✓ Три квадрата | Три способа решить олимпиадную геометрию | Ботай со мной

Подписаться 375 тыс.

Просмотров 17 тыс.

50% 1

Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (RU-vid): ru-vid.comjoin
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
вКонтакте: ege_trushin
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Facebook: / trushinbv
RU-vid: / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru

Опубликовано:

1 дек 2023

Ссылка:

Скачать:

Готовим ссылку...

Добавить в:

Мой плейлист

Посмотреть позже

Комментарии : 100

@krzysztofpukicz3252 5 месяцев назад

- Вы тригонометрию считаете? - Нет, окружности рисуем. - Красивое!

@smarthedgehog3185 5 месяцев назад

Лайк за окружность. Самое простое и быстрое решение. Браво маэстро :)

@cooki3226 5 месяцев назад

как по мне, решения заслужили следующие звания: 1 - самое универсальное, 2 - самое красивое, 3 - самое практичное

@barackobama2910 5 месяцев назад

Нет. Самое практичное -1. Самое красивое -3. Второе вычурное.

@MsAlexandr76 5 месяцев назад

@@barackobama2910 ТОЧНО!

@kira4ka69 5 месяцев назад

Борис, я рад, что до сих пор могу изучать математику вместе с вами! С каждым разом продакшн всё лучше и лучше!

@user-nf4wi1ed4d 5 месяцев назад

это правда

@tsushkadmitriy 5 месяцев назад

Тригонометрия-красиво, но с окружностью-великолепно!!! С поворотом мне не зашло.

@user-qn5cq5be3z 5 месяцев назад

Окружность вообще самая гармоничная фигура в планиметрии, конечно это решение нравится больше 🙂

@user-ly4hi8fp1b 5 месяцев назад

1) Чисто если знаешь алгебру и теорема Пифагора 2) Чисто если знаешь геометрию, т.к. должен знать и доказать о подобности треугольников. 3) ЕМААААА КРУГ ТУТ ВПИСАЛСЯ!! ЭТО ШЕДЕВР!!!!!

@fizfakmsu116 4 месяца назад

Спустя 3 года на физфаке и несколько месяцев в universite paris-saclay первое, что пришло в голову, так это всё сделать через векторы(отсылка к следующему видео)) Ввёл дво вектора, образующих наш угол, предположительно в 45 градусов. Двумя способами посчитать скалярное произведение, чтобы найти косинус угла, использовав соотношение про площади. Всё получилось. Такое более суровое аналитическое решение для тех, кто не любит тангенсы. Про окружность очень сильно понравилось))

@panfilovandrey 5 месяцев назад

Первое решение в лоб, самое простое, т.к. может сделать каждый, кто помнит формулы. Второе красивое, но хрен догадаешься так сделать :) Дополнительные построения, да с поворотами, нужно сильно раскачать интуицию на такие поиски. С описанной окружностью - вообще красота. Спасибо за ролик.

@fewtall 5 месяцев назад

Лучший учитель!

@qwlori 5 месяцев назад

замечательная задача и гениальное решение от вас! спасибо!

@hlorn1 5 месяцев назад

Я решил эту задачу с помощью теоремы косинусов и Пифагора. Немного математических преобразований и получилось, что cos^2 = ((a + b + c)^2)/(4(b + c)(a + c)) = 1/2. Откуда угол равен 45.

@koshenator1 5 месяцев назад

Спасибо за красивый разбор, я тоже третий вариант решения увидел сразу )

@n_eros 5 месяцев назад

Решил третьим способом, тоже увидел равенство отрезков, но решил через возникающие равнобедренные треугольники. В итоге получается 2a + 2b = 90.

@melaniabykadorova5974 Месяц назад

С описанной окружностью, по-моему, самое понятное и простое решение.

@user-ih9jy5tf9u 5 месяцев назад

Решение с поворотом понятно откуда происходитсвоей идеей: теорема о британском флаге,. Решение с окружностью Бориса, действительно, красиво. Браво!

@user-sm1ue9el6z 5 месяцев назад

08:16 проста вау❤

@vikivanov5612 3 месяца назад

решение 3 - красота!

@alexanderknyazev9159 5 месяцев назад

С окружностью, конечно же, самое красивое решение! )

@viktoriiadenysova9832 5 месяцев назад

С окружностью самый суперский!!!

@jdwwsz 5 месяцев назад

додуматься повернуть я бы точно не смогла, но окружности я часто замечаю, поэтому для меня лучшее решение - последнее. про формулы тангенсов я и не знала, так что их даже не рассматриваю)

@user-cz9ol9ue2u 5 месяцев назад

красивая задача, можно решать в уме

@AS_tutor 5 месяцев назад

Мне ваше решение прям очень понравилось) Красиво!

@Misha-775 5 месяцев назад

А я вообще через теорему косинусов решал. Писал, писал с целую страницу, ответом был доволен. А как увидел Ваше 3-е решение - прямо кокнуло😂 Так просто, что даже страшно

@popan.stepovich 5 месяцев назад

Я провел отрезок с, как в решении Бориса, и увидел два равнобедренных треугольника и накрест лежащие углы, и всё получилось)

@hassanabdurrahman995 5 месяцев назад

Последнее решение - 🤯

@nemo7493 3 месяца назад

Если можно двигать эти квадраты, то сдвиньте их так, чтобы площадь среднего квадрата равнялась сумме следующих площадей квадратов: 0 + Smax То есть по сути сдвинтье этот средний квадрат полностью в угол по диагонали. Тогда искомый угол будет образовываться другой диагональю большого квадрата ( в котором всё это и происходит) и стороной этого большого квадрата. А угол образованный диагональю квадрата равен 45 градусам

@rabbits_phonograf 5 месяцев назад

У меня решение этой задачи получилось 3-е. Я к нему пришёл самостоятельно, но всё-таки у Вас красиво описано.

@hriast 5 месяцев назад

Симпатичные спецэффекты

@andkrav 4 месяца назад

последний вариант это и есть красота математики

@padla6304 5 месяцев назад

третий самый простой и для понимания и по краткости мой лайк каналу

@Grector 5 месяцев назад

Последнее решение самое красивое

@miguelitonegrito 5 месяцев назад

Ну третье решение с кругом самоее мегакрутое!!!👏👏👏

@_mary_3507 5 месяцев назад

Третий способ вообще пушка)

@nachertamnenik 5 месяцев назад

Красиво!

@sed0k 5 месяцев назад

Помню эту задачу со всеми тремя решениями где-то месяц назад у вас в вк

@Lord_of_the_beans 5 месяцев назад

Здравствуйте , будет интересно увидеть Ваш разбор следующей красивой задачки про «двух муравьев и тетраэдр»! На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра. Задачка из Шестнадцатой устной олимпиада по геометрии И.Ф Шарыгина 2018 года

@user-kt9pj8li4d 5 месяцев назад

Крррасота. Последнее решение классное

@canniballissimo 5 месяцев назад

Борис мечет огнивами!

@kagegakurenokuni 5 месяцев назад

надо же... а я посчитал по теореме пифагора все три стороны центрального треугольника, потом вписал их в теорему косинусов, сделал пару раз замену c^2=a^2+b^2 и вышел на то, что косинус угла равен корню из одной второй. вот примерно так: a^2+(b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2bc = 2c(c+b), b^2+(a+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ac = 2c(c+a), 2c^2 - это квадраты сторон треугольника, образованного диагональю желтого квадратика и нашим искомым углом. тогда по теореме косинусов: 2c^2=2c(c+b)+2c(c+a)-2*2c*корень[(с+b)(c+a)]*cos A тут можно все слагаемые поделить на 2с (понятно, что это не ноль): c=c+b+c+a-2*корень[(с+b)(c+a)]*cos A, a+b+c=2*корень[(с+b)(c+a)]*cos A возведем обе части в квадрат: 2c^2+2ab+2bc+2ac=(4*c^2+4*bc+4*ac+4*ab)*[(cos A)^2] 2*(c^2+ab+bc+ac)=4*(c^2+ab+bc+ac)*[(cos A)^2] откуда собственно (cos A)^2 = 0.5 ну то есть я вообще не олимпиадник здесь, но кажется все решилось.

@alfal4239 5 месяцев назад

"вот примерно так: a^2+(b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2bc = 2c(c+b)" На этом можно остановиться, это уже решает задачу. Ведь равенство a^2 + (c + b)^2 = (✓2c)*( ✓2c + ✓2b) означает подобие треугольников.

@yessimovaindira8016 5 месяцев назад

Гениально

@user-mf5jc5ko5m 5 месяцев назад

👍 крутяк с окружностью

@user-bu4gx1wx7m 5 месяцев назад

С кругом крутое решение!

@dmitrygurban8635 5 месяцев назад

Третье решение, с описанной окружностью, более элегантное. Мне кажется, что автор задачи именно такое решение и подразумевал.

@alfal4239 5 месяцев назад

Равенство a^2 + (c + b)^2 = (✓2c)*( ✓2c + ✓2b) означает подобие треугольников (общий угол и пропорциональные стороны). Поэтому у второго треугольника угол тоже 45. Задача решена без дополнительных построений.

@sotkanizvetok 5 месяцев назад

Дано трапецию ABCD с основами AD и BC (AD=a,BC=b, a>b). Отрезок KL, параллельный основам, делит трапецию на два четырехугольника, площадь которых равна. Выразите KL через а и b.

@alfal4239 5 месяцев назад

Вот равенство площадей: a^2 - KL^2 = KL^2 - b^2. Дальше сами.

@666satanaaa 5 месяцев назад

Решил через окружность, совсем не сложно

@Roksarr228 5 месяцев назад

я поставил видео на паузу и решил, найдя сумму углов альфа и бета без тангенсов. хотел написать как, но не знаю как это сделать без картинки :(

@irinaprokofieva2813 5 месяцев назад

❤❤❤❤❤❤❤👏👏👏👏👏👏👏

@sed0k 5 месяцев назад

Второе самое простое, потому что требует минимум знаний. Восьмиклассники уже могут решить. потому что прошли теорему Пифагора, но не прошли вписанные углы. Первое самое сложное. вообще ничего не понял.

@temkaclass 5 месяцев назад

Ваше решение я придумал первее всего, забавная задача

@user-yq8vi6rx4t 5 месяцев назад

Можно ли на ЕГЭ писать отзеркаленный знак принадлежности, например не A∊AB, а ABэA ?

@f.linezkij 5 месяцев назад

∋ пользуйся)) А ещё ∉ и ∌ 😁

@user-qn5cq5be3z 5 месяцев назад

Но второе решение всетаки самое оригинальное

@Hatali445 5 месяцев назад

90° - 45° = 45° 45° : 2 = 22,5° наверное так.

@albertvolkov2724 5 месяцев назад

Обалденное решение но 3

@meerable 4 месяца назад

Для меня первый уровень сложности - что-то понимать про параллельные прямые Второй - про треугольники Третий - первое и второе вписанное в окружности) я почти ничего про них не знаю) даже не помню, было ли это в школе. )) Т.е. обладая знаниями про отношения фигур и прямых с окружностями - ваше решение самое простое и красивое. Но вот сами эти знания будут «стоить» подороже;))

@user-fr6qt7go7e 5 месяцев назад

А что если более простое решение, если известна, что центральный квадрат смещается и его сумма равна сумме угловых квадратов, то центральный квадрат, если встанет про центру, то 2 диагональ будет делить центральный квадрат также как и первая. Получается при смещении центрального квадрата в любой угол большого квадрата, значит получается, внутри большого квадрата образуются на диагонали два равносторонних квадрата, которые при проведении второй диагонали проходят по углам соприкосновения малых квадратов, что образует угол этих квадратов. Теперь мы знаем, что в квадрате диагональ равна 45 градусов, а значит у нас два малых квадрата соприкасаются углами на диагонали под углом 45градусов. А дальше знаем что при перемещении по диагонали в квадрате, квадрата без изменения сторон, угол соприкосновения не меняется, значит остаётся равен в 45 градусов. К сожалению не могу наглядно показать, но смысл надеюсь понятен. Как такое решение? Простыми перемещениями квадрата в квадрате, на уровне 6-8 класса?

@alfal4239 5 месяцев назад

"А дальше знаем что при перемещении по диагонали в квадрате, квадрата без изменения сторон, угол соприкосновения не меняется" И квадрат при перемещении по диагонали меняет размер. И неизменность угла при перемещении фиксированного квадрата по диагонали не доказана.

@user-fr6qt7go7e 5 месяцев назад

@@alfal4239 но один квадрат остаётся всегда без изменения размера, значит квадрат который не меняет размер остаётся под углом 45 градусов, а другие квадраты при движении выходят на размер основного. Ведь при смещении стороны не меняют длину, значит один из трёх квадратов всегда целый и двигается в соотношении 45градусов к углу.

@user-fr6qt7go7e 5 месяцев назад

@@alfal4239 ведь нам не запрещено передвигать квадрат в любом направлении по диагонали, которая также является диагональю центрального квадрата, а в квадрате диагональ не меняет длину, а значит на расстоянии от одной точки в пределах диагонали большого квадрата остаётся под одним углом, ведь полный малый квадрат не меняет размер, а значит не меняет диагональ, а значит не меняет угол при движении по диагонали большего квадрата. Логично?

@alfal4239 5 месяцев назад

@@user-fr6qt7go7e Все три квадрата, что внутри большого квадрата, меняют размер.

@user-fr6qt7go7e 5 месяцев назад

@@alfal4239 , как? Если по условию один внутренний полный квадратный всегда равен сумме двух малых квадратов. Значит при смещении по диагонали большого квадрата, в точки назовем её j, превратятся из трёх в точки j в два равные квадраты..... Ладно просто не хотите. Считайте сложнее. Просто предложил.

@matthewmarston5149 5 месяцев назад

Thank you, Boris, for making our families Name Greater again, by staying away from drunken DisO and drugs, I somehow pull off 1 Beer splits and alot of weed, but tu are perfectly normal, don't literally move..

@DraCat1993 5 месяцев назад

Есть ещё мысль. Попробовать найти площадь по формуле Гериона и поделить ее на произведение двух сторон, которые образуют угол. По идее должно получиться √2/4. Это будет коэффициент 1/2sin45 как раз чего не хватает для площади треугольника

@user-yy5ip2dj1m 5 месяцев назад

Салам алейкум Борис. Что то я не понял. У вас есть равнобедренный треугольник со сторонами "С" в котором по определению два угла по 45*, вы к нему проводите по условию задачи два отрезка и получаете новый треугольник с вписанным в него у же существующим выше упомянутым. Но тогда получается что в двух вновь полученных треугольниках углы прилегающие к существующим тоже по 45* и что то с решением вашей задачи не то. Поясните пожалуйста. И желательна на видео. Спасибо.

@canis_mjr 5 месяцев назад

Теорема Пифагора вскрывает любую задачу, надо только найти нужное построение)) Сам решал первым способом. От третьего решения начал дёргаться глаз 🤪

@ger7992 5 месяцев назад

для меня самое первое доказательство такое: диагональ квадрата С равна половине диагонали изначального большого квадрата (допустим Z), соответственно угол, который можно построить между стороной квадрата Я и серединой диагонали - 45 градусов (потому что это фактически другая диагональ). И при изменении площади малых квадратов этот угол не меняется - только немного сдвигается.

@trushinbv 5 месяцев назад

Но она не равна половине диагонали )

@user-nf4wi1ed4d 5 месяцев назад

если квадрат а или квадрат b = 0Ю то с + b или c + a по 50% - соответсвенно угол 45 градусов)

@maximdvornik3326 5 месяцев назад

Можно допустить, что площадь и диагональ одного из малых квадратов стремятся к нулю. Тогда остаются два равных квадрата, диагонали которых равны и соприкасаются ровно посредине диагонали большого квадрата. Тогда будет очевидно, что угол равен 45 градусов. Решение неполное так как описывает лишь один случай, но очень простое.

@trushinbv 5 месяцев назад

Если разобрать один случай из бесконечного множества, то это ровно 0% от всех случаев )

@c00k1er 5 месяцев назад

А считаются два случая, когда а или b равно нулю? Тогда второй угол по определению 45 и доказывать ничего не надо.

@trushinbv 5 месяцев назад

Считаются ) Но нужно же доказать, что так будет всегда

@volny_gasyat_veter 5 месяцев назад

1 и 3 решение лучше всего, да и не сложные. а вот до 2-го надо додуматься именно так перевернуть. под силу только тем кто уже видел подобные решения или ученикам МЦ, которым запретили пользоваться 1 и 3 способом и кровь из носа надо решить.

@trushinbv 5 месяцев назад

Что такое МЦ? )

@volny_gasyat_veter 5 месяцев назад

@@trushinbv , матцентр при 239

@AllxxExp 5 месяцев назад

Ещё проще: продлеваем один из лучей угла до пересечения с большим квадратом и получаем равнобедренный прямоугольный треугольник, острый угол которого равен 45 градусов, а катет равен корень из (с+а)^2+в^2! Фсё.

@alfal4239 5 месяцев назад

Это не проще первого варианта с тангенсами, т.к. ещё необходимо проверить выполнение равенства: (b + c - a)/ (b + c + a) = b/(a + c)

@romank.6813 5 месяцев назад

Последнее решение - лучшее. А второе - хрен знает как до него вообще можно додуматься.

@ikelarev 5 месяцев назад

Последнее решение - огонь! Хотя заметить это надо иметь глаз наметанный. Решение с поворотом показалось самым "искуственным" и запутанным, имхо конечно

@xor28rox 5 месяцев назад

4. Обозначим большой исходный квадрат как G со стороной g. По условию: c²=a²+b², а для большого квадрата G: g²=c²+a²+b². Нехитрыми заменами получаем, что диагональ квадрата С равна половине диагонали G. _(Хоть через суммы вторых степеней, хоть через проекции диагоналей, не важно.)_ Соответственно и угол будет половина. Половина от 90°. Ответ 45°

@trushinbv 5 месяцев назад

Во первых, площадь большого квадрата не равна сумме площадей наших трех квадратов. Во вторых, длина жёлтой диагонали будет разной при разном расположении. А, в третьих, из одинаковой длины не следует одинаковость угла )