, а вы мне её благополучно напомнили! :)

@nemoumbra0 3 года назад

А я пункт b) решал леммой Трушина-межнара для точки K и отрезков ML и LN с небольшим разбором вариантов. Уж очень боюсь я опускать перпендикуляры и пользоваться тем, куда упала точка на прямую, без подробных объяснений, почему это так. Конечно, всё можно объяснить, но это заставляет мозг как бы "отклоняться" от решения. Вместо того, чтобы думать о решении пункта, мы думаем, где лежат основания перпендикуляров. В этой задаче всё просто, но я уже здесь предпочитаю использовать более общие факты для решения.

@СалехАскеров-ф8у 3 года назад

Вжух, и мы затащим физтех!☘️

@АндрейБарк 4 месяца назад

Видел подобную 25 задачу на огэ, только там сразу говорили, что биссектрисы проведены.

@stepan-klyukin 3 года назад

красивая задача красивое решение спасибо

@vic7871 3 года назад

Большое спасибо!

@alexandrbusalkin1715 3 года назад

спасибо

@phonty29 3 года назад

Добрый день Борис. Пожалуйста разберите отборочный этап международной олимпиады ИТМО.

@phonty29 3 года назад

Могу скинуть задания если не сможете найти

@ДаниэльФортовский 3 года назад

Ребят привет может поможете с задачей? С пунктом (б) хотя бы, а то я туплю. .. Плоскость α проходит через середины рёбер AD, CD и BB1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . б) Найдите объём меньшего из многогранников, на которые плос- кость α разбивает параллелепипед, если объём параллелепипеда ра- вен V.

@РамзанЭльдаров 3 года назад

Крассссота!

@РамзанЭльдаров 3 года назад

Борис специально отвергает правильный рисунок, за тем, чтобы правильный рисунок не наводил на правильные мысли, ну, за тем, чтобы ученик опирался только на геометрические факты! В этом я вижу смысл!

@sawinjer 3 года назад

В моменте 8:10 можно было проще розмышлять. BMK+MBK=90 => ALB+ABL=90 => BAL=90

@okmaster2652 3 года назад

Пожалуйста разберите пару экстремальных планиметрических задач с пвг. ? Когда решаешь их через производную , всегда какая то ерунда выходит

@АртёмТерехов-ш2м 3 года назад

Крутая задача и не менее крутое решение. На канале не планируется разбор задач Физтеха для 10 класса? очень жду)

@trushinbv 3 года назад

Целиком - нет, но что-то разберу

@staskarakhanov3503 3 года назад

Знаю, не в тему, но, БВ, когда будут кватернионы и будут ли? ; думал после ряда видео по комплексным числам настанет их черёд......

@trushinbv 3 года назад

Да, надо сделать )

@barackobama2910 3 года назад

По молодости с маленькой шоколадкой это за 10-15 минут поднимается......

@Muvanda19th- 3 года назад

Привет скажи я просто не понял а почему угол А прямой да там паралельные линии и что отрезок АС может быть начерчен под другим углом касаясь и окружности и соеденяясь с отрезком ВС

@constantinfedorov2307 3 года назад

Из леммы трезубца немедленно следует, что центр окружности, описанной вокруг ACK, лежит на биссектрисе BL. Что сразу дает то, что MN перпендикулярно KL. Но кроме этого, первый пункт убивается автоматически. Это довольно сложно объяснить словами, без чертежа. Если забыть об отрезке AC, вся остальная картинка полностью симметрична относительно BL. Описанная вокруг ACK окружность пересекает (симметричные относительно BL) прямые BA и BC в 4 (четырех!) точках (случай касания исключен условием AB < BC). Отрезок AC соединяет пару несимметричных точек. Но на прямой AB есть симметричная C точка С1 пересечения с окружностью. То есть решение первого пункта задачи вырождается в запись (перепись) формулы AM*MC1 = MK^2; (еще раз - С1 симметрична C относительно прямой BL, само собой MC1 = CN);

@trushinbv 3 года назад

Я бы не сказал, что это проще, чем два раза переменить теорему про угол между касательной и секущей )

@constantinfedorov2307 3 года назад

@@trushinbv я тут покопался в своем решении, и обнаружил одну забавную мелочь. Вроде ерунда, но может, кому-то будет интересно. Как я уже написал, MN перпендикулярно KL - автоматическое следствие леммы трезубца. Если теперь попробовать строить чертеж к задаче именно так, как я написал - то есть угол, биссектриса, на ней выбирается точка K (будущий центр вписанной в ABC окружности) и проводится сразу через неё MN перпендикулярно биссектрисе. Теперь можно попробовать поступить так - выбрать какую-то точку на одном из лучей, например, на BM за точкой M (пока не обозначая его буквой), и построить окружность, проходящую через эту точку и касающуюся MN в точке K. Построение элементарное (срединный перпендикуляр пересекается с биссектрисой). Как я уже писал, будет четыре точки пересечения этой окружности со сторонами угла. Пусть на луче BM ближайшая к B точка будет A, а на луче BN дальняя точка от B будет C. Ясно, что пункт первый задачи убит :) Но. По ходу построения я не использовал еще одну "жесткость" в условии - что K это центр вписанной окружности. Вот и возник вопрос - если я выбираю точку на луче произвольно (или можно сразу выбирать на биссектрисе центр окружности описанной вокруг ACK), то обеспечит ли мне это построение автоматически то, что K - центр вписанной окружности? Скорее всего нет, но вопрос занятный - получается, что пункт 1 тогда возникает в большем "поле случаев", чем само условие задачи.

@shumaXEP89 Год назад

Нарисую я овал, но если присмотреться то это квадрат)))

@Abraxax 3 года назад

Почему KL=KN?

@DictoDictov 3 года назад

BK - биссектриса угла MBL, а углы M и L в треугольнике MBL равны, следовательно MBL равнобедренный, отсюда BK ещё и медиана.

@vincentvan3649 3 года назад

@@DictoDictov Так а почему KL = KN?

@DictoDictov 3 года назад

@@vincentvan3649 вспоминайте, что такое медиана в треугольнике.

@vincentvan3649 3 года назад

@@DictoDictov так ясно что MK = KL, т . К. медиана, но как они связаны с её продолжением?

@alexpiskal173 3 года назад

2:39 как доказывается?

@batyrkhantalgatuly4672 3 года назад

С помощью следующих двух фактов : 1) то что радиус проведенный к точку касания перпендикулярен касательному; 2)центральный угол в два раза больше вписанного.

@gorinich144 3 года назад

Спасибо за разбор, но если честно, то Маским Олегович из Школково также решил(

@trushinbv 3 года назад

Наверно, это самое естественное решение )

@trushinbv 3 года назад

А где? ) На каком-то занятии или на ютубе? Не смог найти такое решение у него (

@Михаил-н9я6м 3 года назад

@@trushinbv На канале Школково есть разбор второй части. Называется "Разбор 2-ой части олимпиады Физтех-2021 по математике". С 30-ой минуты планиметрия там. Только вот у него пункт б) вышел более закрученным.

@trushinbv 3 года назад

@@Михаил-н9я6м посмотрел. Кажется, я даже на стриме проще решил )

@bnfdnfgn 5 месяцев назад

Почему-то задача лёгкая. Очень типичные рассуждения и подобия

@UserUser-my9z 3 года назад

это рили геома из ФИЗТЕХА?!

@trushinbv 3 года назад

Да )

@ВикторМишин-э6б 3 года назад

Борис, здравствуйте! Возможно глупый вопрос,но есть ли какой-то учебник для 8 классов с усложненными задачами по геометрии?

@Rewhirlpool 3 года назад

Можно прорешать Атанасяна, там много классных задач среди дополнительных и "повышенной трудности", а ещё есть книжка Гордина, там также много трудных задач)